1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（2） 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.(数学抽象)2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理.(逻辑推理)3.能用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系.(逻辑推理)重点：用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系 难点：用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系 一、自主导学空间中直线、平面垂直的向量表示 位置关系向量表示线线垂直设直线l1,l2的方向向量分别为μ1,μ2,则l1⊥l2⇔μ1⊥μ2⇔μ1μ2=0线面垂直设直线l的方向向量为μ,平面α的法向量为n,则l⊥α⇔μ∥n⇔∃λ∈R,使得μ=λn面面垂直设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1n2=0二、小试牛刀1.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“”.(1)若两条直线的方向向量的数量积为0,则这两条直线一定垂直相交.( )(2)若一直线与平面垂直,则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )(3)两个平面垂直,则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直.( )(4)若两平面α,β的法向量分别为u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),则平面α,β互相垂直.( )2.设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量(-2,-4,k),若α⊥β,则k=( ) A.2 B.-5 C.4 D.-2一、情境导学类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？二、典例解析例1.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AB=1,点F是PB的中点,点E在边BC上移动.求证:无论点E在边BC上的何处,都有PE⊥AF.延伸探究本例条件不变,求证:AF⊥BC. 利用向量方法证明线线垂直的方法(1)坐标法:建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量的坐标,然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直;(2)基向量法:利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律,结合图形,将两直线所在的向量用基向量表示,然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直.跟踪训练1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AC的中点.求证:(1)BD1⊥AC;(2)BD1⊥EB1.例2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱AB,BC,B1B的中点.求证:D1M⊥平面EFB1. 利用空间向量证明线面垂直的方法(1)基向量法:选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,在平面内找出两个不共线的向量,也用基向量表示,然后根据数量积运算律分别证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论.(2)坐标法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面内两个不共线向量的坐标,然后根据数量积的坐标运算法则证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论.(3)法向量法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论.跟踪训练2如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=4 ,CD=2, AD=22,PA⊥平面ABCD,PA=4.求证:BD⊥平面PAC. 例3如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,点E为BB1的中点,证明:平面AEC1⊥平面AA1C1C.利用空间向量证明面面垂直的方法1.利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径:一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直;二是直接求解两个平面的法向量,由两个法向量垂直,得面面垂直.2.向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系,恰当建系或用基向量表示后,只需经过向量运算就可得到要证明的结果,思路方法“公式化”,降低了思维难度.跟踪训练3如图,在五面体ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M为EC的中点,AF=AB=BC=FE=12AD求证:平面AMD⊥平面CDE.金题典例 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,E是B1C的中点.(1)求cos.(2)段AA1上是否存在点F,使CF⊥平面B1DF?若存在,求出|AF|;若不存在,请说明理由. 