连续时间傅里叶变换.pdf

2003-3-5© 国防科技大学计算机学院国防科技大学计算机学院601室室1第二章 连续时间傅里叶变换第二章 连续时间傅里叶变换 GALAXY 主要内容主要内容?2.1 引言引言?2.2 傅里叶级数傅里叶级数?2.3 傅里叶变换傅里叶变换?2.4 典型非周期信号的典型非周期信号的FT频谱频谱?2.5 冲激信号和阶跃信号的冲激信号和阶跃信号的FT?2.6 FT的性质的性质?2.7 周期信号的周期信号的FT?2.8 采样信号的采样信号的FT与采样定理与采样定理2003-3-5© 国防科技大学计算机学院国防科技大学计算机学院601室室2第二章 连续时间傅里叶变换第二章 连续时间傅里叶变换 GALAXY 2.1 引言引言?变换域分析变换域分析 ?信号处理领域的极其重要的分析思想信号处理领域的极其重要的分析思想 ?时域分析难以满足要求（图像压缩、去噪）时域分析难以满足要求（图像压缩、去噪）?信号的正交函数分解信号的正交函数分解 ?交直流分解、奇偶分解、虚实分解、冲激分 解、阶跃分解交直流分解、奇偶分解、虚实分解、冲激分 解、阶跃分解 ?三角函数或复指数分解三角函数或复指数分解----傅里叶级数傅里叶级数?信号的连续变换信号的连续变换 ?傅里叶变换、拉氏变换、傅里叶变换、拉氏变换、Z变换、小波变换等变换、小波变换等2003-3-5© 国防科技大学计算机学院国防科技大学计算机学院601室室3第二章 连续时间傅里叶变换第二章 连续时间傅里叶变换 GALAXY 傅里叶生平傅里叶生平?1768年生于法国年生于法国?1807年提出“任何周期 信号都可用正弦函数级 数表示”年提出“任何周期 信号都可用正弦函数级 数表示”?拉格朗日反对发表拉格朗日反对发表?1822年首次发表在《热 的分析理论》一书中年首次发表在《热 的分析理论》一书中?1829年狄里赫利第一个 给出收敛条件年狄里赫利第一个 给出收敛条件2003-3-5© 国防科技大学计算机学院国防科技大学计算机学院601室室4第二章 连续时间傅里叶变换第二章 连续时间傅里叶变换 GALAXY 傅立叶的两个最主要的贡献傅立叶的两个最主要的贡献?““周期信号都可表示为谐波关系的正弦 信号的加权和周期信号都可表示为谐波关系的正弦 信号的加权和””——傅里叶的第一个主 要论点傅里叶的第一个主 要论点?““非周期信号都可用正弦信号的加权积 分表示非周期信号都可用正弦信号的加权积 分表示””——傅里叶的第二个主要论点傅里叶的第二个主要论点2003-3-5© 国防科技大学计算机学院国防科技大学计算机学院601室室5第二章 连续时间傅里叶变换第二章 连续时间傅里叶变换 GALAXY 为什么需要傅里叶级数为什么需要傅里叶级数h(t)x(t)y(t)此系统的冲激响应为此系统的冲激响应为h(t)， 输出， 输出 y(t) =x(t)*h(t) 根据卷积定义根据卷积定义∫∞∞−−==τττdtxhthtxty)()()(*)()(h(t)是给定的，但输入是给定的，但输入x(t)是任意的， 卷积计算极其困难是任意的， 卷积计算极其困难如果输入信号为如果输入信号为tjetxω=)(2003-3-5© 国防科技大学计算机学院国防科技大学计算机学院601室室6第二章 连续时间傅里叶变换第二章 连续时间傅里叶变换 GALAXY 为什么需要傅里叶级数（续）为什么需要傅里叶级数（续）∫∫∞∞−−∞∞−−====ττττωτωτωωdehedehthethtxtyjtjtjtj)()()(*)(*)()()(令令∫∞∞−−=ττωωτdehjHj)()(得得)()()()(ωωωjHtxjHetytj⋅==2003-3-5© 国防科技大学计算机学院国防科技大学计算机学院601室室7第二章 连续时间傅里叶变换第二章 连续时间傅里叶变换 GALAXY 为什么需要傅里叶级数（续）为什么需要傅里叶级数（续）可见可见tjetxω=)(，则很容易计算，则很容易计算y(t) =x(t)*h(t)对于输入信号对于输入信号tj