施图姆-刘维尔本征值问题课件.ppt

构成构成施施图图姆姆-刘刘维维尔尔（Sturm-Sturm-LiouvilleLiouville）本征本征值值问题问题（本征（本征值值的全体称的全体称为给为给定定问题问题的的“谱谱”）9.4 施图姆施图姆-刘维尔本征值问题刘维尔本征值问题一、一、为本征值；为本征值；为为权重因子（权函数）权重因子（权函数）例：例：贝贝塞塞尔尔方程（本征方程（本征值问题值问题参参阅阅P328P328）（即厄米特方程（即厄米特方程（见见P487P487）（即拉盖（即拉盖尔尔方程方程）（见（见P490P490）以上各例中，以上各例中，在区在区间间上都取正上都取正值值；注意：注意：关于自然关于自然边边界条件是否存在：界条件是否存在：如端点如端点a a或或b b是是k(x)k(x)的一阶零点，在该端点就的一阶零点，在该端点就存在存在自然边界条件自然边界条件.共同条件：共同条件：则则存在存在无限多个本征无限多个本征值值且且相相应应有有无限多个本征函数无限多个本征函数二、施图姆二、施图姆-刘维尔本征值问题的性质：刘维尔本征值问题的性质：定理定理1 1：若若在在且且最多最多以以上连续，上连续，为为一阶极点一阶极点，证证明明对应的本征函数为对应的本征函数为 ，是方程的根，是方程的根.本征值本征值设设:则则讨论讨论：对对第一、第二第一、第二类边类边界条件：界条件：对对第三第三类边类边界条件：界条件：上式大于零，因上式大于零，因为为第一第一项项同理第二同理第二项项得得证证明：明：定理定理2 2：相相应应于不同本征于不同本征值值的本征函数的本征函数在区在区间间即即上带权重正交，上带权重正交，两式分两式分别别乘以乘以，相减，相减逐逐项项积积分分讨论讨论(证证明同上明同上):又又则则必可展必可展为为绝对绝对且且一致收一致收敛敛的广的广义义傅立叶傅立叶级级数数称称为为广广义义傅立叶系数；傅立叶系数；完完备备的，即若函数的，即若函数 满满足足广广义义的狄利克雷的狄利克雷条件条件：定理定理3 3：所有的本征函数族所有的本征函数族是是(1)(1)具有连续一阶导数和逐段连续二阶导数具有连续一阶导数和逐段连续二阶导数 ；所满足的边界条件，所满足的边界条件，(2)(2)满足本征函数族满足本征函数族其中其中模方模方证证明：明：当当正交关系和模是今后研究特殊函数的两个重要课题正交关系和模是今后研究特殊函数的两个重要课题关于归一化问题：关于归一化问题：正交关系正交关系即即归归一化本征函数族。

一化本征函数族当，当，对对本征函数族，本征函数族，可用可用作为新的作为新的一般定一般定义义：正交关系：正交关系：复数本征函数族复数本征函数族模：模：广广义义傅里叶傅里叶级级数及系数公式：数及系数公式：例：例：对对考考虑虑，正交关系：正交关系：时时，上式，上式=0=0当当时时，上式，上式=当当。