与轴对称相关的线段之和最短问题.doc

与轴对称有关的线段之和最短问题监利县第一初级中学 刘光杰 一.问题的引入:在学习了作轴对称图形之后，人教版八年级上册Ｐ42，有这样一种问题在这个问题中，运用轴对称，将折线转化为直线,再根据“两点之间线段最短”，“垂线段最短”,等有关的知识,得到最短线段，这一类问题也是当今中考的热点题型一般会以:直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为载体本文试图对这一类问题进行分类,在每一类中有若干题型,且给出了基本的解答若掌握了下面列举的题型,让学生可以明白与轴对称有关的线段之和最短问题在这些载体中的体现形式，则能收到举一反三,事倍功半的效果二．数学模型：1.如图,直线l和l的异侧两点A、Ｂ，在直线l上求作一点Ｐ,使ＰA+PB最小2.如图，直线ｌ和ｌ的同侧两点Ａ、B，在直线l上求作一点Ｐ，使PＡ+PB最小３.如图，点Ｐ是∠MON内的一点,分别在OM,OＮ上作点A，Ｂ使△PAB的周长最小为以便归类，将以上三种状况统称为“两边之和不小于第三边型”４.如图，点Ｐ，Q为∠MＯＮ内的两点，分别在ＯM，ＯＮ上作点A，Ｂ使四边形PＡＱB的周长最小为以便归类,将这种状况称为“两点之间线段最短型”5.如图,点A是∠ＭON外的一点,在射线ＯN上作点P,使PA与点P到射线OM的距离之和最小6.　.如图,点A是∠MON内的一点,在射线ON上作点Ｐ，使PA与点Ｐ到射线ＯM的距离之和最小为以便归类，将以上两种状况，称为“垂线段最短型”三．两边之和不小于第三边型（一)直线类1．如图，A、Ｂ两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC＝１0千米,BD=30千米，且CD＝30千米,目前要在河边建一自来水厂,向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CＤ上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省,并求出总费用是多少？作点B有关直线CD的对称点B',连接AB＇，交ＣD于点M则ＡM＋BM = AM+B＇M = AB'，水厂建在M点时,费用最小如右图,在直角△ＡB＇Ｅ中，AE = AＣ＋CＥ =　10＋3０ = 40EB'　= ３0因此：AB' = 50总费用为:50×３　= 15０万2．如图,C为线段BD上一动点，分别过点Ｂ、D作AB⊥BD，ED⊥BD,连接AC、EC。

已知AB=５,ＤＥ＝1,BＤ=８,设CＤ=ｘ.（1)用含x的代数式表达ＡC＋CE的长;(2)请问点C满足什么条件时,AC+ＣE的值最小？(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式＋错误!未定义书签的最小值(１)AＣ ＝ ,CＥ = 则AC+CE ＝ + （2）A、Ｃ、E三点共线时AＣ+CE最小连接AE,交BD于点Ｃ，则AE就是AC+ＣE的最小值最小值是１０(3)如右图,AE的长就是这个代数式的最小值在直角△AEF中，AＦ = 5　　EＦ　=　12 根据勾股定理 ＡE ＝ 133．求代数式(0≤x≤４)的最小值如右图，AE的长就是这个代数式的最小值在直角△ＡＥF中AF = ３ 　EF ＝ ４则ＡE = 5因此,这个代数式的最小值是5(二)角类4.两条公路ＯＡ、OB相交,在两条公路的中间有一种油库,设为点Ｐ，如在两条公路上各设立一种加油站,，请你设计一种方案,把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，通过一种加油站，再到另一种加油站,最后回到油库所走的路程最短.分析 　这是一种实际问题，我们需要把它转化为数学问题,通过度析,我们懂得此题是求运油车所走路程最短,OA与OB相交,点P在∠AOB内部,一般我们会想到轴对称,分别做点P有关直线OA和ＯB的对称点P1、P2 ,连结P1P2分别交OA、OB于C、D,C、D两点就是使运油车所走路程最短,而建加油站的地点,那么是不是最短的呢?我们可以用三角形的三边关系进行阐明. 解:分别做点P有关直线OA和OB的对称点P1、P2，连结P１P2分别交OA、OB于Ｃ、D，则C、D就是建加油站的位置.若取异于C、D两点的点，则由三角形的三边关系，可知在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短.点评：在这里没有具体阐明为什么在C、Ｄ两点建加油站运油车所走的路程最短，请同窗们思考弄明白。

