基本计数原理概念及例题.doc

基本计数原理分类加法计数原理：做一件事情，完成它有 N类办法，在第一类办法中有 Mi种不同的方法，在第二类办 法中有 M2种不同的方法，……，在第 N类办法中有 Mn种不同的方法，那么完成这件事情共有 Mi+M 2+……+Mn种不同的方法2、 分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成 N个步骤，做第一 步有mi种不同的方法，做第二步 有M2不同的方法，……，做第N步有Mn不同的方法•那么完成这件事共有 N=M 1M2...MN种不同的方法3、 排列：从n个不同的元素中任取 m(mw n)个元素，按照.一定顺序排成一列，叫做从 n个不同元素中取 出m个元素的一个排列4、 排列数：从n个不同元素中取出 m(际n)个元素排成一列，称为从 n个不同元素中取出 m个元素的一 个排列•从n个不同元素中取出 m个元素的一个排列数，用符号 Am表示Am n(n 1) (n m 1) (m n,n, m N)(n m)!5、公式：A nAmi16、组合:从n个不同的元素A任取Ammcn个元素并成一组1A叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个组合7、公式：CCm AA； n(n(n i)i) (n(n mmi)i) nAAmmb!C C m n!n!n m!rfp(n m)h)!m n m.C n C n；Cn8、二项式定理：(ab)nC0an C；anib C討2b2 …C：anrbr …C：bn展开式的通项公式：Tr icnan rbr (r 0, i n)10、 二项式系数C；为二项式系数(区别于该项的系数)11、 杨辉三角：(1) 对称性：C Cn r r 0, i, 2,……,n(2) 系数和：Cn Cn… G 2n(3) 最值：n为偶数时，n+ i为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第nn2 i项，二项式系数为C2 ； n为奇数时，(n i)为偶数，中间两项的二项式n 1 n 1系数最大即第项及第「i项，其二项式系数为cF cF2 2排列组合例题1. （2010?山东潍坊）6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐 4人，则不同的乘车方法数为 （ ）A. 40 B. 50C. 60 D. 70［答案］B［解析］先分组再排列，一组 2人一组4人有C26= 15种不同的分法；两组各 3人共有C36A22= 10种不 同的分法，所以乘车方法数为 25X 2 = 50,故选B.2. 有6个座位连成一排，现有 3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 （ ）A. 36种 B. 48种C. 72种 D. 96种［答案］C［解析］恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A33A24 = 72种排法，故选 C.3•只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现， 这样的四位数有（ ）A . 6个 B. 9个C . 18 个 D. 36 个［答案］C［解析］注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C13= 3（种）选法，即1231,1232,1233而每种选择有 A22X C23= 6（种）排法，所以共有 3 X 6= 18（种）情况， 即这样的四位数有18个.4. 男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有（ ）A.2人或3人B . 3人或4人C . 3人D . 4人［答案］A［解析］设男生有n人，则女生有（8- n）人，由题意可得 C2nC18- n=30,解得n= 5或n = 6,代入验证， 可知女生为2人或3人.5. 某幢楼从二楼到三楼的楼梯共 10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三 楼用8步走完，则方法有（）A. 45种 B . 36种C . 28 种 D. 25 种［答案］C［解析］因为10+ 8的余数为2,故可以肯定一步一个台阶的有 6步，一步两个台阶的有 2步，那么共有C28= 28种走法.6 .某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有 （ ）A. 24种 B . 36种C . 38 种 D. 108 种［答案］B［解析］本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有 2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组， 一组1人另一组2人，共有C13种分法，然后再分到两部门去共有 C13A22种方法，第三步只需将其他 3 人分成两组，一组 1 人另一组 2 人即可，由于是每个部门各 4 人，故分组 后两人所去的部门就已确定，故第三步共有 C13种方法，由分步乘法计数原理共有 2C13A22C13= 36种）.7. 组合数 Crn（n>r > 1, n, r€ Z）恒等于（ ）A.r＋1n＋1Cr－1n－1 B. （n＋1）（r＋1）Cr－1n－1C. nrCr－1n－1 D.nrCr－1n－1［答案 ］ D［解析］TCrn = n! r!X （n — r）!=nx（n— 1）! rx （r — 1）!X ［（n — 1）— （r— 1）］!= nrCr — 1n— 1,故选 D.8•已知集合 A = {5} , B = {1,2} , C= {1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的 坐标，则确定的不同点的个数为 （ ）A. 33 B. 34C. 35 D. 36［答案 ］ A［解析 ］ ①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含 1 的有 C12?A33= 12个；② 所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有 1 个 1 的有 C12?A33＋A33= 18个；③ 所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有 2个1的有C13= 3个.