应用空间向量解答探索性(存在性)问题立体几何中的存在探究题,解决思路一般有两个:(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想,找出点或线的位置,并用向量表示出来,然后再加以证明,得出结论;(2)假设所求的点或参数存在,并用相关参数表示相关点,根据线、面满足的垂直、平行关系,构建方程(组)求解,若能求出参数的值且符合该限定的范围,则存在,否则不存在.1.若直线l的方向向量为a=(1,-2,3),平面α的法向量为n=(-3,6,-9),则( )A.l⊂α B.l∥α C.l⊥α D.l与α相交2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点,则( )A.平面AED∥平面A1FD1B.平面AED⊥平面A1FD1C.平面AED与平面A1FD1相交但不垂直D.以上都不对3.若直线l的方向向量是a=(1,0,-2),平面β的法向量是b=(-1,0,2),则直线l与β的位置关系是 .4.如图,在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,BC=CD,∠BCD=90,∠ADB=30,E,F分别是AC,AD的中点,求证:平面BEF⊥平面ABC.5．如图所示，在长方体中，，，、分别是、的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面．参考答案：知识梳理二、小试牛刀1.答案: (1) (2)√ (3) (4)√ 2. 答案:B 解析:因为α⊥β,所以-2-8-2k=0,解得k=-5. 学习过程例1思路分析只需证明直线PE与AF的方向向量互相垂直即可. 证明:(方法1)以A为原点,以AD,AB,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设AD=a,则A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),C(a,1,0),于是F0,12,12.∵E在BC上,∴设E(m,1,0),∴PE=(m,1,-1), AF=0,12,12.∵PEAF=0,∴PE⊥AF.∴无论点E在边BC上何处,总有PE⊥AF.(方法2)因为点E在边BC上,可设BE=λBC,于是PEAF=(PA+AB+BE)12(AP+AB)=12(PA+AB+λBC)(AB+AP)=12(PAAB+PAAP+ABAB+ABAP+λBCAB+λBCAP)=12(0-1+1+0+0+0)=0,因此PE⊥AF.故无论点E在边BC上的何处,都有PE⊥AF.延伸探究 证明:同例题建系,易知AF=0,12,12,BC=(a,0,0),因为AFBC=0,所以AF⊥BC. 跟踪训练1 证明:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则B(1,1,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E12,12,0,B1(1,1,1).(1)∵BD1=(-1,-1,1),AC=(-1,1,0),∴BD1AC=(-1)(-1)+(-1)1+10=0.∴BD1⊥AC,∴BD1⊥AC.(2)∵BD1=(-1,-1,1),EB1=12,12,1,∴BD1EB1=(-1)12+(-1)12+11=0,∴BD1⊥EB1,∴BD1⊥EB1.例2思路分析一种思路是不建系,利用基向量法证明D1M与平面EFB1内的两个不共线向量都垂直,从而根据线面垂直的判定定理证得结论;另一种思路是建立空间直角坐标系,通过坐标运算证明D1M与平面EFB1内的两个不共线向量都垂直;还可以在建系的前提下,求得平面EFB1的法向量,然后说明D1M与法向量共线,从而证得结论.证明:(方法1)因为E,F,M分别为棱AB,BC,B1B的中点,所以D1M=D1B1+B1M=DA+DC+12B1B,而B1E=B1B+BE=B1B-12DC,于是D1MB1E=(DA+DC+12B1B)(B1B-12DC)=0-0+0-12+12-140=0,因此D1M⊥B1E.同理D1M⊥B1F,又因为B1E,B1F不共线,因此D1M⊥平面EFB1.(方法2)分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则D1(0,0,1),M1,1,12,B1(1,1,1),E1,12,0,F12,1,0,于是D1M=1,1,-12,B1E=0,-12,-1,B1F=-12,0,-1,因此D1MB1E=10+1-12+-12(-1)=0,故D1M⊥B1E;又D1MB1F=1-12+10+-12(-1)=0,故D1M⊥B1E.又B1E,B1F不共线,因此D1M⊥平面EFB1.(方法3)分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则D1(0,0,1),M1,1,12,B1(1,1,1),E1,12,0,F12,1,0,于是D1M=1,1,-12,B1E=0,-12,-1,B1F=-12,0,-1,设平面EFB1的法向量为n=(x,y,z),于是n⊥B1E,n⊥B1F,因此-12y-z=0,-12x-z=0,取x=2,则y=2,z=-1,即n=(2,2,-1),而1,1,-12=12(2,2,-1),即D1M=12n,所以D1M∥n,故D1M⊥平面EFB1. 跟踪训练2证明:因为AP⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以以A为坐标原点,AB,AD,AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则B(4,0,0),P(0,0,4), D(0,22,0),C(2,22,0),所以BD=(-4,22,0),AC=(2,22,0),AP=(0,0,4).所以BDAC=(-4)2+2222+00=0,BDAP=(-4)0+220+04=0,所以BD⊥AC,BD⊥AP.因为AP∩AC=A,AC⊂平面PAC,AP⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC.例3思路分析要证明两个平面垂直,由两个平面垂直的条件,可证明这两个平面的法向量垂直,转化为求两个平面的法。
