《代数式求值方法》.docx

点击代数式求值方法运用已知条件，求代数式的值是数学学习的重要内容之一它除了按常规代入求值法，还要根据题目的特点，灵活运用恰当 的方法和技巧，才能达到预期的目的下面举数例介绍常用的几 种方法和技巧一、常值代换求值法常值代换法是指将待求的代数式中的常数用已知条件中的代数式来代换，然后通过计算或化简，求得代数式的值 … 1 1 例1 已知ab=1，求——匕——的值把ab=1代入，得ababab aab b=1［评注］将待求的代数式中的常数1,用ab代入是解决该 问题的技巧而运用分式的基本性质及运用法则，对代入后所得 的代数式进行化简是解决该问题的保证二、运用“非负数的性质”求值法该法是指运用“若几个非负数的和为零，则每一个非负数应为零”来确定代数式中的字母的值，从而达到求代数式的值的一种方法 b a例 2 石头数 a、b《两足 a2b2+a2+b 2-4ab+1=0 ，求一 一 a b之值［解］.a2b2+a2+b 2-4ab+1=(a 2b2-2ab+1)(a 2-2ab+b 2)=(ab-1) 2+(a-b) 2则有(ab-1) 2+(a-b) 2=0-a b 0,♦ ♦ab 1.解得a 1,a1,b 1;b1.当 a=1 ,b=1 时，b-=1+1=2ab当 a=-1 , b=-1 时，-a =1+1=2 a b［评注］根据已知条件提供的有价信息，对其进行恰当的分 组分解，达到变形为几个非负数的和为零，这一新的“式结构” 是解决本题的有效策略，解决本题要注意分类讨论的方法的运 用。

三、整体代入求值法整体代入法是将已条件不作任何变换变形,把它作为一个整 体，代入到经过变形的待求的代数式中去求值的一种方法例 3 若 x2+x+1=0，试求 x4+2003x 2+2002x+2004 的值［解］vx4+2003x 2+2002x+2004=x 4-x+2003x 2+2003x+2003+1=x(x-1)(x 2+x+1)+2003(x 2+x+1)+1乂 x2+x+1=0.x4+2003x 2+2002x+2004=1［评注］,•x2+x+1=0 x不是实数，那么通过求出x的值，再求代数式x4+2003x 2+2002x+2004 之值，显然枉然无望对 求值的代数式进行适当的变形，将已知条件整体代入到求值的代 数式中去，是解决本题的方法乂是解决本题的技巧四、因式分解求值法因式分解法求代数式的值是指将已知条件和求值的代数式 之一或全部进行因式分解，达到求出代数式的值的一种方法例 4 已知 |a|+|b|=|ab|+1 ,求 a+b 之值［解］.|a|+|b|=|ab|+1. •|a| |b|-|a|-|b|+1=0(|a|-1)(|b|-1)=0|a|=1 |b|=1. .a= 土 1 或 b= 土 1.则当 a=1 , b=1 时，a+b=2当 a=1 , b=-1 时，a+b=0当 a=-1 , b=1 时，a+b=0当 a=-1 , b=-1 时，a+b=-2［评注］运用该法一般有两种途径求值，一是将已知条件变形为一边为0,另一边能分解成几个因式的积的形式，运用“若A B=0，则A=0或B=0 ”的思想来解决问题。

另一种途径是对 待求的代数式进行因式分解，分解成含有已知条件的代数式，然 后再将已知条件代入求值五、运用倒数求值法倒数法是指将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而达 到求出代数式的值的一种方法例5已知—一广，求（土 —）（乙x） x 21,3.2 1 x 1 x x - -则— 3 • 2x 1的值… x2 2 - -［解］由已知，得一—1 73 V2x所以，1 W 1 、3 -.2x(L 土)(< x)1 x 1 x x 12x ?x2 1 _2 3 21 x? , x3 x2 3 2［评注］采用此法要注意先对已知部分和求值的代数式进 行化简变形，后再作选择像本题先对待求的代数式进行化简得2 到结果为 —，根据这样一个 式结构，再观祭已知条件的 式x结构”，显然想到，将已知条件采用倒数变形，用“化部分商” 2 ,,的万法，求出—的值代入x六、分解质因数求值法此法是将有关信息进行分解重组，运用质因数的特有的性 质，求出代数式中所含字母的值，从而达到求出代数式的值的一 种方法例6 已知m、n为正整数，且12+2 2+92+9 2+m 2=n 2,求 2m-n的值［解］.n^m 2+167. .(n-m)(n+m)=1 x 167乂 m、n为正整数，167是质数n m 1, n 84,即m n 167; m 83.当 m=83 , n=84 时，2m-n=2 X83-84=82［评注］m、n为正整数，167是质数，是由"(n-m)(n+m)=1X167得到n-m=1且m+n=167 ”这一结论的重要保证，离开 了这一条件，则m、n之值难以确定，那么代数式2m-n的值就 无法求出。

