映射及映射法.docx

映射及映射法知识、方法、技能1. 映射的定义设A, B是两个集合，如果按照某种对应法则f对于集合A中的任何一个元素，在集 合B中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记作f : A - B.(1) 映射是特殊的对应，映射中的集合A, B可以是数集，也可以是点集或其他集合, 这两个集合有先后次序，从A到B的映射与从B到A的映射是截然不同的.(2) 原象和象是不能互换的，互换后就不是原来的映射了.(3) 映射包括集合A和集合B,以及集合A到B的对应法则f三者缺一不可.(4) 对于一个从集合A到集合B的映射来说，A中的每一个元素必有惟一的，但B 中的每一个元素都不一定都有原象•如有，也不一定只有一个.2. —一映射一般地，设A、B是两个集合，f: A - B.是集合A到集合B的映射，如果在这个映射 下，对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一个元素都有原象， 那么个这个映射叫做A到B上的——映射.3. 逆映射如果f是A与B之间的 对应，那么可得B到A的一个映射g：任给b e B，规定g(b) = a，其中a是b在f下的原象，称这个映射g是f的逆映射，并将g记为f—1.显然有(f—1)—1=f,即如果f是A与B之间的 对应，则f-1是B与A之间的 对应，并且f-1的逆映射是f事实上，f-1是B到A的映射，对于B中的不同元素b1和b2，由于它们在f下的原象不 同，所以b1和b2在1下的像不同，所以1是1 — 1的.任给a e A,设f (a) = b，则f -1(b)二a .这说明A中每个元素a在f—1都有原象.因此，1是映射上的.这样即得1是B到A上的1 — 1映射，即1是B与A之间——对应.从而1有逆映 射h: A — B.由于任给a e A,设h(a) = b，其中b是a在f—1下的原象，即f—1(b) =a,所以，f(a)=b，从而h(a) = b = /(a),得 = f，这即是f—1的逆映射是f.赛题精讲I映射 关映射的高中数学竞赛题是常见题型之一，请看下述试题 例 1 设集合M = {x I 0 < x < 11,x e Z},集合F = {(a,b,c,d) I a,b,c,d e M},映射 f： F—Z.使得(a, b, c, d) — ab 一 cd.已知(u, v, x, y) — 39, (u, y, x, v) — 66, 求x, y, u, v 的值.【思路分析】应从(a, b, c, d) — ab - cd入手，列方程组来解之.【略解】由f的定义和已知数据，得uv 一 xy = 39,uy 一 xv = 66(u, v, x, y e M).将两式相加，相减并分别分解因式，得显然，u — x > 0, y — v > 0,在x, y, u, v e {x I 0 < x < 11, x e Z}的条件下，0 < u — v < 11, [i05] +1 < y + v < 22,即10< y + v < 22,但(y + v)I105,可见(y + v) = 15,(y + v) = 21,11 1 2 对应可知(u - x) = 7,(u - x) = 5.1 227同理，由 0 < y 一 v < 11,[ ] +1 < u + x < 22知,3 < u + x < 22又有(u + x) = 3, (u + x) = 9.11 1 2 对应地，(y - v) = 9,(y - v) = 3.于是有以下两种可能：■ 2(y + v)(u - x) = 105, (y - v)(u + x) = 27.y + v = 21,u - x = 5,u + x = 9,y - v = 3.y=9， u=8, v=6；由(11)解出y=12,它已超出集合M中元素的(I)■<(II)■<1 y + x = 15, u 一 x = 7, u + x = 9, L y - v = 3； 由(I)解出x=1, 范围.因此，(II)无解.【评述】在解此类问题时，估计y + v,u -x,y - v,u + x的可能值是关键，其中，对它们的 取值范围的讨论十分重要.3应f并写出其逆映射.Jb.o X(b)图I—1—2—1例2：已知集合A = {(x, y )1才 <丄< 和集合{(x, y )1上> 0}.求一个A与B的【略解】从已知集合A, B看出，它们分别是坐标平面上两直线所夹角形区域内的点的集合 (如图I— 1—2—1).集合A为直线y = f x和y =<3x所夹角内点的集合，集合B则是第一、三象限内点的集合•所要求的对应实际上可使A区域拓展成B区域，并要没有“折叠”与“漏洞”•先用 极坐标表示集合A和B：兀 兀A = {(p cos0, p sin0)丨 p H 0, p e R,— <0 < —},6 3兀B = ｛(p cos 申,p sin 申)丨 p z 0, p e R,0 <申 <一｝.^2兀令f (p cos0, p sin0) T (p cos申,p sin申),申=3(0 ―丁).在这个映射下，极径p没有6改变，辐角之间是一次函数申=30 —，因而0和甲之间是 对应，其中0 e (学,),2 6 3兀申e (0,-).所以，映射f是A与B的 对应.逆映射极易写，从略.【评述】本题中将下角坐标问题化为极坐标问题，颇具特色应注意理解掌握.II映射法应用映射知识往往能巧妙地解决有关集合的一些问题例3：设X=｛1, 2，-，100｝，对X的任一非空子集M，M中的最大数与最小数的和称为M的特征，记为m(M).