材料力学第六章-弯曲变形.ppt

王 培 荣 Tuesday, September 17, 2024教学要求n n1．熟练掌握计算梁变形的叠加法n n2．掌握梁刚度条件的应用n n3. 了解提高梁刚度的主要措施§6．4 用叠加法求弯曲变形 Deformations by superposition n n1.载荷叠加法；n n2.位移叠加法（逐段刚化法）；n n位移计算一、用叠加法计算梁的变形 设梁上有设梁上有n n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为为M(x)M(x)，转角为，转角为 ，挠度为，挠度为y y，则有：，则有： 若梁上只有第若梁上只有第i i个载荷单独作用，截面上弯矩为个载荷单独作用，截面上弯矩为 ，转角为，转角为 ，挠度为，挠度为 ，则有：，则有：由弯矩的叠加原理知：由弯矩的叠加原理知：所以，所以，故故由于梁的边界条件不变，因此由于梁的边界条件不变，因此重要结论：重要结论： 梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。

于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和这就是这就是计算弯曲变形的叠加原理计算弯曲变形的叠加原理叠 加 法 特 征n n1.各载荷同时作用下挠度、转角，等于单独作用下挠度、转角的矢量和同一方向的矢量和即为代数和n n2.梁在简单载荷作用下的挠度、转角应为已知，或有变形表，可供查找叠 加 法 特 征n n1.各载荷同时作用下挠度、转角，等于单独作用下挠度、转角的矢量和同一方向的矢量和即为代数和n n2.梁在简单载荷作用下的挠度、转角应为已知，或有变形表，可供查找 叠加法前提叠加法前提 力与位移之间的线性关系力与位移之间的线性关系 小变形小变形n n计算步骤：n n1.分解：将作用在梁上的复杂载荷分解成简单载荷；n n计算：利用简单载荷作用下梁的挠度和转角的计算结果；n n3.叠加：可求出梁在复杂载荷作用下的变形已知已知：：q、、l EI求求：：wC , B怎样用怎样用怎样用怎样用叠加法确定叠加法确定 C和和wC例 题 图示悬臂梁受集中载荷F、均布载荷q和集中力偶m的作用若已知梁的抗弯刚度为EI,跨度为l，试求B截面的转角和挠度。

ABlqFmABlmABlFABlq解:画出载荷m、F、q单独作用时的悬臂梁θB wBml ──── EIFl2────2EI ql3 ────6EIml 2 ────2EIFl3────3EI ql4 ────8EI将各种载荷单独作用引起的变形叠加得:例 题 图示悬臂梁受均布载荷q作用若已知梁的抗弯刚度为EI,试求B截面的转角和挠度ABaqCaABaqCaABaqCaABaqCa例 题 图示梁受均布载荷q作用若已知梁的抗弯刚度为EI,试求C截面的挠度ABaqCa解法一ABaq/2CaABaq/2CaABaqCaq/2解法二ABaqCaABaqCaABaqCa例 题 图示梁受均布载荷q作用若已知梁的抗弯刚度为EI,试求A截面的挠度Aa2qDaaqCBAa2qDaaqCBAa2qDaaCBAaDaaqCBqa2qa22qa2qa2.位移叠加法（逐段刚化法）n n将梁分成几段，分别计算各梁段的变形在需求位移处引起的位移时，叠加得需求之位移n n计算步骤：n n1.分段；n n2.考虑某梁段变形引起的位移时，将其它梁段视为刚化，计算位移；n n3.叠加。

例题：已知例题：已知 P P,E,G,E,G，求，求C C点点铅垂位移铅垂位移PABC尺寸：尺寸：l, d尺寸：尺寸：a, b, h分析：分析： AB —— 弯曲弯曲 + 扭转变形，扭转变形， BC —— 弯曲变形弯曲变形 故故 C点的挠度由三部分组成点的挠度由三部分组成 ——•AB弯曲引起的弯曲引起的B点下沉＋点下沉＋•AB扭转引起扭转引起C点位移＋点位移＋ •BC弯曲引起弯曲引起C点下沉点下沉解：采用逐段刚化法解：采用逐段刚化法(1)(1)将将ABAB刚化刚化, ,计算计算BCBC弯曲变形引起的弯曲变形引起的(2)(2) C C点的挠度点的挠度. .PB(固定端固定端)C尺寸：尺寸：a, b, h(2) 将将BC刚化刚化, 即去掉即去掉BC，但保留，但保留BC对对AB的的 作用力，计算作用力，计算AB弯曲引起的弯曲引起的C点的挠度点的挠度PAB尺寸：l, dT(3) 将将BC刚化计算刚化计算AB扭转变形引起的扭转变形引起的C点的点的挠度挠度计算计算B截面扭转角截面扭转角所以，所以，C点位移为：点位移为：PAB尺寸：l, dT例 题 图示梁受均布载荷q作用。

若已知梁的抗弯刚度为EI,试求A截面的挠度Aa2qDaaqCBCB段刚化，只考虑AC段的变形AC段刚化，考虑CB段的变形AaDaaCBAaDaaqCBq2q2qAaDaaqCBqa22qaAaDaaqCB2q 3. 将AC段和CB段变形在A点分别引起的挠度叠加，得例 题 图示铰接联合梁，受均布载荷q、集中载荷F=qa的作用若已知梁的抗弯刚度EI及尺寸a试求B、D两点的挠度AaDaaqCBF=qaBD段刚化，只考虑AB段的变形AaDaaqCBF=qaAaqP=qaBAB段刚化，考虑BD段的变形AaDaaqCBF=qaaDaCBF=qa将BD段视为外伸梁，由表查得: 3. 将AB段和BCD段变形在B点(D点)分别引起的挠度叠加，得 用用叠加法求叠加法求AB梁上梁上E处的处的挠度挠度 wEwE 2wE = wE 1+ wE 2 = wE 1+ wB/ 2wB=?=?wE 1wB= = wB1 1+ + wB2 2+ + wB3 3梁的刚度计算n n刚度条件wmax≤[w] ,θmax≤[θ]n n式中wmax 、θmax是由外力引起的梁中挠度和转角绝对值的最大值，它们可以通过积分法或叠加法计算求得。

n n(一)校核刚度验算梁是否满足刚度条件n n(二)设计截面由刚度条件确定梁所需要横截面尺寸n n(三)确定许可载荷由刚度条件确定梁所能承受的最大弯矩；进一步计算出梁所能承受的最大载荷刚度条件应用例 题 工字钢截面悬臂梁AB长l=4m，在自由端作用集中荷载F=10kN设材料的弹性模量G=210GPa，梁的容许挠度[w]=l/400试按刚度条件选择工字钢截面的型号FlAB由刚度条件: 由型钢表查得32a工字钢的惯性矩为11000cm4，它能满足刚度条件，故可选用32a工字钢制作该梁§6．6 提高弯曲刚度的一些措施 讨论与思考题讨论与思考题AaDaaqCBP=qaAaDaaqCBP=qaAaDaaCBP=qaP=qa作 业n6．10（a）、 (d)n6．14n6．15n6．21例：试求B截面的转角和挠度位移计算tan=wzwytan=FPzFPy=? ?llEI2EIABC例题：阶梯形悬臂梁例题：阶梯形悬臂梁BC段刚度为段刚度为EI，，AB段刚段刚 度为度为2EI，自由端，自由端C处作用集中处作用集中力力F。

求求C处挠度和转角处挠度和转角FllEI2EIABC刚化刚化BCFABCFFlABCFFl。