广东省广州市广大附中教育集团2022-2023学年九年级上学期自主招生数学试题（答案）.docx

广东省广州市广大附中教育集团初三自主招生考试考试时间：120 分钟 满分：100 分一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知m 、n 是方程 x2 + 2020x + 7 = 0 的两个根，则(m + 2019m +A. 2021 B. 2020 C. 20126)(n + 2021n + 8) （ ）D. 2011【答案】C【解析】2 2【分析】根据题意得 m2 + 2020m + 7 = 0 ， n2 + 2020n + 7 = 0 ， m + n = -2020 ， mn = 7 ，则m2 = -2020m - 7 ， n2 = -2020m - 7 ，将其代入(m2 + 2019m + 6)(n2 + 2021n + 8) 得-mn - (m + n) -1，再将 m + n = -2020 ， mn = 7 代入即可得．【详解】解：∵ m 、n 是方程 x2 + 2020x + 7 = 0 的两个根，∴ m2 + 2020m + 7 = 0 ， n2 + 2020n + 7 = 0 ， m + n = -2020 ， mn = 7 ，∴ m2 = -2020m - 7 ， n2 = -2020m - 7(m2 + 2019m + 6)(n2 + 2021n + 8)= (-2020m - 7 + 2019m + 6)(-2020m - 7 + 2021n + 8)= (-m -1)(n +1)= -mn - (m + n) -1∵ mn = 7 ， m + n = -2020 ，∴原式= -7 - (-2020) -1 = 2012 ， 故选：C．【点睛】本题考查了方程的根，根与系数的关系，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．2. 如图，已知直线l1 ∥l2 ∥l3 ∥l4 ，相邻两条平行线间的距离都等于 h，若正方形的四个顶点分别在四条直线上，则它的面积等于（ ）第 3 页/共 29 页A. 4h2B. 5h2C. 4 2h2D. 5 2h2【答案】B【解析】【分析】过点 D 作 EF ^ l1 交l1 、l4 于点 E，F，则 DF ^ l4 ，然后证明V ADE≌VDCF ，得到 AE = DF ， 利用勾股定理解题即可．【详解】过点 D 作 EF ^ l1 交l1 、l4 于点 E，F，∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ AD = CD，ÐADC = 90°， ∴ ÐADE + ÐCDF = 90° .∵ l1 ∥l2 ∥l3 ∥l4 ， EF ^ l1 ，∴ DF ^ l4 ， ∴ ÐAED = ÐCFD = 90° ， ∴ ÐDCF + ÐCDF = 90°. ∴ ÐDCF = ÐADE . ∴V ADE≌VDCF ， ∴ AE = DF .∵相邻两条平行直线间的距离都是 h， ∴ DE =n，AE = DF = 2n .∵ ÐAED = 90° ， 正方形ABCD∴ S = AD2 = AE2 + DE2 =n2 +(2n)2 = 5n2 ，故选 B．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．3. 函数 y =|x|， y = 1 x + 4 ．当 y ＞y 时，x 的范围是( )1 2 3 3 1 2A x < -1B. -1 < x < 2C. x < -1或x > 2D. x > 2【答案】C【解析】【详解】当 x≥0 时，y1=x，又 y2= 1 x + 4 ，∴两直线的交点为（2，2），3 3当 x＜0 时，y1=-x，又 y2= 1 x + 4 ，∴两直线的交点为（-1，1），3 3由图象可知：当 y1＞y2 时 x 的取值范围为：x＜-1 或 x＞2，故选 C.x2 + 2x + 2【点睛】本题考查的是两条直线相交问题，关键要由已知求出两直线的交点，然后根据数形结合思想进行解答.x2 - 4x + 134. 已知 x 为实数，则+ 的最小值为（ ）10A. 5 B.+ C. 3 + D. 655【答案】A【解析】x2 - 4x + 13x2 + 2x + 2( x - 2)2 + (0 - 3)2【分析】 + =+ ，令 A( x，0) ， B (2，3) ，( x + 1)2 + (0 + 1)2x2 - 4x + 13x2 + 2x + 2C (-1，-1) ，则 + 表示，点 A( x，0) 到点 B (2，3) 和点C (-1，-1) 的距离的和，如x2 - 4x + 13图，可得当 B、A、C 三点共线时，+ 的值最小，值为，计算x2 + 2x + 2(2 +1)2 + (3 +1)2求解即可．