奇函数与偶函数的傅里叶级数.ppt

8.4.18.4.18.4.18.4.1、、、、奇函数与偶函数的傅里叶级数奇函数与偶函数的傅里叶级数奇函数与偶函数的傅里叶级数奇函数与偶函数的傅里叶级数8.4.3 8.4.3 8.4.3 8.4.3 函数函数函数函数 f f( (x x) ) 在在在在 [0 , [0 ,    ] ] 上展开为正上展开为正上展开为正上展开为正 弦级数与余弦级数弦级数与余弦级数弦级数与余弦级数弦级数与余弦级数8.4 8.4 正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数展开式中只含有正弦函数的傅里叶级数，展开式中只含有正弦函数的傅里叶级数， 称为称为正弦函数正弦函数，， 只含有余弦函数包括常数项的称为只含有余弦函数包括常数项的称为余弦余弦级数级数.假设以假设以 2  为周期为周期的周期函数的周期函数 f(x) 在在 [ ,  ]内内是奇函数，是奇函数， 那么傅里叶级数一定是那么傅里叶级数一定是正弦级数正弦级数. 即即此时傅氏系数此时傅氏系数8.4.18.4.1、、奇函数与偶函数的傅里叶级数奇函数与偶函数的傅里叶级数于是在区间于是在区间 (    ) 内内 f(x)cosnx 为奇函数为奇函数 ，，而奇函数在对称区间上的积分为零而奇函数在对称区间上的积分为零 ，，所以所以又因又因 f(x)sinnx 在在区间区间 () 内是偶函内是偶函数数 ，，故有故有 同理可以推出同理可以推出，，当函数当函数 f(x) 是偶函数时，是偶函数时， 其其展开式为展开式为余弦级数余弦级数，，即即此时傅里叶系数为此时傅里叶系数为 设周期函数设周期函数 f (x) 在其一个周期上的在其一个周期上的表达式表达式例例 4 试将其展开成傅里叶级数试将其展开成傅里叶级数 .解解 函数函数 f (x) 的图形如图所示的图形如图所示 ，，≤≤f(x)O x 因此我们应因此我们应根据根据(12.6.6) 式计算傅里叶系数式计算傅里叶系数.由图形的对称性可知由图形的对称性可知 f(x) 是偶函数，是偶函数，即即 故所求的傅里叶级数收敛故所求的傅里叶级数收敛于于 f(x)，，又因为又因为 f(x) 处处连续处处连续 ，，   (x) 称为称为f(x) 的周期延拓函数的周期延拓函数. 且以且以 2  为为周期的函数，周期的函数， 如果如果   (x) 满足收敛定理的条件，满足收敛定理的条件， 我们设想有一我们设想有一个函数个函数   (x)，，设函数设函数 f(x) 定义在定义在 [0 ,  ] 上，上，它是定义在它是定义在 (   ) 上上而在而在 [0 ,  ] 上，上，  (x) = f(x). 那么那么   (x) 在在 (   ) 上就可展开为傅里叶级数，上就可展开为傅里叶级数，取其取其 [0 ,  ] 上一段，上一段，即为即为 f(x) 在在 [0 ,  ] 上的傅里叶级数，上的傅里叶级数，8.4.3 8.4.3 函数函数 f(x) 在在 [0 ,  ] 上展开上展开 为正弦级数与余弦级数为正弦级数与余弦级数在理论上或实际工作中，在理论上或实际工作中， 下面的周期延拓是下面的周期延拓是最为常用最为常用:将将 f(x) 先延拓到先延拓到 ( , 0) ，， 使延拓后使延拓后的函数成为奇函数的函数成为奇函数 ，， 然后再延拓为以然后再延拓为以 2  为周期为周期的函数的函数 . 这种延拓称为周期奇延拓这种延拓称为周期奇延拓;yx3  2 2  O　周期奇延拓　周期奇延拓 这种延拓称为这种延拓称为周期偶延拓周期偶延拓.将将 f(x) 先延拓到先延拓到( ( , 0) )，，使延拓后的函数为偶函数，使延拓后的函数为偶函数，然后再延拓为以然后再延拓为以 2  为周期的函数，为周期的函数，周期偶延拓周期偶延拓yx3  2 2  O显然，周期奇延拓的结果为正弦级数，显然，周期奇延拓的结果为正弦级数， 其傅其傅里叶系数按公式里叶系数按公式 (12.6.5) 计算计算. 即即( 因在因在 [0 ,  ] 上，上，  (x) = f(x) ).周期偶延拓的结果为余弦级数，周期偶延拓的结果为余弦级数， 其傅里叶系其傅里叶系数公式为数公式为例例 5　试将　试将解解　按式　按式 (12.6.8) 计算傅里叶级数，计算傅里叶级数， 且延拓的函数在且延拓的函数在 x = 0，， 处连续，处连续，因此因此(0≤ x ≤  ) .展开成正弦级数展开成正弦级数 .例例 6 　　试将函数试将函数0≤ x ≤ ≤  解解 　按公式　按公式( (12.6.7) )当当 x =   时，时，收敛于收敛于 0.y 2 xo所以所以。