任意角的概念与弧度制.ppt
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三角函数三角函数是刻画周期现象的一类重要的函数模型和基本的初等函是刻画周期现象的一类重要的函数模型和基本的初等函数它是生产实践和科学研究的重要数学工具它在天数它是生产实践和科学研究的重要数学工具它在天文测量、大地测量、工程测量、机械制造、力学、光学、文测量、大地测量、工程测量、机械制造、力学、光学、电学、地球物理学、图像处理等众多学科和领域中都有电学、地球物理学、图像处理等众多学科和领域中都有广泛的应用广泛的应用 任意角的三角函数之一任意角的三角函数之一角的概念的推广角的概念的推广 2.2.在数学上，我们规定，按逆时针方向旋转形成的角在数学上，我们规定，按逆时针方向旋转形成的角叫做叫做正角正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角负角1.1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形转到另一个位置所形成的图形 这样，钟表的指针在旋转时所形成的角总是负角这样，钟表的指针在旋转时所形成的角总是负角一、角的相关概念：一、角的相关概念： 3.3.在图中，一条射线的端点在图中，一条射线的端点是是O，它从起始位置，它从起始位置OA按按逆时针方向旋转到终止位置逆时针方向旋转到终止位置OB，形成了一个正角，记，形成了一个正角，记作作αα。
点点O是角的顶点，射是角的顶点，射线线OA、、OB分别是分别是αα的的始边、始边、终边终边 4.4.如果一条射线它从起始位置如果一条射线它从起始位置OA没有作任何旋转，终没有作任何旋转，终止位置止位置OB与起始位置与起始位置OA重合，我们称这样形成的角为重合，我们称这样形成的角为零度角零度角，，又称零角，记作又称零角，记作αα=0°° 角应包括正角、负角和零角角应包括正角、负角和零角 为了研究问题方便，我们常在直角坐标系内讨论角，为了研究问题方便，我们常在直角坐标系内讨论角，为此使为此使角的顶点与原点重合角的顶点与原点重合，，角的始边与角的始边与x轴的正半轴轴的正半轴重合．重合．图图1-9中的中的30°°，， 390°°，，-330°°角，角，都是第一象限角；都是第一象限角；图图1-10中的中的300°°，，-60°°角，都是角，都是第四象限角；第四象限角；585°°角是第三象角是第三象限角 角的终边角的终边(除端点外除端点外)在第几象限，我们就说这个角在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．是第几象限角． 二、象限角二、象限角终边在坐标轴的角，称为象限界角，它不属于象限角终边在坐标轴的角，称为象限界角，它不属于象限角 所所有有与与角角αα终终边边相相同同的的角角，，连连同同角角αα在在内内，，可可构构成成一一个个集集合合 S={ββ|ββ=αα+k··360°°，，k∈∈Z}，，即即任任一一与与角角αα终终边边相相同同的的角角，，都都可可以以表表示示成成αα与与周周角角的的整整数数倍倍的的和和．． 注意以下几点注意以下几点（（1））k Z ;（（2）） 是任意角；是任意角；（（3）终边相同的角不一定是等角；但相等的角一定是终）终边相同的角不一定是等角；但相等的角一定是终边相同的角；边相同的角；（（4）终边相同的角有无数个，他们相差）终边相同的角有无数个，他们相差360º的整数倍；的整数倍；（（5））k∙360º与与α之之间为“+”，，k∙360º- α看作看作k∙360º+（（-α））三、终边相同的角三、终边相同的角 例例1 判定下列各角是第几象限角．判定下列各角是第几象限角．(1) - -60°°；； (2)585°°；； (3) - -950°°12′′ 例例3 3 在直角坐标系中，写出终边在在直角坐标系中，写出终边在y轴上的角的轴上的角的集合集合(αα用用0°°到到360°°的角表示的角表示)．． 例例2 2 设设P ={P ={锐角锐角} }，，Q ={Q ={小于小于9090 的角的角} }，，M M ={={第一象限角第一象限角} }，，S = {S = {小于小于9090 的正角的正角} }，则下，则下列六个关系：列六个关系：① P=Q ② P=M ③ P=S ④ P① P=Q ② P=M ③ P=S ④ P Q Q ⑤ P⑤ P M ⑥ QM ⑥ Q M M中，正确的有中，正确的有 个？个？（（1）四）四（（3））-950°12′=-2×360º+（（-230º12’））（（2））580°12′=360º+225º，三，三③③ ④④ ⑤⑤（（3））β={α| α=n×180º+90º，，n∈∈Z} 例例7 7 设设 为第三象限角，求为第三象限角，求 所在象限，并画所在象限，并画图表示在该象限的什么区域内图表示在该象限的什么区域内. .例例6 6 若若 是第四象限角，则是第四象限角，则180180 - - 是第几象限角？是第几象限角？例例5 5 写出与写出与60°60°角终边相同的角的集合角终边相同的角的集合S S，并把，并把S S中适合不等式中适合不等式-360°≤β-360°≤β＜＜720°720°的元素的元素ββ写写出来：出来： 例例4 4 在在0°- 360°0°- 360°间，找出下列各角终边相同间，找出下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角的角，并判断它是哪个象限的角. .（（1 1））-140° -140° （（2 2））670° 670° （（3 3））-850°36‘-850°36‘ 任意角的三角函数之二任意角的三角函数之二弧度制弧度制在物理学和日常生活在物理学和日常生活中，一个量，常常需中，一个量，常常需要用不同的方法进行要用不同的方法进行度量，不同的度量方度量，不同的度量方法可以满足我们的不法可以满足我们的不同需要。