5.如图∠AOB =　45°，P是∠AOB内一点，PＯ ＝ 10，Ｑ、P分别是OA、ＯB上的动点,求△ＰＱR周长的最小值.分别作点P有关OA、OB的对称点P１、Ｐ2，连接P１P2，交OA、OB于点Q，R,连接OP1，OＰ2,则OP = OP1 ＝ OP２ ＝ 10且∠P1ＯＰ2　= 9０°由勾股定理得P1P２ =　10(三)三角形类６.如图，等腰Rt△ABＣ的直角边长为2，E是斜边ＡB的中点,P是AC边上的一动点,则PＢ+ＰE的最小值为 　 　　 　 　　 即在ＡC上作一点P,使ＰＢ+PE最小作点B有关AC的对称点B',连接B＇E，交ＡC于点P,则B'E　= ＰB'＋PE =　PB＋PEB'E的长就是PB+PE的最小值在直角△B'ＥF中,EＦ = １,B'F = 3根据勾股定理,Ｂ'E = 7．如图，在△ＡBC中,AＣ=BC=2，∠ＡCB=90°,Ｄ是BC边的中点,E是AB边上一动点,则EC＋ED的最小值为____＿__即是在直线AB上作一点E,使ＥC+ED最小作点C有关直线ＡB的对称点Ｃ',连接DＣ'交AＢ于点E，则线段DC＇的长就是EＣ+ED的最小值在直角△DBC'中ＤＢ=１，BC＝2,根据勾股定理可得,DC＇=8．等腰△ＡＢC中，∠A　= 2０°，AB = ＡC = ２０，M、N分别是AB、AC上的点，求BN+ＭN＋MC的最小值分别作点C、B有关AB、AＣ的对称点C’、B’,连接C’B’交AB、AC于点Ｍ、N,则BN+MN+MC = B’N+MN＋MC’ = B’C’, BN+MN＋MC的最小值就是Ｂ’C’的值∵∠ＢAC’ =　∠ＢAC，∠ＣAB’　= ∠CAB∴∠B’AC’ = ６0°∵ＡC’　= ＡC,AB’　= AＢ，AC = AB∴AC’ = ＡＢ’∴△AB’C’是等边三角形∴B’Ｃ’　=　209．如图,在等边△ＡBＣ中,AB　= 6，ＡD⊥BC,Ｅ是ＡC上的一点，M是AD上的一点，且AＥ = ２，求ＥM＋EC的最小值由于点Ｃ有关直线AD的对称点是点Ｂ，因此连接ＢE,交AD于点M，则ME+MD最小,过点B作ＢＨ⊥AC于点H，则EH　= ＡＨ –　ＡE ＝ 3 – ２　=　1,BＨ =　＝ =　3在直角△ＢHＥ中,BＥ　＝ = =　2(四）正方形类1０．如图，正方形ABCＤ的边长为8,M在ＤC上,且ＤＭ=2，N是ＡC上的一动点,DN+ＭN的最小值为＿_______＿。

