利用向量法解立体几何题型.doc

1例例 1 在棱长为 1 的正方体中，求 1、平面的法向量 2、求点到平面的距离3、 求直线与平面所成的角4、求二面角的大小例例 2 2（05 江西 理）如图 4，在长方体中，AD==1，AB=2，点 E在棱 AB 上移动Ⅰ）证明：；（Ⅱ）当 E 为 AB 的中点时，求点 E 到面的距离；（Ⅲ）AE 等于何值时，二面角的大小为例例3（05 全国卷Ⅱ）如图 5，四棱锥中，底面 ABCD 为矩形，底面 ABCD，AD=PD， E，F 分别 CD、PB 的中点 （Ⅰ）求证：EF平面 PAB；（Ⅱ）设 AB=BC，求 AC 与平面 AEF 所成角的大小Ⅰ）证明：建立空间直角坐标系（如图 5），设 AD=PD=1，AB=（），则 E(a,0,0),C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1), .得，，由，得，即，同理，又，所以，EF平面 PABⅡ）解：由，得，即2有，，设平面 AEF 的法向量为，由，解得设 AC 与面 AEF 所成的角为，与的夹角为所以，AC 与平面 AEF 所成角的大小为例例 4 4 如图 6 已知四棱锥的底面为直角梯形，AB//DC，，底面 ABCD，且 PA=AD=DC=，M 是 PB 的中点。

Ⅰ）证明：面 PAD面 PCD；（Ⅱ）求 AC 与 PB 所成的角；（Ⅲ）求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小 例 1：如右下图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1中,已知 AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F 分 别是线段 AB、BC 上的点，且 EB= FB=1. (1) 求二面角 C—DE—C1的正切值; (2) 求直线 EC1与 FD1所成的余弦值. 例例 5 5：（04 年高考辽宁卷 17）如图，已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 是菱形，∠DAB=600，PD⊥平面 ABCD，PD=AD，点 E 为 AB 中点，点 F 为 PD 中点3（1）证明平面 PED⊥平面 PAB； （2）求二面角 P-AB-F 的平面角的余弦值证明：（1）∵面 ABCD 是菱形，∠DAB=600，∴△ABD 是等边三角形，又 E 是 AB 中点，连结 BD∴∠EDB=300，∠BDC=600，∴∠EDC=900，如图建立坐标系 D-ECP，设 AD=AB=1，则PF=FD=，ED=，∴P（0，0，1），E（，0，0），B（，，0） ∴=（，，-1），= （，0，-1），平面 PED 的一个法向量为=（0，1，0） ，设平面 PAB 的法向量为=（x, y, 1)由 ∴=（, 0, 1)∵·=0 即⊥ ∴平面 PED⊥平面 PAB（2）解：由（1）知：平面 PAB 的法向量为=（, 0, 1), 设平面 FAB 的法向量为1=（x, y, -1)，由（1）知：F（0，0，），=（，，-）， = （，0，-），4由 ∴1=（-, 0, -1)∴二面角 P-AB-F 的平面角的余弦值 cosθ= |cos| =例例 6 6、已知正方形 ABCD，边长为 1，过 D 作 PD⊥平面 ABCD，且 PD=1，E、F 分别是 AB 和 BC 的中点，（1）求 D 到平面 PEF 的距离； （2）求直线 AC 到平面 PEF 的距离例例 7 7、在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2（如图）（1）求证：平面 A1BC1//平面 ACD1；（2）求（1）中两个平行平面间的距离；（3）求点 B1到平面 A1BC1的距离。

例例 8 8 如图, 在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点 D 是 AB 的中点， （I）求证：AC⊥BC1； （II）求证：AC 1//平面 CDB1；解法一解法一：（I）直三棱柱 ABC－A1B1C1，底面三边长 AC=3，BC=4AB=5，∴ AC⊥BC，且 BC1在平面 ABC 内的射影为 BC，∴ AC⊥BC1；（II）设 CB1与 C1B 的交点为 E，连结 DE，∵ D 是 AB 的中点，E 是 BC1的中点，∴ DE//AC1，∵ DE平面 CDB1，AC1平面 CDB1，∴ AC1//平面 CDB1；. 例例 9 9（20072007 武汉武汉 3 月月）如图所示，四棱锥 P—ABCD 中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M 为 PC 的中点1)求证：BM∥平面 PAD；(2)在侧面 PAD 内找一点 N，使 MN平面 PBD；(3)求直线 PC 与平面 PBD 所成角的正弦5（1）是的中点，取 PD 的中点，则，又 四边形为平行四边形∥，∥（4 分）例例 1010. （20072007河北省唐山市三模河北省唐山市三模）如图，在长方体中，点段上.（Ⅰ）求异面直线与所成的角；（Ⅱ）若二面角的大小为，求点到平面的距离.解法一：（Ⅰ）连结。

