结构稳定理论第五章.ppt

第五章 梁的侧扭屈曲第一节 前言影响梁弹性侧扭屈曲临界荷载的主要因素：1截面形状和尺寸－截面尺寸比值2荷载的类型及其在截面上的作用点位置3支承条件和相邻杆件约束的影响4初始缺陷第二节 纯弯曲时梁的侧扭屈曲固定坐标oxyz移动坐标o’一 中性平衡方程计算假设：1梁处于弹性工作阶段，材料为各向同性；2弯曲和扭转变形时，梁截面形状保持不变；3微小变形；4沿跨度方向，梁截面是均匀的；5不考虑残余应力和初弯曲等缺陷的影响；6截面在弯曲平面内的抗弯刚度很大，屈曲前弯曲变形 的影响可略去不计由 (4-22)式可得梁的约束扭转方程为：由前面得到：将(c)式代入(a)和(b)式后得（5－1）将第二式对z求导二次，第三式对z求导数一次后得双轴对称截面梁的中性平衡方程：（5－2）也可由偏心压杆弯扭屈曲中性平衡方程式(4-49)来建立：将P＝0、My=0和Mx＝－M0代入(4-49)式得：这是任意开口薄壁截面梁在最大刚度平面yz内承受纯弯曲时的中性平衡方程对于双轴对称截面或以x轴为对称轴的单轴对称截面y＝0，上式即化为(5-2)式二 临界弯矩对(5-3)式的第一式积分二次得：对于两端简支边界条件，在z=0和z=l处应满足u=u”==”=0，于是A=B=0，上式可写成：代入式(5-3)的第二式后可得扭角的常微分方程:通解为：式中：根据简支边界条件，由(e)式可得积分常数A、B、C和D的线性齐次代数方程为：稳定特征方程为：即因此：将(m)式代入式，使n=1，求得M0的最小值就是梁侧扭屈曲的临界弯矩:将(k)式代入(h)式得A=B=D=0，于是由(e)式可得梁侧扭屈曲时转角变形曲线为：将(p)式代入(d)式积分二次后得：边界条件z＝0和z＝l处u＝0，得C1＝C2＝0，因此梁侧扭屈曲时侧向弯曲变形曲线为为了避免直接求解微分方程(5-4)，临界弯矩可根据边界条件假设位移函数，代入中性平衡方程求得：代入（5－3）式得：稳定特征方程为：解此方程，当n＝1，得M0的最小根，即为所求的临界弯矩，其表达式与（5－5）完全相同。

当梁端为固定时，边界条件是在z＝0和z＝l处满足u＝u’＝＝’＝0，假定位移函数为：代入（5－3）后求得临界弯矩为：当梁为悬臂梁，可假定位移函数为：满足边界条件：固定端z＝0处，u＝u’＝＝’＝0，自由端z＝l处，u“＝”＝0代入（5－3）式可得临界弯矩为：引用计算长度概念，可得纯弯曲时梁临界弯矩的一般表达式为：或当为双轴对称、点对称和x轴为对称轴的单轴对称截面时，y＝0，式（5－9）可简化为：当截面为狭长矩形时，由于翘曲刚度EI＝0，y＝0，（5－10）式可简化为当梁截面为壁厚很小的工字形时，其抗扭刚度GIk很小，与翘曲刚度相比可略去不计，则（5－8）和（5－10）式可分别近似地表达为：和三 屈曲前变形对梁侧扭屈曲的影响考虑屈曲前变形影响时，应将临界弯矩除以一个修正系数当EIx远大于EIy和(2EI/l02+GIK)时，1；当EIxEIy或EIx2EI/l02+GIK时，0，此时Mcr对于两个方向的抗弯刚度相接近的截面中，如正方形、不狭长的矩形、圆形、圆管和方管等截面，梁不会在强度破坏前发生侧扭屈曲阅读P222 例6－1第三节 横向荷载作用时梁侧扭屈曲的总势能补充假设：荷载作用点发生位移时，荷载作用线的方向保持不变。