求X的所有非空子集的特征的平均数.【略解】设 A u X, 令f : A T A', A'二{101 — a I a e A} u X.于是f : A T A'是X的非空子集的全体(子集组成的集)，Y到X自身的满射，记X的非空子集为A,，A2，…，A (其中n=2100—1),则特征的平均数为1 2 ni=12n(m(A ) + m(A')).i i—工 m(A )二 n ii=1由于A中的最大数与A‘中的最小数的和为101, A中最小数与A'中的最大数的和也为101，故m(A )m(A ) = 202,从而特征平均数为 • 202 •n = 101・i i 2n如果A，B都是有限集合，它们的元素个数分别记为card(A), card(B).对于映射f : a t B来 说，如果f是单射，则有card(A) < card(B)；如果f是满射，则有card(A) > card(B)；如 果f是双射，则有card(A) = card(B).这在计算集合A的元素的个数时，有着重要的应用.即当card(A)比较难求时，我们就找另一个集合B,建立一一对应f : a t B，把B的个数数清，就有card (A) = card (B) •这是我们解某些题时常用的方法.请看下述两例.C相交，连同B‘，C共有n+2个分例4：把厶ABC的各边n等分，过各分点分别作 各边的平行线，得到一些由三角形的边和这些平 行线所组成的平行四边形，试计算这些平等四边 形的个数.【略解】如图I —1—2—2所示，我们由对称性， 先考虑边不行于BC的小平行四边形.把AB边和 AC边各延长一等分，分别到B‘，C',连接 B‘ C .将A B'的n条平行线分别延长，与B'点，从B'至C依次记为1，2,…，n+2•图中所示的小平行四边形所在四条线分别交B'C 于 i, j, k, l.记A=｛边不平行于BC的小平行四边形｝,B = {(i, j,k,l) 11 < i < j < k < l < n + 2}.把小平行四边形的四条边延长且交B'C'边于四点的过程定义为一个映射:f : A T B .下面我们证明f是A与B的一一对应，事实上，不同的小平行四边形至少有一条边不 相同，那么交于BC的四点亦不全同•所以，四点组(i, j,k,l)亦不相同，从而f是A到B的1 — 1的映射.任给一个四点组(i, j,k,l),1 < i < j < k < l < n + 2，过i，j点作AB的平行线，过k，l作AC的平行线，必交出一个边不平行于BC的小平行四边形，所以，映射f是A到B的满射.总之f是A与B的 对应，于是有card(A)二card(B)二C4 •n+2加上边不平行于AB和AC的两类小平行四边形，得到所有平行四边形的总数是3C4n+2例5：在一个6X6的棋盘上，已经摆好了一些1X2的骨牌，每一个骨牌都恰好覆盖两上相 邻的格子，证明：如果还有14个格子没有被覆盖，则至少能再放进一个骨牌.【思路分析】还有14个空格，说明已经摆好了11块骨牌，如果已经摆好的骨牌是12块，图I—1—2—3所示的摆法就说明不能再放入骨牌. 所以，有14个空格这一条件是完全必要的•我们 要证明当还有14个空格时，能再放入一个骨牌， 只要能证明必有两个相邻的空格就够了 •如果这种 情况不发生，则每个空格的四周都有骨牌，由于正 方形是对称的，当我们选定一个方向时，空格和骨牌就有了某种对应关系，即可建立空格到 骨牌的一种映射，通过对空格集合与骨牌集合之间的数量关系，可以得到空格分布的一个很 有趣的结论，从而也就证明了我们的命题.【略解】我们考虑下面5X6个方格中的空.如果棋盘第一行(即最上方的一行)中的空格数多于3个时，则必有两空格相邻，这时问题 就得到解决.现设第一行中的空格数最多是3 个,则有card(X) > 14-3 = 11，另一方面全部的骨牌数为11,即aard (Y) = 11.所以必有card(X) = card(Y),事实上这是一个 映射，这时，将发生一个很有趣的现象：最下面一行全是空格，当然可以放入一个骨牌【评述】这个题目的证明是颇具有特色的，从内容上讲，这个题目具有一定的综合性，既有 覆盖与结构，又有计数与映射，尤其是利用映射来计数，在数学竞赛中还较少见当然这个题目也可以用其他的方法来解决.例如，用抽屉原则以及用分组的方法来讨论其 中两行的结构，也能比较容易地解决这个问题，请读者作为练习.例6：设N={1, 2, 3,…},论证是否存一个函数f : N T N使得f (1) = 2，f(f(力)=f (n) + n 对一切n e N成立，f (n) < f (n +1)格，即除去第一行后的方格中的空格.对每一个这样的 空格，考察它上方的与之相邻的方格中的情况.(1) 如果上方的这个方格是空格，则问题得到解决(2) 如果上方的这个方格被骨牌所占，这又有三种情况.(i) 骨牌是横放的，且与之相邻的下方的另一个方格也是空格，则这时有两空格相邻，即问题得到解决；(ii) 骨牌是横放的，与之相邻的下方的另一个方格不是空格，即被骨牌所覆盖；(iii )骨牌是竖放的.现在假设仅发生(2)中的(ii)和(iii)时，我们记X为下面5X6个方格中的空格集 合，Y为上面5X6个方格中的骨牌集合，作映射® : X T Y，由于每个空格(X中的)上 方都有骨牌(Y中的)，且不同的空格对应于不同的骨牌.所以，这个映射是单射，于是有 card (X) < card(Y)，对一切 n e N 成立.【解法1】存在，首先有一条链.1—2—3—5—8—13—21—①链上每一个数n的后继是f (n)，f满足f (f (n)) = f (n) + n ②即每个数是它产面两个数的和，这种链称为f。