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线性代数重要知识点及典型例题答案线性代数知识点总结第一章队列式二三阶队列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和aijn(1)(j1j2..jn)a1ja2j2...anjn1j1j2jn（奇偶）摆列、逆序数、对调队列式的性质：①队列式队列交换，其值不变转置队列式DDT）②队列式中某两行（列）交换，队列式变号推论：若队列式中某两行（列）对应元素相等，则队列式等于零③常数k乘以队列式的某一行（列），等于k乘以此队列式推论：若队列式中两行（列）成比率，则队列式值为零；推论：队列式中某一行（列）元素全为零，队列式为零④队列式拥有分行（列）可加性⑤将队列式某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，值不变队列式依行（列）睁开：余子式Mij、代数余子式Aij(1)ijMij定理：队列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零克莱姆法例：非齐次线性方程组：当系数队列式D0时，有独一解：xjDj(j12n)、D齐次线性方程组：当系数队列式D10时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D等于零特别队列式：a11a12a13a11a21a31①转置队列式：a21a22a23a12a22a32a31a32a33a13a23a33②对称队列式:aijaji③反对称队列式:aijaji奇数阶的反对称队列式值为零a11a12a13④三线性队列式:a21a220方法：用k1a22把a21化为零，。

化为三角形队列式a310a33⑤上（下）三角形队列式:队列式运算常用方法（主要）队列式定义法（二三阶或零元素多的）化零法（比率）化三角形队列式法、降阶法、升阶法、概括法、第二章矩阵矩阵的观点：Am*n（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n阶方阵、相等矩阵)矩阵的运算：加法（同型矩阵）---------交换、联合律数乘kA(kaij)m*n---------分派、联合律lA*B(aik)m*l*(bkj)l*n(aikbkj)m*n乘法1注意什么时候存心义一般AB=BA，不知足消去律；由AB=0，不可以得A=0或B=0转置(AT)TA(AB)TATBT(kA)TkAT(AB)TBTAT(反序定理)方幂：Ak1Ak2Ak1k2(Ak1)k2Ak1k2几种特别的矩阵：对角矩阵：若AB都是N阶对角阵，k是数，则kA、A+B、AB都是n阶对角阵数目矩阵：相当于一个数（若⋯⋯）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若⋯⋯）对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方都是0分块矩阵：加法，数乘，乘法：近似，转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵当作是元素逆矩阵：设A是N阶方阵，若存在N阶矩阵B的AB=BA=I则称A是可逆的，A1B(非奇怪矩阵、奇怪矩阵|A|=0、陪伴矩阵)初等变换1、交换两行（列）2.、非零k乘某一行（列）3、将某行（列）的K倍加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换获得的（对调阵倍乘阵倍加阵）等价标准形矩阵DrIrOOO矩阵的秩r(A)：满秩矩阵降秩矩阵若A可逆，则满秩若 A是非奇怪矩阵，则r（AB）=r（B）初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转变为标准式或阶梯形矩阵与队列式的联系与差别：都是数表；队列式行数列数相同，矩阵不相同；队列式最后是一个数，只需值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵(kaij)nk(aij)n，行列式kaijnknaijn逆矩阵注：①AB=BA=I则A与B必定是方阵②BA=AB=I则A与B必定互逆；③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A可逆，则其逆矩阵是独一的。

矩阵的逆矩阵知足的运算律：1、可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的，且(A1)1A2、可逆矩阵A的数乘矩阵kA也是可逆的，且(kA)11A1k3、可逆矩阵A的转置AT也是可逆的，且(AT)1(A1)T4、两个可逆矩阵A与B的乘积AB也是可逆的，且(AB)1B1A1可是两个可逆矩阵A与B的和A+B不必定可逆，即便可逆，但(AB)A1B1A为N阶方阵，若|A|=0，则称A为奇怪矩阵，不然为非奇怪矩阵5、若A可逆，则A11A陪伴矩阵：A为N阶方阵，陪伴矩阵：A*A11A12（代数余子式）A21A22特别矩阵的逆矩阵：（对1和2，前提是每个矩阵都可逆）AB1111、分块矩阵DAABCO则D1COC1A1A11A212、准对角矩阵A，则A1A2A31A31A4A43、AA*A*AAI4、A*AA1（A可逆）5、A*An16、A*1A1*1A（A可逆）A7、A*TAT*8、AB*B*A*判断矩阵能否可逆：充要条件是A0，此时A11A*A求逆矩阵的方法：定义法AA1I陪伴矩阵法A1A*A初等变换法A|InIn|A1只好是行变换初等矩阵与矩阵乘法的关系：设Aaijm*n是m*n阶矩阵，则对A的行推行一次初等变换获得的矩阵，等于用相同的m阶初等矩阵左乘以A：对A的列推行一次初等变换获得的矩阵，等于用同种初等矩阵右乘以A（行变左乘，列变右乘）n阶第三章线性方程组消元法非齐次线性方程组：增广矩阵→简化阶梯型矩阵r(AB)=r(B)=r当r=n时，有独一解；当rn时，有无量多解r(AB)r(B)，无解齐次线性方程组：仅有零解充要r(A)=n有非零解充要r(A)

希腊字母表示（加法数乘）特别的向量：行（列）向量，零向量θ，负向量，相等向量，转置向量向量间的线性关系:线性组合或线性表示向量组间的线性有关（无）：定义P179向量组的秩：极大没关组（定义P188）定理：假如j,j2,.....jr是向量组1,2,.....s的线性没关的部分组，则它是1极大没关组的充要条件是：1,2,.....s中的每一个向量都可由j1,j2,.....jr线性表出秩:极大没关组中所含的向量个数定理：设A为m*n矩阵，则r(A)r的充要条件是：A的列（行）秩为r现性方程组解的结构：齐次非齐次、基础解系线性组合或线性表示注：两个向量αβ，若单位向量组k 则α是β线性组合随意愿量都是单位向量组的线性组合零向量是随意愿量组的线性组合随意愿量组中的一个都是他自己的线性组合向量组间的线性有关（无）注：n个n维单位向量组必定是线性没关一个非零向量是线性没关，零向量是线性有关含有零向量的向量组必定是线性有关若两个向量成比率，则他们必定线性有关向量β可由1,2,..n线性表示的充要条件是r(1T2T...nT)r(1T2T...nTT)判断能否为线性有关的方法：1、定义法：设k1k2....kn，求k1k2....kn（合适维数低的）2、向量间关系法P183：部分有关则整体有关，整体没关则部分没关3、重量法（n个m维向量组）P：线性有关（充要）r(1T2T....nT)n180r(TTTn线性没关（充要）12....n)推论①当m=n时，有关，则TTT0；没关，则TTT01。