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庞加莱猜想-前言Wir m\“ussen wissen! Wir werden wissen!(我们必须知道！我们必将知道！)—— David Hilbert两年前科学版举行过一次版聚，我报告了低维拓扑里面的一些问题和进展，其中有一半篇幅是关于 Poincar\'e 猜想版聚后，flyleaf 要求大家回去后把自己所讲的内容发在版上当时我甚至已经开始写了一两段，但后来又搁置了主要是因为自己对于低维拓扑还是一个门外汉，写出来的东西难免有疏漏之处，不敢妄下笔两年过去，我对低维拓扑这门学科的了解比原先多了，说话的底气也就比原先足了另外，由于 Clay 研究所的百万巨赏，近年来 Poincar\'e 猜想频频在媒体上曝光；而且 Perelman 最近的工作使数学家们有理由相信我们已经充分接近于这一猜想的最后解决所以大概会有很多人对 Poincar\'e 猜想的来龙去脉感兴趣，我也好借机一偿两年来的宿愿现代科学的高速发展使各学科之间的鸿沟加大，不同学科之间难以互相理解，所以非数学专业的读者在阅读本文时可能会遇到一些困难但限于篇幅和文章的形式，我也不可能对很多东西详细解释一些最基本的拓扑概念如“流形”，我将在本文的附录中解释。

还有一些“同调群”、 “基本群”之类的名词，读者见到时大可不去理会它们的确切含义我将尽量避免使用这一类的专业术语作者并非拓扑方面的专家，对下面要说的很多内容都是道听途说，只知其然而不知其所以然；作者更不善于写作，写出来的东东总会枯燥无味，难登大雅之堂凡此种种，还请读者诸君海涵问题的由来Consid\'erons maintenant une vari\'et\'e [ferm\'ee] $V$ \`a troisdimensions ... Est-il possible que le groupe fondamental de $V$ ser\'eduise \`a la substitution identique, et que pourtant $V$ ne soit passimplement connexe?—— Henri Poincar\'e在拓扑学家的眼里，篮球、排球和乒乓球并没有什么不同，它们都同胚于三维空间中的球面 S^2. (我们把 n+1 维欧氏空间中到原点距离为 1 的点的集合记作 S^n，称为 n 维球面(sphere)) 与它们不同的一种曲面是轮胎或者游泳圈，我们管这种曲面叫环面(torus)，记作 T^2.从环面出发可以构造更多的曲面：取两个环面，在每个上面挖一个洞，然后把两个洞的边缘粘在一起，就得到一种新的曲面，称为双环面，记作 2T^2. 从两个环面得到双环面的这种过程称为作两个环面的连通和(connected sum)。

类似地，还可以作双环面与环面的连通和，得到的曲面自然就记作 3T^2...早期拓扑学研究的主要对象就是这些形形色色的曲面19 世纪的数学家基本上已经完成了曲面的分类，一个著名的结果是 August M\“obius 在 70 岁时得到的：可定向闭曲面只有上面所说的那些，即 S^2, T^2, 2T^2, 3T^2...拿一个汽车轮胎，我们可以用一个绳圈把它套住，而且套得很牢，怎么晃都晃不掉，只要绳子不断、轮胎不裂如果是皮球就不同了，你没法用绳圈把一个皮球套牢即使你将皮球捏瘪甚至捏凹，也只能勉强用绳圈套上，稍微晃一晃就掉了这种“用绳圈套不住”的性质是球面所独有的，数学上称为“单连通性”较严格地用数学语言说，球面上的任何一条闭合道路都能在球面上连续地收敛为一点而 T^2, 2T^2 等曲面就不是单连通的，因为上面存在着一些闭合道路，不能在该曲面上连续地收缩为一点根据 M\“obius 所证明的闭曲面分类定理，单连通的闭曲面必然同胚于球面数学家们在获得一个结论后，总是会寻找更加一般的结论以前 Ecole Poly-technique 的一位物理教授面试 ukim 的时候，出了一道题，大意是在 xz 平面, zy平面, yz 平面各放一面镜子，一束光照进来，然后如何如何。

ukim 当然不会做，然后那教授给他讲了一个很好的看法为了挽回面子，ukim 瞬间证明了这个问题可以推广到 n 维……一百年前 ukim 的校友 Poincar\'e 同样是遵循着这种低维->高维的推广思路，写下了前面那一段引言今天我们把这个问题称为 Poincar\'e 猜想：单连通的三维闭流形必然同胚于三维球面 S^3. 也就是说，如果有一个三维闭流形 M，M 中任何一条闭合道路都能在 M 内连续收缩为一点，那么 M 就同胚于 S^3.需要指出，Poincar\'e 提出这一问题时，并不是作为一个“猜想”(见[Th2])因为他自己只是问“单连通的三维闭流形是否同胚于 S^3”，并没有给出一个倾向性的答案而且他以其深刻的洞察力，看出这一问题的解决还有待时日：“Mais cettequestion nous entra\^{\i}nerait trop loin.“参考文献：[Mil] J. Milnor, “The Poincar\'e Conjecture“, http://www.claymath.org/Millennium_Prize_Problems/Poincare_Conjecture/_objects/Official_Problem_Description.pdf, (2000).[Th2] Thurston, W. P. “Three-dimentional manifolds, Kleinian groups andhyperbolic geometry“, Bull. Amer. Math. Soc. 6(1982), 357-381.维数的玩笑Dimension implies direction, implies measurement, implies the more andthe less.—— Edwin A. Abbott, “Flatland“1900 年，Poincar\'e 最初用他所创立的代数拓扑研究三维流形时，提出的问题是：如果一个流形与三维球面有着相同的同调群，那么这个流形是否同胚于 S^3？四年后他本人给出了否定的回答。