NtjtjNeaeaeatxωωω+++=L21 21)()()()(*)()(111 Ntj NtjjHeajHeathtxtyNωωωωL+==则输出上式把卷积运算转换成相乘运算，现在的问题对 信号进行虚指数分解，这就是傅里叶级数则输出上式把卷积运算转换成相乘运算，现在的问题对 信号进行虚指数分解，这就是傅里叶级数2003-3-5© 国防科技大学计算机学院国防科技大学计算机学院601室室8第二章 连续时间傅里叶变换第二章 连续时间傅里叶变换 GALAXY 2.2 傅里叶级数傅里叶级数?2.2.1 三角形式的三角形式的FS?2.2.2 复指数形式的复指数形式的FS?2.2.3 奇偶信号的奇偶信号的FS?2.2.4 周期信号的傅里叶频谱周期信号的傅里叶频谱?2.2.5 周期信号的功率周期信号的功率2003-3-5© 国防科技大学计算机学院国防科技大学计算机学院601室室9第二章 连续时间傅里叶变换第二章 连续时间傅里叶变换 GALAXY 傅里叶级数的傅里叶级数的Dirichlet条件条件?Dirichlet条件条件 ?在一个周期内间断点的个数有限在一个周期内间断点的个数有限 ?在一个周期内极值点的个数有限在一个周期内极值点的个数有限 ?在一个周期内绝对可积在一个周期内绝对可积 ∫∞11ωn2003-3-5© 国防科技大学计算机学院国防科技大学计算机学院601室室12第二章 连续时间傅里叶变换第二章 连续时间傅里叶变换 GALAXY ∫+⋅=1001)(110TttdttfTa∫+=1001 1cos)(2TttntdtntfTaωtdtntfTbTttn∫+=1001 1sin)(2ω直流 系数余弦分 量系数正弦分 量系数直流 系数余弦分 量系数正弦分 量系数系数求解系数求解----方法两边正交，再积分方法两边正交，再积分2003-3-5© 国防科技大学计算机学院国防科技大学计算机学院601室室13第二章 连续时间傅里叶变换第二章 连续时间傅里叶变换 GALAXY 周期信号的另一种三角函数正交集表示周期信号的另一种三角函数正交集表示)cos()(1 10n nntncctfψω++=∑∞=)sin()(110n nntnddtfθω++=∑∞=合并同频率的正余弦信号合并同频率的正余弦信号2003-3-5© 国防科技大学计算机学院国防科技大学计算机学院601室室14第二章 连续时间傅里叶变换第二章 连续时间傅里叶变换 GALAXY 比较几种系数的关系比较几种系数的关系000dca==22 nnnnbadc+==nn nbatg=θnn nabtg−=ψnnnnndcaθψsincos==nnnnndcbθψcossin=−=2003-3-5© 国防科技大学计算机学院国防科技大学计算机学院601室室15第二章 连续时间傅里叶变换第二章 连续时间傅里叶变换 GALAXY 周期函数的频谱：周期函数的频谱：?周期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍 的频率处。

直观看出：各分量的大小，各分 量的频移，周期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍 的频率处直观看出：各分量的大小，各分 量的频移，)(ωψn1ω1ωn1ω1ωn)(ωnc2003-3-5© 国防科技大学计算机学院国防科技大学计算机学院601室室16第二章 连续时间傅里叶变换第二章 连续时间傅里叶变换 GALAXY 2.2.2 复指数形式的复指数形式的FS)sincos()(11 10tnbtnaatfnn nωω++=∑∞=∑∞−∞==ntjn neFtf1)(ω)(21nnnjbaF−=)(21nnnjbaF+=−00aF =引入了负频率由欧拉公式由前知引入了负频率由欧拉公式由前知2003-3-5© 国防科技大学计算机学院国防科技大学计算机学院601室室17第二章 连续时间傅里叶变换第二章 连续时间傅里叶变换 GALAXY 