这两部分应变能表达式为根据分枝理论，屈曲时临界弯矩保持不变，因此式中：离原点为z的梁截面上任意点B(x,y)处取一微段dAd＝dAdz来研究当截面平移时，微段一端位移u，另一端位移为u＋du，因此微段长度dz改变为ds1当截面绕剪力中心转动时，微段B点位移由（4－27）确定微段另一端B1点位移为：因此微段由于扭转而产生的相对位移为：由于侧向弯曲，产生曲率1/=－u”,因截面扭转而产生的x轴方向位移为－(y-y0),又使微段纵向引起变化，其值为：由于截面扭转，微段的长度由ds1改变为ds2,由(a)、(b)和(c)式可得将上式展开，并略去高阶微量后得位移和转角均是微小，将上式展开并取前面二项，可得对(e)式沿全截面积分，并注意到O为形心，x轴和y轴为形心主轴，可得：或式中(6－15)式中第一项是外力引起的弯矩Mx在屈曲弯扭变形时所作的功—华格纳效应系数；(6－15)式中第二项是由于截面扭转使弯曲正应力z方向偏斜，由其水平分力形成抵抗扭矩所引起的应变能，K‘称为华格纳(H. Wagner)效应在截面上B(x,y)处取出微段dAddAdz，当截面扭转角时，微段两端产生相对扭转角d，使微段偏斜r’角而引起水平分力zdAr’，该力对剪力中心形成一个微扭矩zr2’dA，而整个截面的抵抗扭矩为：由于z是z的函数，所以K也是z的函数非线性应变能U3包括两部分，一部分是由Mx因侧扭而产生转动引起，另一部分是纵向纤维应力偏斜而引起的扭转应变能。

梁屈曲弯扭变形时的外功对于横向集中荷载，将集中荷载Pn看作qndz利用(5-17)可得集中荷载所作的功为：梁端外力矩M0所作的功横向分布荷载所作的功简支或固定边界，M0与侧向斜率u’方向垂直，M0不作功；自由边界，产生v’，M0作功为W3＝M0v0’由(4-26)和(5-15)~(5-18)式可得梁侧扭屈曲时总势能的变化为或第四节 跨间有横向荷载作用时梁的侧扭屈曲一 横向均布荷载作用时梁的侧扭屈曲（一）中性平衡方程将(5-19)或(5-20)式中的被积函数代入(4-32)式后可得梁侧扭屈曲的中性平衡方程为：和其中(6-22)式也可写成：当截面对称于弯曲轴，y＝0当仅有端弯矩M0作用时，q＝0，Mx＝M0＝常数(5-21)和(5-23)式可简化为(5-3)式：（二）临界弯矩方程(5－21)～(5－24)为变系数微分方程，难以求出解析解，利用(5-21)消去一个变量 将(5－21)积分二次得：简支边界，z=0和z=l处，u=u”==”=0，可得C=D=0代入(5-20)式和(5-23)式得和采用迦辽金法注意到下列积分得到梁侧扭屈曲时的临界弯矩M0为：横向荷载作用时梁侧扭屈曲临界弯矩一般表达式临界弯矩可用瑞利－里兹法或铁木辛柯法导出：将上述位移函数和Mx代入(5-26)式，得瑞利－里兹法/A=0,或铁木辛柯法M0/A=0导出（5－29）相同的结果。

直接由(5-20)求解临界弯矩，需要假设二个位移函数稳定特征方程为解得C1＝1.15, C2=0.466, C3=0.5338, 高于(5－29)u和不是相互独立的变形，在两端简支时，存在以下关系二 集中荷载作用时梁的侧扭屈曲1.由(5-20)应用瑞利－里兹法或铁木辛柯法求得将q＝0以及以上关系代入(5-20)式，可得因故2.利用均布荷载作用时梁的中性平衡方程式(5-20)～ (5-20)式来求将以下积分式代入上式得到临界弯矩同（5－31）式阅读P235例6－2第五节 梁的非弹性侧扭屈曲布莱希(F. Bleich)采用相应于梁中最大应力处的切线模量Et和Gt来代替弹性侧扭理论中的弹性模量E和G，得到梁非弹性侧扭屈曲临界荷载的下限如令 Et＝E，Gt＝G，代入(5-10)式得双轴对称截面梁的非弹性侧扭屈曲临界弯矩为求出荷载偏低非弹性侧扭屈曲临界荷载数值分析方法计算假定：1材料理想弹塑性体，切线模量Et＝0，Gt＝2. 考虑残余应力的影响相应于Mcr时的长度l为临界长度，以lcr表示在非弹性屈曲时，截面分成弹性区和塑性区，中和轴和剪力中心均将有变动，截面刚度将降低。

截面刚度、K、中和轴和剪力中心位置随Mcr和lcr而改变，因此必须先求出相应于Mcr或lcr的截面有效刚度， K、中和轴和剪力中心位置等，然后求Mcr或lcr在中性平衡状态不发生卸载，因此截面的有效刚度为：用有效刚度代替(6-33)、(6-34)式中弹性刚度后，可得：由于残余应力影响，截面上弹性区和塑性区的分布很复杂，而截面特性、各点应力和应变、内力矩等都与截面屈服情况有关，必须通过迭代求临界弯矩和临界长度计算时采用无量纲物理量：计算步骤：。