微积分习题答案定义.pdf

微积分（）极限习题解答第 1 页 共 9 页极限习题解答1试写出一个由0,1到(0,1)的一一对应映射解：1,021,1()311,2,3,42,xxfxxnnnx其他2求极限)21(lim21mnananamn， 其中021maaa解：mkknkna1lim=mkkknnakna11lim =mkknnknka111lim=03用极限定义证明(1)0)1(limnnn证明：0，欲使|1|nn由于nnnnn111|1|，故只需n1，即21n便可取112N，则当nN时，有|1|nn故0)1(limnnn（2）1)(limnnn证明： 因为1nn， 令nnan1， 则0na， 且1)(l i mnnn等价于0limnna由于22) 1(21)1(211)1(nnnnnnnannaannnaan，微积分（）极限习题解答第 2 页 共 9 页所以120nan因此0，取221N，则当Nn时，有na0，故0limnna从而1)(limnnn4利用夹逼定理求极限（1）)2(642)12(531limnnn；解法 1：因为312312，532534，)12)(12(2)12()12(2nnnnn，所以121) 12)(12(755331) 12(531)2(642)12(5310nnnnnn，由于0121limnn，所以0)2(642)12(531limnnn解法 2：令)2(642)12(531nnan，则222222)2(12)2(642) 12()12(553310nnnnnan，易知0)2(642)12(531limnnn解法 3：由122765432)2(642) 12(531nnnn，可知121)2(642)12(5312nnn，进而得到0)2(642)12(531limnnn（2）nmknknmknknaa1111lim，其中), 2, 1(0mkak微积分（）极限习题解答第 3 页 共 9 页解：令max,min11kmkkmkaAaa，则aAmaaaAnnmknknmknk111111，由于1limnnm，所以aAaanmknknmknkn1lim11115设11(1)nnun（易知数列nu收敛于 e） （1）研究数列nu的单调性；（2）利用（ 1）的结果证明111ln(1)1nnn对于任意正整数n都成立解： （1）1121322321(1)11(1)1111()(1)11111(1)1(1)1111nnnnnnnnununnnnunnnnnnnnnnnnnnn所以数列nu单调减（2）111lim(1)lim(1)nnxxenn，且11(1)nn单调减，1(1)nn单调增，11(1)nen，1(1)nen分别两边取对数111(1)ln(1)1ln(1)1111ln(1)ln(1)nnnnnennn所以111ln(1)1nnn6证明：若单调数列具有收敛的子列，则此单调数列收敛证明：不妨设na为一单调增加数列，kna为na的一个子列，且limknkaA， limknkaA，微积分（）极限习题解答第 4 页 共 9 页00N0kNAkn，当时，有 a00000suplimNnkkkkknkNnnNnknnnnnnnNnnkanknnNaannknnaaaaAaaaAnnaAaA单增，且当时，有 A-对于，总存在使又有极限，则有界为有界单增列，其极限值当时，有 A-即7设),2, 1(101010221npppannn，其中kp是一有界非负数列，试证数列na收敛证法 1：单调有界收敛定理设Mpk0，则MMMpppannnnn91101110111010110110110101002221，即数列na有界又易知数列na单增，所以数列na收敛证法 2： Cauchy 收敛准则由于9101101110111010101012211MMpppaanmnmnmnnnnnnmn，所以任给0，由9101Mn得9logMn取19logMN，则对于任意的0,mNn， 均有9101Maannmn， 即数列na是一 Cauchy 列，所以收敛8设nnnqaqaqaab2210，其中1q且数列ka有界，试证数列nb收敛证明： Cauchy 收敛准则设Mak，则112211111nmnmnmnnnnnnmnMqMqaqaqabb由此易证数列nb是一 Cauchy 列，所以收敛微积分（）极限习题解答第 5 页 共 9 页9 若数列na满足),2, 1(11naaqaannnn， 其中10q， 试证数列na收敛证明：0，因为，nnnmnnmmnnmnmnmnmnnmnMqaaaaqaaqaaaaaaaa11212112112111111所以当取1logMNq，且Nn时，有nmnaa对任意的0m都成立即数列na为柯西列，所以收敛10 设0 ()nan，12lim()nnaaa， 且 数 列na单 调 减 ， 证 明1321242l i m1nnnaaaaaa证明：容易看出数列na有界（0 ()nan，单调减）24222442223452211()21()2nnnnnaaaaaaaaaaaaaaa12lim()nnaaa2321lim()nnaaa242lim()nnaaa同样1321lim()nnaaa因为数列单调减，于是：13211234522422421242()()010nnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaa微积分（）极限习题解答第 6 页 共 9 页由夹逼定理1321242lim(1)0nnnaaaaaa，所以1321242lim1nnnaaaaaa11证明Stolz定理：设na和nb为两个数列，若nb单调增加，且nnblim，Abbaannnnn11lim，则Abannnlim证法 1：令Abbaacnnnnn11，则0limnnc，即对0，0N，当Nn时，nc由于),()()()()()()()()()(1211111211111211211NnnnnnnnNNNNnnnnnnNNNNnnnnnnnnnnnnbbAbbcbbcbbcabbAcbbAcbbAcabbAcbbAcabbAcaa所以,121111nNNnNnnNNnnnnnnnNNNnNNnnbAbabbbbAbabbbcbbcbbcbAbaAba因为nnblim，所以对于上述0，01N，当1Nn时，nNNbAba取,max12NNN，则当2Nn时，2Abann，即Abannnlim证法 2：0，因为11limnnnnnxxAyy，所以3,N3nN，有：11nnnnxxAyy， 即微积分（）极限习题解答第 7 页 共 9 页11nnnnxxAAyy取1nN，进行递推2121NNNNxxAAyy,即212121()()()()NNNNNNAyyxxAyy323232()()()()NNNNNNAyyxxAyy111()()()()nnnnnnAyyxxAyy以上各式相加，得：111()()()()nNnNnNAyyxxAyy即：1111()()()()nNNnnNNAyyxxAyyx同除以 yn 则：1111()(1)()(1)NNnNNnnnnnyxxyxAAyyyyy即：1111()()()()NNnNNnnnnnyxxyxAAAyyyyy因为：11limlim0lim0nxNxnNxnyyyxy所以，0，110,NnN时1()()NnyAy，0，220,NnN时1Nnxy，取123(,)NMax NNN，则对于0，0,NnN时，33nnxAy微积分（）极限习题解答第 8 页 共 9 页所以：limnnnxAy12利用 Stolz定理求下列极限（1）2212limnnaaann，其中aannlim解：令nnnaaau212，2nvn，则212)1(lim) 1()1(limlim122111anannnanvvuunnnnnnnnn，所以22lim221annaaann（2）121limmmmmnnn，m为正整数解：.1112)1()1()1(lim)1()1(lim21lim1111mnmmnmnnnnnnmmmnmmmnmmmmn（3）2112132212122122122lim21nnnnn解：令211213221212212212221nnnnna，则122ln2122ln2122ln21ln123221nnnnna，所以21ln122lnlim22122ln2limlnlim12112nnnnnnnnnnna，从而21122122122lim211213221221nnnnn微积分（）极限习题解答第 9 页 共 9 页13设,k证明数列sinn发散证明： 因为,k所以sin0, cos1.假设数列sinn收敛， 记lim sin.nnA则lim sin(1).nnA展开：lim(sincoscossin).nnnA所以数列cosn也收敛记lim cos,nnB则cossin,ABA即(1cos )sin .(1)AB再将cos(1)n展开：coscossinsin.nnB两边取极限：cossin,BAB即sin(1cos ).(2)AB22(1) sin(2)(1 cos ):0(sin(1 cos ) )2 (1 cos ).BB从而有0.B代入（ 1） ，( 1 c o s ) 0 ,0 .AA在恒等式22sincos1nn两边取极限：221, 01,AB矛盾！14已知,0m nmnm nxxx，证明limnnxn存在证明：1111210nnnxxxxxxnx， 所以10nxnxn， 所以数列nxn有界记infnxAn下面证明lim.nnxAn因为A是下界，所以.nxnAn0,因为A是下确界，所以111.2NxNAN当1nN时，记11,0nqNrrN，记00.x则111,.NnrnqNrNrqxxxxxqxxnnn记111max( ,).Naxx22.2aNnNn令12max(,),NNN则nN有111.22NNnrqxqxxxaAAnnnqNn。