由已知，是正方形，有∵平面，∴是在平面内的射影根据三垂线定理，得，则异面直线与所成的角为作，垂足为，连结，则所以为二面角的平面角，.于是易得，所以，又，所以设点到平面的距离为.∵即，∴，即，∴.故点到平面的距离为解法二：分别以为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.（Ⅰ）由，得设，又，则∵∴则异面直线与所成的角为Ⅱ）为面的法向量，设为面的法向量，则∴. ①由，得，则，即∴ ②6由①、②，可取又，所以点到平面的距离 .例例 1111（本小题满分 14 分）如图，已知点 P 在正方体的对角 线上，∠PDA=60°. （1）求 DP 与所成角的大小； （2）求 DP 与平面所成角的大小.空间向量解立体几何问题（一）空间向量解立体几何问题（一）一、知识梳理 ( (一一) )基本知识点：基本知识点：1.1.若若=xi+yj+zk=xi+yj+zk，那么（，那么（x x，，y y，，z z）叫做向量）叫做向量的坐标，也的坐标，也叫点叫点 P P 的坐标的坐标. .2.2.设设 = =（（x x1 1，，y y1 1，，z z1 1），）， = =（（x x2 2，，y y2 2，，z z2 2），），那么那么= =（（x x1 1±x±x2 2，，y y1 1±y±y2 2，，z z1 1±z±z2 2），）， =x=x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2+z+z1 1z z2 2，，. .3.3.设设M M1 1（（x x1 1，，y y1 1，，z z1 1），），M M2 2（（x x2 2，，y y2 2，，z z2 2），），则则 ，， |M|M1 1M M2 2|=|=.例例 1、、(1)a a＝(2，－3，1)，b b＝(2，0，3)，c＝(0，0，2)，则a a＋6b b－8c c＝( ) (A)(14，－3，3)(B)(14，－3，35) (C)(14，－3，－12)(D)(－14，3，－3) (2)若向量a a＝(2，1，－2)，b b＝(6，－3，2)，则 cosb>＝______．7(3)若向量a a＝(1，λ，2)，b b＝(2，－1，2)，且a a与b b的夹角余弦为，则 λ 等于( )(A)2 (B)－2(C)－2 或(D)2 或(4)正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为 1，E为CC1中点，(1)求；4.4.对非零向量对非零向量 a a 与与 b b，有，有 a∥ba∥b a=kba=kb；； a⊥ba⊥b a·b=0.a·b=0.例 2、（1）下列各组向量中不平行的是( ) (A)a a＝(1，2，－2)，b b＝(－2，－4，4)(B)c c＝(1，0，0)，d d＝(－3，0，0) (C)e e＝(2，3，0)，f f＝(0，0，0)(D)g g＝(－2，3，5)，h h＝(16，24，40) （2）已知向量a a＝(2，－1，3)，b b＝(－4，2，x)，若a a⊥b b，则x＝( )(A)2(B)－2(C)(D)（3）已知向量a a＝(1，1，0)，b b＝(－1，0，2)，且ka a＋b b与 2a a－b b互相垂直，则k值 是______． （4）直三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱 AA1＝2，M、N分别是A1B1，A1A的中点。

如图，建立空间直角坐标系．(1)求的坐标及BN的长；8(2)求的值；(3)求证：A1B⊥C1M．5 5、平面、平面 ABCABC 的法向量：的法向量： 例 3、如图，四棱锥P－ABCD中,底面ABCD为矩形，PD⊥底面 ABCD，AD＝PD＝2．AB＝4，E，F分别为CD,PB的中点． 求平面AEF的一个法向量的坐标．（二）运用：1 1、空间平行问题：、空间平行问题：(1)(1) 证明：两直线平行证明：两直线平行（（= =（（x x1 1，，y y1 1，，z z1 1），），= =（（x x2 2，，y y2 2，，z z2 2））））（（2 2）证明：直线）证明：直线 ABAB 平行平面平行平面 CDECDE ( (例 4、正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AB，A1D1的中点，求证：MN∥平面BB1D1D．例 5、如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝CC1，AC⊥BC，点D是AB的中点．9(1)求证：AC1∥平面CDB1； (2)求异面直线AC1与B1D所成的角的大小．(3) 证明：两平面平行 （）例 6、如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E，F，M，N分另是 A1D1，D1D，BC，BB1的中点． 求证：平面EFC1∥平面AMN．2 2、空间垂直问题：、空间垂直问题：证明：两直线垂直：AB⊥⊥CD 例 7、如图，已知直三棱柱中，BC=1，，M 是的中点。

求证：证明：直线垂直平面：证明：直线垂直平面：PA 例 8、如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，E，F分别是 AB，PC的中点．求证：EF⊥平面PCD．10证明：两平面垂直：证明：两平面垂直： （（）例 9、正方体ABCD－A1B1 C1D1中，P，M，N分别是DC，CC1，BC中点． 求证：平面PA1A⊥平面MND．3 3、空间角问题：、空间角问题：（（1 1）求异面直线）求异面直线 ABAB 与与 CDCD 所成角：所成角：例 10、直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC1＝1．(1)求异面直线AC1与CB1所成角的大小； (2)证明：BC1⊥AB1．(2)(2)求求 PAPA 与面与面 ABCABC 所成角所成角：设：设是面是面 ABCABC 的法向量，则的法向量，则= =，，例 11、正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为 2，E，F分别为AD，AB的中点，求BC1与平面A1EF 所成角的大小．(3)(3)求二面角求二面角 A A——BCBC——D D 的大小的大小：设：设和和是面是面 ABCABC 和面和面 BCDBCD 的法向量，的法向量，= =例 12、正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BB1，D是BC的中点，求二面角C－AC1－D的大小．114 4、空间距离问题：、空间距离问题：P P 点到面点到面 ABCABC 的距离的距离 d:d: 其中设其中设是面是面 ABCABC 的法向量的法向量 例 13、正四棱锥S－ABCD的所有棱长均为 2，E，F，G分别为棱AB，AD，SB的中点．求点 C到平面EFG的距离．二、 知识训练： 1.若a a=（2x，1，3），b b=（1，－2y，9）。