ch10_组合变形(3rd).pdf

1 第 十 章 组合变形 10-2 图 a 所示板件， b=20mm， =5mm，载荷 F = 12 kN，许用应力 [] = 100 MPa，试求板边切口的允许深度 x 题 10-2 图 解：在切口处切取左半段为研究对象（图 b），该处横截面上的轴力与弯矩分别为 FFN )( abFM  (a) 显然， 222 xbxba (b) 将式 (b)代入式 (a)，得 2FxM切口段处于弯 拉组合受力状态，该处横截面上的最大拉应力为 22Nm a x 432( 2a )6 22 aFxaFFxaFWMAF  根据强度要求，在极限情况下， ][432 2   aFxaF将式 (b)与相关数据代入上式，得 01039.61277.0 42  xx 由此得 切口的允许深度为 mm 20.5x 10-3 图示矩形截面钢杆，用应变片测得上、下表面的纵向正应变分别为 aε =1.0× 10-3与 bε =0.4× 10-3，材料的弹性模量 E=210GPa试绘横截面上的正应力分布图，并求拉力 F 及其偏心距 e 的数值。

2 题 10-3 图 解 ： 1.求 aσ 和 bσ 截面的上、下边缘处均处于单向受力状态，故有 M P a84Pa104.010210 M P a210Pa100.110210 3939  bbaa E εσ E εσ 偏心拉伸问题，正应力沿截面高度线性变化，据此即可绘出横截面上的正应力分布图，如图 10-3 所示 图 10-3 2．求 F 和 e 将 F 平移至杆轴线，得 FeMFF  ，N 于是有 aza EεWFeAFσ EεWFeAFσ zb 代入 相关 数据后， 上述 方程 分别 成为 26250240  FeF 1 0 5 0 02 4 0  FeF 经联立求解，于是 得 mm7 8 6.1m107 8 6.1kN38.18N1 8 3 7 5 3  eF ， 10-6 图示直径为 d 的圆截面铸铁杆，承受偏心距 为 e 的载荷 F 作用试证明：当8/de 时，横截面上不存在拉应力，即截面核心为 R = d/8 的圆形区域 题 10-6 图 证明 ：此为偏心压缩问题载荷偏心产生的弯矩为 FeM 3 受拉区的最大拉应力为 AFWMσ maxt,(a) 横截面上不存在拉应力的条件，要求式 (a)小于或等于零，即要求 23 π4π32 dFdFe由此得 8de10-7 图 a 所示杆件，同时承受横向载荷与偏心压力作用。

已知许用拉应力 [t] = 30 MPa，许用压应力 [c] = 90 MPa， h=180mm， b=60mm， l=500mm，试确定 F 的许用值 题 10-7 图 解：固定端处的横截面 A 为危险截面，该截面的内力如图 b 所示，弯矩为 FhFlhFFlhFFlM y 52102  FbbFbFM z 52102  而轴力则为 )( 10N 压力FFF  横截面 A 的最大拉应力为   h lbh Fbh Fbh FhFlhb FbAFWMWM yyzz 325210)5(6)5(6 22Nm a xt, 最 大压应力则为   h lbh Fbh Fbh FhFlhb FbAFWMWM yyzz 335210)5(6)5(6 22Nm a xc, 根据强度条件，要求 ][3252 tm a xt,    hlbhF 4 ][3352 cm a xc,    hlbhF 将相关数据代入上述二式，分别得 kN 86.4][ t F kN 2.11][ cF 于是得 F 的许用值为 kN 86.4][][ t  FF 10-8 在图示立柱的顶部，作用一偏心载荷 F = 250kN。

若许用应力 [ ]=125MPa，试求偏心距 a 的许用值 题 10-8 图 解 ： 1.确定内力 mN10251mN10250050.0050.0m)(N 1050.2kN250 435N.FMaFaMFzy， 2．计算 Iz， Iy 及 A 2324643345433m1060.5)m0 2 0.00 8 0.020 2 0.01 0 0.0( m1039.3)m12 0 2 0.00 8 0.0212 1 0 0.00 2 0.0(m100 9 9.1)m12 0 8 0.00 8 0.012 1 2 0.01 0 0.0( AIIyz3．求 a 的许用值 由正应力强度 条件， 要求 ][( P a ) 10]1069.3881 12[ P a]1060.5102 501039.30 50.0)1050.2(100 9910 600)10251([ 63336554m a xc,σa.a...AFIzMIyMσyyzz 5 得偏心距的许用值为 mm28.3m1028.3][ 3  a 10-11 图示曲柄轴，承受载荷 F = 10 kN 作用。