同需要 周角，将它分为周角，将它分为360等分，把一等分确定为等分，把一等分确定为1个单位，即个单位，即1度角 当半径不同时（如图当半径不同时（如图1-13），），同样的圆心角所对的弧长与半同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数我们称这个常径之比是常数我们称这个常数为该角度的数为该角度的弧度值弧度值 我们规定，在单位圆中长为我们规定，在单位圆中长为1的弧所对应的圆心角称为的弧所对应的圆心角称为1弧弧度角，它的单位符号是度角，它的单位符号是rad，，读作弧度读作弧度 一般地，任一正角的弧度数都是一个正数；任一一般地，任一正角的弧度数都是一个正数；任一负角的弧度数都是一个负数；零角的弧度数是负角的弧度数都是一个负数；零角的弧度数是0这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制做弧度制 【角度与弧度的互化】【角度与弧度的互化】 1. 360°°=2ππrad，，180°°=ππrad . . 例例1（（1）将）将112 30’化为弧度；（化为弧度；（2）将）将 弧度化为度；弧度化为度；例例2、把下列角化为、把下列角化为2k + （（0 < < 2 ，，k Z）的形）的形式式.（（1）） ；（；（2）） ；并指出所在象限；并指出所在象限.例例3、用弧度制表示第一、用弧度制表示第一—第四象限的角的集合第四象限的角的集合 特殊角的度数与弧度数的对应表特殊角的度数与弧度数的对应表 度度0 15 30 45 60 75 90 120 135 150 弧弧度度0度度180 210 225 240 270 300 315 330 360 弧弧度度 设设R是圆的半径，是圆的半径，l是所对的弧长，在使用弧度是所对的弧长，在使用弧度制时，圆心角制时，圆心角αα的弧度值通常也用的弧度值通常也用αα来表示，来表示，由弧度的定义可知，角由弧度的定义可知，角αα的弧度数的绝对值满的弧度数的绝对值满足：足： 即即 l=|αα|R 弧长等于弧所对的圆心角弧度数的绝对值与半弧长等于弧所对的圆心角弧度数的绝对值与半径的积。
径的积 角角度度制制时时弧弧长长公公式式为为：： 其其中中n表表示示角角度度数数 弧度制时弧长公式为：弧度制时弧长公式为： 例例4 4、利用弧度制证明扇形面积公式、利用弧度制证明扇形面积公式S= lR，其，其 中中l l是扇形的弧长，是扇形的弧长，R是圆的半径是圆的半径 证明：如图证明：如图1-15，因为圆心角为，因为圆心角为1的扇形的面积为的扇形的面积为 而弧长为而弧长为l的扇形的圆心角的的扇形的圆心角的大小为大小为 rad所以所以扇形的面积为扇形的面积为 几个需要注意的问题几个需要注意的问题：：1.在表示角的集合时，一定要使用统一单位（统一制度），在表示角的集合时，一定要使用统一单位（统一制度），只能用角度制或弧度制的一种，绝对不能混用；只能用角度制或弧度制的一种，绝对不能混用；2.用弧度制表示终边相同的角用弧度制表示终边相同的角 2k + ( k Z) 时，是时，是 的的偶数倍，而不是偶数倍，而不是 的整数倍；的整数倍；3.1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大小，而小，而1 是圆的是圆的 1/360 所对的圆心角（或该弧）的大小；所对的圆心角（或该弧）的大小；4.不管是以不管是以“弧度弧度”还是以还是以“度度”为单位的角的大小都是为单位的角的大小都是一个与半径的大小无关的定值；一个与半径的大小无关的定值；5.用弧度单位表示角的大小时，用弧度单位表示角的大小时，“弧度弧度”两字可以省略不两字可以省略不写，如写，如sin2理解为理解为sin（（2弧度）；一般弧度表示时，常写弧度）；一般弧度表示时，常写成多少成多少 的形式；的形式； 但以度为单位，不能省略；但以度为单位，不能省略； 例例5、、 根据下列已知条件，解决扇形的有关问题根据下列已知条件，解决扇形的有关问题（（1）） 已知扇形的周长为已知扇形的周长为10cm，面积为，面积为4cm2，求扇形，求扇形中心角的弧度数。
中心角的弧度数2）） 已知一扇形的弧为已知一扇形的弧为72 ，半径为，半径为20 cm，求扇形，求扇形的面积3）） 已知一扇形的周长为已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心，当它的半径和圆心角取什么值时，才能是扇形的面积最大？最大面积是角取什么值时，才能是扇形的面积最大？最大面积是多少？多少？ 例例6. 用弧度制表示终边落在下图中阴影部分内的角的集合：用弧度制表示终边落在下图中阴影部分内的角的集合：oyx75330xyo225135oyx21030 。