这时他已经引进了基本群，于是便将问题改成：“如果一个三维闭流形与三维球面有相同的基本群，(即基本群平凡，或者说这个流形单连通，) 那么这个流形是否同胚于 S^3？”这就是我们所说的“Poincar\'eConjecture”容易证明，如果一个三维闭流形单连通，那么它同伦等价于 S^3，当然也与 S^3有相同的同调群我们今天把与球面有相同的同调群的流形称为同调球(homologysphere)，而同伦等价于球面的流形则称为同伦球(homotopy sphere)Poincar\'e猜想也可以叙述为：三维同伦球一定同胚于球面Poincar\'e 在 1904 年构造了一个三维同调球，其基本群是一个 120 阶群，从而对他在 1900 年提出的那个问题给了否定回答有趣的是，尽管后人能构造出许多同调球，但只有 Poincar\'e 的那个具有有限的基本群事实上，如果 Poincar\'e猜想正确的话，Poincar\'e 的同调球就是唯一一个基本群有限但不同胚于 S^3 的同调球 ）我们在前一节说过，数学家总是喜欢对问题进行推广后来的数学家推广了Poincar\'e 的命题，提出所谓的广义 Poincar\'e 猜想：n 维同伦球一定同胚于 n 维球面 S^n. 这个问题等价于：如果一个 n 维单连通流形与 S^n 有相同的同调群，那么它同胚于 S^n.1961 年，Stephen Smale 在[Sm]文中证明了广义 Poincar\'e 猜想在 n≥5 时成立，并因此获得了 1966 年的 Fields 奖。

Smale 是一位经历丰富、特立独行的数学家六十年代在 Berkeley 他就是反越战运动的领袖，并因此上了 FBI 的黑名单1966 年他到莫斯科领取 Fields 奖时，又因为公开抨击苏联的国内国际政策而被 KGB找去谈话1998 年北大百年校庆期间，我有幸见到这位传奇人物当时感觉他虽然面容如古井不波，眼眸中却隐藏不住顽皮好动的神色最近出版了一本他的传记[Bat]，读者可以从中领略到他的风采这里有一点乍看来比较奇怪：通常我们认为高维比低维更复杂更困难，但广义Poincar\'e 猜想首先获得证明的却是 n≥5 的情形拓扑里这种事很常见，很多问题都是低维比高维更困难，可谓是维数开的一个玩笑我们可以简要解释如下：维数高意味着有更多的“余地”进行一些操作比如说，我们经常要考虑流形里的曲面曲面是 2 维的对象，在 3 维或 4 维流形中，它的“剩余”维数是 1 或 2，太狭小；在 5 维以上流形中， “剩余”维数大于它自身的维数，有充足的余地进行操作1982 年，UCSD 的 Michael Freedman 完成了单连通四维流形的拓扑分类，从而证明了 4 维的广义 Poincar\'e 猜想，并因此获得了 1986 年的 Fields 奖。

至此，后人提出的“广义” Poincar\'e 猜想都已经获得证明，而 Poincar\'e 原先提出的三维情形还没解决Freedman 的工作已经超出了笔者的理解范围，有兴趣的读者可参见[FQ]和[Kir]Freedman 热爱攀岩，善于长跑有一年北京大学的王诗宬同他在海边跑一万米，跑完后 Freedman 意犹未尽，立刻作了几十个俯卧撑Freedman 的妻子是美国国家长跑队的队员，跑得比他还快如今他已经跳槽到微软研究院，研究远未有结果的“量子场计算机”参考文献：[Bat] S. Batterson, “Stephen Smale : the mathematician who broke thedimension barrier“, American Mathematical Society (2000). 中译本：“突破维数障碍 斯梅尔传”，邝仲平译，上海科技教育出版社 (2002).[FQ] M. H. Freedman, and F. Quinn, “Topology of 4-manifolds“, PrincetonUniversity Press (1990).[Kir] R. C. Kirby, “The topology of 4-manifolds“, Lecture Notes inMathematics 1374, Springer-Verlag (1989).[Sm] S. Smale, “Generalized Poincar\'e's Conjecture in dimensions greaterthan four“, Ann. Math. 74(1961), 391-406.拓扑的初步概念天地有正气，杂然赋流形。

—— 文天祥Nicholas Bourbaki 先生认为数学中有三种基本结构：代数结构、拓扑结构、序结构拓扑学(topology)是研究拓扑结构的数学分支，自然地，它在现代数学中就占据着重要的地位为便于读者理解正文，作者将简要介绍一些拓扑初步概念，它们的确切定义可以参见任何一本拓扑入门教材，例如[Arm],[You][BE]则是一本很好的普及读物拓扑学最基本的研究对象是拓扑空间(topological space)所谓拓扑空间就是一个集合，上面赋予了拓扑结构更确切的定义不适合在这里写出来，读者只要知道：有拓扑结构后， “连续”这个概念就可以定义了直线、平面、三维欧氏空间、各种曲线、曲面、多面体……都可以作为拓扑空间的例子拓扑空间之间可以定义连续映射(continuous map)设 X,Y 是两个拓扑空间，f: X -> Y 是一个连续映射，如果 f 有逆映射，而且逆映射也是连续的，那么就说f 是一个同胚映射(ho。