指数形式的傅里叶级数的系数指数形式的傅里叶级数的系数∫+−=1001)(11Ttttjn ndtetfTFω0000adcF===)(21nnj nnjbaeFFn−==ψ)(21nnj nnjbaeFFn+==− −−ψ两种傅氏级数的系数间的关系两种傅氏级数的系数间的关系2003-3-5© 国防科技大学计算机学院国防科技大学计算机学院601室室18第二章 连续时间傅里叶变换第二章 连续时间傅里叶变换 GALAXY 两种傅氏级数的系数间的关系两种傅氏级数的系数间的关系22 21 21 21 nnnnnnbadcFF+====−nnncFF=+−nnnaFF=+−nnnbFFj=−−)(nnnnnnFFbadc−=+==422222003-3-5© 国防科技大学计算机学院国防科技大学计算机学院601室室19第二章 连续时间傅里叶变换第二章 连续时间傅里叶变换 GALAXY 周期复指数信号的频谱图的特点周期复指数信号的频谱图的特点?引入了负频率变量，没有物理意义，只 是数学推导的方便；引入了负频率变量，没有物理意义，只 是数学推导的方便；?cn是实函数，是实函数，Fn一般是复函数一般是复函数;?当当 Fn是实函数时，可用是实函数时，可用Fn的正负表示的正负表示0 和π相位， 幅度谱和相位谱合一；和π相位， 幅度谱和相位谱合一；?三角形式的三角形式的FS便于数值计算便于数值计算?复指数形式的复指数形式的FS便于理论分析便于理论分析2003-3-5© 国防科技大学计算机学院国防科技大学计算机学院601室室20第二章 连续时间傅里叶变换第二章 连续时间傅里叶变换 GALAXY 周期复指数信号的频谱图周期复指数信号的频谱图nF1ω1ωn0nψ1ω1ωn01ωnF1ωn0Fn是复函数是复函数Fn是实函数是实函数2003-3-5© 国防科技大学计算机学院国防科技大学计算机学院601室室21第二章 连续时间傅里叶变换第二章 连续时间傅里叶变换 GALAXY 2.2.3 奇偶信号的奇偶信号的FS?周期偶函数 ：周期偶函数 ：f (t )=f (-t)?周期奇函数 ：周期奇函数 ：f (t )= - f (-t))sincos()(11 10tnbtnaatfnn nωω++=∑∞=奇函数项偶函数项任意周期函数有：奇函数项偶函数项任意周期函数有：2003-3-5© 国防科技大学计算机学院国防科技大学计算机学院601室室22第二章 连续时间傅里叶变换第二章 连续时间傅里叶变换 GALAXY 周期偶函数只含周期偶函数只含直流和直流和tnaatfnn1 10cos)(ω∑∞=+=tnan1cosω∫+=1001 1cos)(2TttntdtntfTaω2n nnaFF==−∑∞−∞==ntjn neFtf1)(ω其中其中an是实数是实数, bn=0而而Fn是实数是实数2003-3-5© 国防科技大学计算机学院国防科技大学计算机学院601室室23第二章 连续时间傅里叶变换第二章 连续时间傅里叶变换 GALAXY 例如例如:周期三角函数是偶函数周期三角函数是偶函数.....)5cos2513cos91(cos4 21)(1112++++=ttttfωωωπ1f(t)T1/2-T1/2t2003-3-5© 国防科技大学计算机学院国防科技大学计算机学院601室室24第二章 连续时间傅里叶变换第二章 连续时间傅里叶变换 GALAXY 周期奇函数只含周期奇函数只含正弦项正弦项∑∞==11sin)(nntnbtfω∫⋅=101 1sin)(2TntdtntfTbω000==naaFn为虚数为虚数2n nnjbFF−==−2003-3-5© 国防科技大学计算机学院国防科技大学计算机学院601室室25第二章 连续时间傅里叶变换第二章 连续时间傅里叶变换 GALAXY 例如周期锯齿波是奇函数例如周期锯齿波是奇函数....)3sin312sin21(sin1)(111−+−=ttttfωωωπ0.5-0.5T1/2 -T1/2f(t)t02003-3-5© 国防科技大学计算机学院国防科技大学计。