试问当载荷方位角  为何值时，对截面 A-A 的强度最为不利，并求相应的相当应力 r3 题 10-11 图 解 ： 1.分析内力 由于 A-A 为圆形截面，其任一直径均为主形心轴，故载荷 F 无需分解，可直接用以分析内力根据平衡关系，截面 A-A 上的剪力、弯矩和扭矩值（绝对值）分别为 θFaT FlMFF c os mN 700mN 070.01010 kN 10 3S   ，由此可见， F 的方位角  对剪力和弯矩值并无影响，它只改变扭矩的大小，当 0 时扭矩取最大值，对截面 A-A 的强度最为不利，其值为 mN 1040.2mN 240.01010 33m a x  FaT 2．计算相当应力 截面 A-A 上铅垂直径的上、下点为可能的危险点，按照第三强度理论，其相当应力为 M P a 9.117Pa101791 P a0600π )1040.2(70032832322m a x2r3..WTMσ (a) 由于是短粗轴，弯曲剪力产生的切应力应予考虑，这时截面 A-A 上水平直径的左端点，为又一个可能的危险点，该点处的正应力为零，而切应力则为 M P a3.61 P a10)72.46.56( P a)06003 π 1010160600π 1040.216(3 π 44π16623332 S3m a x21..dFdTτττ 其相当应力为 M P a6.1 2 2 M P a3.6122r3  τσ (b) 比较式 (a)和 (b)可知，该轴真正的危险点是截面 A-A 上水平直径的左端点，其相当应力如式 (b)所示。

顺便指出，本题计算相当应力的另一种方法是先求 )( 与 )(τ ，再求 )(r3σ 这里的  6 从截面 A-A 上左边水平半径量起，以顺钟向为正将 )(r3σ 对  求导，寻找其极值位置，找到的极值位置是 0 ，由此确定的危险点同上述真正的危险点，相当应力当然也同式 (b) 10-12 图示某段杆的弯矩 My 与 Mz 图，它们均为直线，且其延长线分别与 x 轴相交于 a 与 b 点试证明：如果 a 与 b 点不重合，则该段杆的总弯矩 M 图必为凹曲线 题 10-12 图 解 ： 1. 总弯矩方程及其二阶导数 在区段（ x1， x2）内， My 与 Mz 图均为直线，因此，可设 xkbMy 11 xkbMz 22 式中， b1， k1， b2 与 k2 均为常数于是得总弯矩为 22221122 )()( xkbxkbMMM zy  (a) 幷由此得 2122122 )(dd bkbkxM (b) 2. 总弯矩 M 图为凹曲线的证明 a 与 b 点的横坐标分别为 11kbxa  ，22kbxb  当 a 与 b 点不重合时，由上式得 1221 kbkb  代入式（ b），得 0dd 22 xM可见，如果某杆段的 My 与 Mz 图均为直线，且其延长线与坐标轴 x 不相交于同一点，则相应总弯矩 M 图必为凹曲线。

7 10-13 图示齿轮传动轴，用钢制成在齿轮 1 上，作用有径向力 Fy = 3.64kN、切向力 Fz = 10 kN；在齿轮 2 上，作用有切向力 F'y = 5 kN、径向力 F'z = 1.82 kN若许用应力[ ]=100 MPa，试根据第四强度理论确定轴径 题 10-13 图 解 ：将各力向该轴轴线简化，得其受力图如图 10-13a 所示内力图（ zM , yM 和 T ）分别示如图 b,c 和 d 图 10-13 由内力图和题 10-12 所证明的结论可知，截面 B 和 C 都可能为危险面 对于截面 B ，总弯矩为 mN 1064mN 3641000 22 BM (a) 对于截面 C ，总弯矩为 mN 612mN 568227 22 －CM(b) 比较式 (a)和 (b)可知，截面 B 最危险由第四强度理论的强度条件 8 ][π 75.03275.0 32222r4 σd TMW TMσ BB 得该轴的直径为 mm 951m 10195 m 10100π 100075.0106432]π[ 75.03223 6 22322..σTMd B10-16 图示钢质拐轴，承受铅垂载荷 F1 与 水平 载荷 F2 作用。

已知轴 AB 的直径为d，轴与拐臂的长度分别为 l 与 a，许用应力为 []，试按第四强度理论建立轴 AB 的强度条件 题 10-16 图 解：将载荷 F1 与 F2 平移到截面 B 的形心，得轴 AB 的受力如图 b 所示 显然，固定端处的横截面 A 为危险截面，该截面的轴力 、扭矩与弯矩分别 为 2N FF aFT 1 lFMaFM zy 12 ,  可见，横截面 A 处于弯拉扭组合受力状态 在横截面的危险点处，弯曲与轴向正 应力分别为 322122222m a x π32 d lFaFW MM zy (a) 22NN π4dFAF (b) 扭转切应力为 31pm ax π16d aFWT (c) 9 按照第四强度理论，危险点处的强度条件为   ][3 2m a x2m a xN   将式（ a），（ b）与式（ c）代入上式，于是得 ][144324π 1 21222122222  d aFd lFaFFd10-17 图示圆截面钢轴，由电机带动在斜齿轮的齿面上，作用有切向力 Ft = 1.9 kN、径向力 Fr = 740 N 以及平行于轴线的外力 F = 660 N。

若许用应力 [ ]=160 MPa，试根据第四强度理论校核轴的强度 题 10-17 图 解 ： 1.外力分析 将 载荷 F , rF 与 tF 向。