x2 - 4x + 13x2 + 2x + 2【详解】解：∵ +( x - 2)2 + 9( x + 1)2 + 1= +( x - 2)2 + (0 - 3)2( x + 1)2 + (0 + 1)2 ，=+令 A( x，0) ， B (2，3) ， C (-1，-1) ，x2 - 4x + 13x2 + 2x + 2∴ + 表示，点 A( x，0) 到点 B (2，3) 和点C (-1，-1) 的距离的和，如图，第 4 页/共 29 页x2 - 4x + 13∴当 B、A、C 三点共线时，+ 的值最小，值为= 5 ，x2 + 2x + 2(2 +1)2 + (3 +1)2故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的应用最短路径问题．熟练掌握勾股定理是解题的关键．ïì 2x +1 - 5x - 3 < 1L① 5. 不等式组í 3 6 的解集是关于 x 的一元一次不等式 ax > -1解集的一部分，则 a 的取ïî -5 £ 2x -1 £ 5 L②值范围是（ ）A. 0 < a £ 1【答案】D【解析】B. - 1 < a < 03C. - 1 < a £ 1 3D. - 1 < a £ 1 且 a ¹ 0 ．3【分析】分别求出不等式组和不等式的解集，根据不等式组的解集是不等式的解集的一部分及，进行求解即可．ïì 2x +1 - 5x - 3 < 1L①ìx > -1【详解】解：由í 3 6，得： í-2 £ x £ 3 ，∴ -1 < x £ 3 ，∵ ax > -1，ïî -5 £ 2x -1 £ 5 L② î①当 a > 0 时， x > - 1 ，a∵不等式组的解集是不等式的解集的一部分，∴ - 1 £ -1 ，a∴ a £ 1 ，∴ 0 < a £ 1；②当 a<0 时， x < - 1 ，a∵不等式组的解集是不等式的解集的一部分，∴ - 1 > 3，a∴ a > - 1 ，3∴ - 1 < a < 0 ； 3综上： - 1 < a £ 1 且 a ¹ 0 ；3故选：D．【点睛】本题考查根据不等式的解集情况求参数．熟练掌握解不等式的步骤，正确的求出不等式的解集，第 5 页/共 29 页是解题的关键．146. 求 1 x -1 + 1 x - 2 +2 3x - 3 的最小值（ ）7A. 12 B. 6 C.2【答案】CD. 3【解析】【分析】根据题意进行分类讨论：①当 x < 2 时，②当 2 £ x £ 6 时，③当6 < x £ 12 时，④当 x > 12 时， 即可进行解答．【详解】解：①当 x < 2 时，原式= 1- 1 x + 2 - 1 x + 3 - 1 x = 6 - 13 x ，2 3 4 12Q x < 2 ，\6 - 13 x > 23 ；12 6②当2 £ x £ 6 时，原式= 1 x -1+ 2 - 1 x + 3 - 1 x = 4 - 1 x ，Q 2 £ x £ 6 ，2 3 4 12\ 7 £ 4 - 1 x £ 23 ；2 12 6③当6 < x £ 12 时，原式= 1 x -1+ 1 x - 2 + 3 - 1 x =7 x ，Q 6 < x £ 12 ，2 3 4 12\ 7 < 7 x £ 7 ；2 12④当 x > 12 时，原式= 1 x -1+ 1 x - 2 + 1 x - 3 = 13 x - 6 ，2 3 4 12Q x > 12 ，\ 13 x - 6 > 7 ． 12综上，当 x = 6 时，原式有最小值为 7 ．2故选：C．【点睛】本题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是掌握绝对值化简的方法，正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它的相反数．7. 如图，长方体的长、宽、高分别是8cm ， 2cm ， 4cm ，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B， 则妈蚁爬行的最短路径长为（ ）第 6 页/共 29 页29A. 2B. 2C. 10 D. 4 + 2375【答案】C【解析】【分析】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A 和 B 点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．【详解】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1） 展开前面右面由勾股定理得 AB2 = (8 + 2)2 + 42 = 116cm ；（2） 展开前面上面由勾股定理得 AB2 = (2 + 4)2 + 82 = 100cm ；（3）展开左面上面由勾股定理得 AB2 = (4 + 8)2 + 22 = 148 ．100所以最短路径的长为 AB = = 10(cm) ．故选：C．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．8. 如图， V ABC 中， AB = AC ， ÐBAC = 54°，ÐBAC 的平分线与 AB 的垂直平分线交于点O ，将ÐC 沿 EF (E 在 BC 上， F 在 AC 上)折叠，点C 与点O 恰好重合，则ÐOEC 为( )A. 126° B. 120° C. 110° D. 108°【答案】D【解析】。