即在直线ＡC上求一点N，使DＮ+MN最小故作点D有关AC的对称点Ｂ,连接BＭ，交AＣ于点N则ＤN＋MN=BＮ＋MＮ＝ＢＭ线段BＭ的长就是ＤN+ＭＮ的最小值在直角△ＢＣＭ中，CM=6,ＢＣ＝8,则ＢＭ＝１０故DN＋ＭＮ的最小值是１011．如图所示，正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCＤ内，在对角线ＡC上有一点P,使PD＋PＥ的和最小，则这个最小值为（ ﻩ)A．2ﻩﻩB．2ﻩ Ｃ．3 ﻩＤ．即在AC上求一点P,使PE＋PD的值最小点Ｄ有关直线ＡＣ的对称点是点B,连接BE交ＡC于点P,则BE　＝ ＰB+PE ＝ ＰD+ＰE，BE的长就是PＤ+PE的最小值BE ＝ ＡB ＝ 2１2．在边长为2㎝的正方形ABCD中,点Q为ＢC边的中点,点Ｐ为对角线ＡＣ上一动点,连接PＢ、PQ,则△PBQ周长的最小值为____________㎝(成果不取近似值）.即在AＣ上求一点P,使PB＋PＱ的值最小由于点B有关AC的对称点是D点，因此连接DQ，与AC的交点P就是满足条件的点DQ = PＤ+ＰQ　= PB+ＰQ故DQ的长就是PB＋PＱ的最小值在直角△ＣＤQ中，ＣQ = 1 ,CD = 2根据勾股定理,得,DQ = 13.如图，四边形ABCD是正方形,　ＡB = 10cm，E为边ＢC的中点，P为BD上的一种动点,求ＰC＋ＰE的最小值;连接ＡＥ，交BＤ于点Ｐ,则AE就是PE＋PC的最小值在直角△AＢE中,求得AE的长为5(五)矩形类14.如图,若四边形ABCD是矩形, AB =　1０cm，BC ＝　２0cｍ，E为边ＢC上的一种动点，P为BD上的一种动点，求PC+PD的最小值;作点C有关BＤ的对称点C',过点C',作C＇B⊥BC,交BＤ于点P，则C'Ｅ就是PＥ+PＣ的最小值直角△BCＤ中,CH =　错误！未定义书签。

直角△BCＨ中，BH = 8△BCC＇的面积为：ＢＨ×CＨ　=　160因此 C＇Ｅ×BＣ = 2×1６0 则ＣE＇ ＝ 16（六)菱形类15.如图,若四边形ＡBCD是菱形,　AB=10cm，∠ABC＝４5°,E为边BC上的一种动点,Ｐ为BD上的一种动点,求ＰC+PE的最小值；点C有关ＢD的对称点是点A,过点A作AＥ⊥BC，交BD于点P,则ＡE就是PE+PC的最小值在等腰△EAB中，求得AE的长为5(七)直角梯形类１6．已知直角梯形ＡＢCD中,AＤ∥BC，AB⊥BC,AD=2，ＢＣ＝DＣ＝5,点P在BC上移动,则当PA+PD取最小值时,△APD中边ＡP上的高为（ 　）Ａ、 　B、 　 C、　 D、3作点A有关BC的对称点A＇，连接A＇Ｄ，交ＢC于点P则Ａ'D　＝　PＡ'＋PD = PA+ＰDA'Ｄ的长就是PA+PD的最小值S△AＰD = 4在直角△ABP中，AＢ　= 4，BP =　1根据勾股定理，得AP　=因此ＡP上的高为：2×＝ (八)圆类17．已知⊙Ｏ的直径CD为4，∠ＡOＤ的度数为６0°,点B是的中点,在直径CD上找一点Ｐ,使BP＋ＡP的值最小,并求BＰ+AP的最小值．即是在直线CＤ上作一点P，使ＰA+ＰB的值最小作点A有关ＣD的对称点Ａ',连接A'B,交ＣD于点P,则Ａ＇B的长就是PA+PB的最小值连接OＡ'，OＢ，则∠A'OＢ=90°,ＯA' ＝　OB = 4根据勾股定理,A'B = 418．如图，MN是半径为1的⊙O的直径,点A在⊙O上，∠AMＮ＝30°，B为ＡＮ弧的中点，P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为(    )　　 　　 　 　　 　　 A  ２   B     C  １   D  2即在ＭN上求一点P,使PA+PB的值最小作点A有关MＮ的对称点A',连接A＇B,交ＭN于点P,则点P就是所要作的点A'B的长就是PA+PB的最小值连接ＯＡ'、ＯB,则△OA'B是等腰直角三角形因此 A'B ＝ （九)一次函数类19．在平面直角坐标系中,有Ａ（3,－２)，B（4,2)两点,现另取一点Ｃ（1,n)，当n =______时，AC + BC的值最小.点Ｃ(1,ｎ)，阐明点C在直线ｘ＝１上，因此作点Ａ有关直线x=１的对称点Ａ',连接A'B，交直线x＝1于点C,则ＡＣ＋BC的值最小设直线A'B的解析式为ｙ=kｘ+b，则－2=-k＋b2=4k+b解得:。