七、比值求值法比值求值法是指已知条件中等式的个数少丁所含字母的个 数时，通过方程（组）将已知条件中所含字母的比值求出，从而求 出代数式的值例 7 设 a+2b-5c=0 , 2a-3b+4c=0（c 圭 0）,求_ 2 . 2 一 23a 2b 3c ,一2 2 的值6a2 5b2 4c2［解］把已知等式看作关丁 a, b的方程组a 2b 5c2a 3b 4c0解得ac,b 2c. c冲 . .a： b : c=1 : 2 : 1设 a=k,则 b=2k , c=k._ 2 . 2 . 2.3a 2b 3c 7 — —, . 2 2 26a 5b 4c 5［评注］该法适合丁求值的分式中的分子和分母的都含有 相同的次数（齐次）的多项式否则即是将求值的代数式中的字 母的比值求出来，也不能达到求出代数式的值的目的八、用字母表示数求值法字母表示数求代数式就是将已知条件或求值的代数式中某些较复杂的部分用字母来表示，再通过计算或化简，从而求出代数式的值… … 1例8 设a=(-21 1-(1 --2 32004)(12004) 砂—)I 200312004)求 2004a-1之值一 、一 1［解］设A=-12003则 a= (A)(1 20041 =A(1+A)+A) (112004120042004(1 A)2004A(1— A 2004 )? A20041A) A2004. .2004a-1=20041X -1=02004［评注］我们用字母A来代替已知条件中的12003这种思想称之为“用字母表示数”的思想，它是一种重要的数学思想方法，是我们学习好数学的灵魂。

对丁遇 到既复杂乂重复出现的较大块模（指数或式），可考虑使用该种方 法来解决问题九、“△”求值法法是指将已知条件中的某一参数作为变量，其余参数作为常量，构出一个一元二次方程，由二次方程必有实根得出△ >0,从而求出代数式的值例9 设a、b、c、d都是不为零的实数，且满足(a2+b 2)d 2+b 2+c2=2(a+c)bd ，求 b2-ac 的值［解］将已知等式整理成关于d的二次方程(a2+b 2)d 2-2b(a+c)d+(b 2+c2)=0&4b 2(a+c) 2-4(a2+b 2) (b2+c2)=-4(b 2-ac)2..d是实数，△始即-4(b 2-ac)2 >0 贝U b 2-ac=0［评析］解决该题的绝妙之处是通过构造出现-4(b 2-ac)2 >0 这样一个数学式子，运用该法一定要出现“若一个非正数大于0, 则这个非正数必为零”这样一个结论，否则，不能运用该法确定 有关参数的数值十、运用韦达定理逆定理求值法运用韦达定理求代数式的值是将已知条件中式结构转化为 两数之和，两数积的形式，根据它构造出一元二次方程，求出代 数式的值例10 已知a、b、c为实数且a+b=5 c2=ab+b-9 ,求可编辑a+b+c之值。

［解］.a+b=5 c2=ab+b-9b (a 1) 62b(a 1) c2 9则 b, a+1 为 t2-6t+c 2+9=0 两根• a, b为实数 ，a+1为实数，则t2-6t+c 2+9=0有实根•■- A36-4(c 2+9)= -4c 2>0c=0则 a+b+c=5+0=5［评注］运用该法一定要注意将已知条件转化成两数之积及二数之和这一形式，从而达到构造一元二次方程的目的思考:若a2-7a-5=0 , b2-7b-5=0，求之值，思考如何 a b构造十一、配偶求值法配偶法是指将一个不是轮换对称式的式子通过配对变形， 将之变换成轮换对称式，从而达到求值的目的的一种方法例11已知x2-x-1=0的两根为a、b,求之值 a［解］根据题意有a b 1, ab 1.b a a2 b2 (a b)2 2ab• a b ab ab设y=-,则有y+ - 3 ,a y即 y2+3y+1=0 ,• y=3 .5［评注］本题若将x的值通过解一元二次方程求出来，再求 边的值，实在较复杂麻烦但要求的代数式是关丁两根的非轮X2换对称式的值，因为根据根与系数的关系，只能求出关丁两根的轮换对称式的值，因此，想到必须将两根的“非轮换对称式”通过 配偶成“轮换对称式”来解决问题。

显然采用这种方法有相当大 的技巧性，我们在解题过程中要注意体会积累，内化为数学素养十二、数形结合求值法数形结合求值是指根据题目中的数或形的意义， 利用“式结构”和“形结构”的特征及相互转化，达到求值的一种方法例12 如图，数轴上表示1、由 的对应点分别为A、B,2点B美丁点A的对称点为C,设点C所表小的数为x,求x+ -x的值C__A B-1 0 x 1 .2［解］根据题意，得AB= V2 -1 , AC=AB••AC= v2-1 则 x=1-( v2-1)=2- 42故 x+ — =2- V 2 + ——4x 2.2［评注］运用数形结合的思想求代数式的值，关键的是要根 据“图形”或“代数式”所提供的信息，揭示“数”与“形”之 间的规律，架设“数”与“形”之间的桥梁，谋求“数”与“形” 的辩证统一十三、赋值求值法赋值求值法是指代数式中的字母的取值由答题者自己确定,从而，求出所提供的代数式的值的一种方法例13 自取一组a、b 的值，求代数式a b) 2ab a b (a b)(a-"的值 b)a b［解］••• (-^ a b2ab2_ 2ab (a b)(a b)(a b)(a b)(a b)(a b) 2ab=a+b•■-当 a=2 , b=1 时原代数式的值=1+2=3［评注］解此类问题的方法通常是先化简所求值的代数式，然后给化简后的代数式中字母赋值， 求。