故共有符合条件的点的个数为 12＋18＋3= 33 个，故选 A.9. （2010?四川理， 10）由 1 、2、3、4、5、6组成没有重复数字且 1、3都不与 5相邻的六位偶数的个数是 （ ）A. 72 B. 96C. 108 D. 144［答案 ］ C［解析 ］ 分两类：若 1 与 3相邻，有 A22?C13A22A23= 72（个），若 1 与 3不相邻有 A33?A33= 36（个）故共有 72＋36= 108个.10. （2010?北京模拟）如果在一周内 （周一至周日 ）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有 （ ）A. 50 种 B. 60种C. 120种 D. 210种［答案 ］ C［解析 ］ 先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有 6 种：（1,2）、（2,3）、（3,4）、（4,5）、（5,6）、（6,7），甲任选一种为 C16，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有 A25种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法 C16?A25= 120种，故选 C.二、填空题11. 安排 7位工作人员在 5月 1 日到 5月 7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在 5月 1日和 2 日，不同的安排方法共有 种. （用数字作答 ）［答案 ］ 2400［解析 ］ 先安排甲、乙两人在后 5 天值班，有 A25= 20（种）排法，其余 5 人再进行排列，有 A55= 120（种） 排法，所以共有 20x 120= 2400（种）安排方法.12. 今有 2 个红球、 3 个黄球、 4 个白球，同色球不加以区分，将这 9 个球排成一列有 种不同的排法. （用数字作答 ）［答案 ］ 1260［解析］由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有 C49?C25?C33= 1260种）排法.13. （2010?江西理， 14）将 6位志愿者分成 4组，其中两个组各 2 人，另两个组各 1 人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答 ）.［答案 ］ 1080［解析］先将6名志愿者分为4组，共有C26C24A22种分法，再将 4组人员分到4个不同场馆去，共有 A44种分法，故所有分配方案有： C26?C24A22?A44 = 1 080种.1 4．(201 0?山东济宁)要在如图所示的花圃中的 5个区域中种入 4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色， 有 种不同的种法 (用数字作答 ).［答案 ］ 72［解析 ］ 5有 4种种法， 1 有 3种种法， 4 有 2 种种法.若 1、3同色， 2 有 2 种种法，若 1、3不同色， 2 有 1 种种法，.••有 4X 3X 2X (1X 2+ 1X 1)= 72种.三、解答题15. (1)计算 C98100＋C199200；⑵求 20C5n+ 5=4(n+ 4)Cn— 1n+ 3+ 15A2n + 3 中 n 的值.［解析］ ⑴C98100+ C199200= C2100+ C1200= 100X 992+ 200= 4950+ 200= 5150.(2) 20X (n + 5)! 5! n != 4(n+ 4)x (n + 3)! (n — 1)! 4!+ 15(n + 3)(n+ 2),即(n + 5)(n+ 4)(n+ 3)(n+ 2)(n+ 1)6 =(n + 4)(n+ 3)(n+ 2)(n+ 1)n6+ 15(n+ 3)(n+ 2),所以(n+ 5)(n+ 4)(n+ 1)— (n+ 4)(n+ 1)n= 90,即卩 5(n+ 4)(n + 1)= 90所以 n2+ 5n— 14= 0,即 n = 2 或 n = — 7.注意到 n > 1 且 n € Z ,所以 n = 2.［点拨 ］ 在( 1 )中应用组合数性质使问题简化,若直接应用公式计算,容易发生运算错误,因此,当 m>n2时，特别是m接近于n时，利用组合数性质 1能简化运算.16. (2010?东北师大附中模拟 )有一排 8个发光二极管, 每个二极管点亮时可发出红光或绿光, 若每次恰有3 个二极管点亮, 但相邻的两个二极管不能同时点亮, 根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来 表示不同的信息,求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？［解析 ］ 因为相邻的两个二极管不能同时点亮, 所以需要把 3个点亮的二极管插放在未点亮的 5个二极管 之间及两端的 6 个空上,共有 C36 种亮灯办法.然后分步确定每个二极管发光颜色有 2X 2 X 2 = 8(种)方法，所以这排二极管能表示的信息种数共有 C36X2X 2X 2 = 160(种).17. 按下列要求把 12 个人分成 3个小组,各有多少种不同的分法？(1) 各组人数分别为 2,4,6个；(2) 平均分成 3 个小组；(3) 平均分成 3 个小组,进入 3 个不同车间.［解析 ］ (1)C212C410C66= 13 860(种)；(2) C412C48C44A33= 5 775(种)；(3) 分两步：第一步平均分三组；第二步让三个小组分别进入三个不同车间,故有 C412C48C44A33?A33=C412?C48?C44= 34 650(种)不同的分法.18. 6 男 4 女站成一排,求满足下列条件的排法共有多少种？(1) 任何 2名女。