高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳.docx

基本概念与公式】平面向量【任何时候写向量时都要带箭头】1.向量：既有大小又有方向的量记作:uuu rAB 或 a2.向量的模：向量的大小(或长度)uuu r，记作:|AB向|a|3.单位向量：长度为1的向量若e是单位向量，则|e| 14.零向量：长度为0的向量记作:r r010方向是任意的，且与任意向量平行】5 .平行向量6 .相等向量(共线向量)：方向相同或相反的向量 :长度和方向都相同的向量7.相反向量：长度相等,方向相反的向量uuuABuuuBA8 .三角形法则:uur uuur uur uurAB BC AC ; ABuuur uuur umr BC CD DEuuirAEuuuABuuurACuuuCB(指向被减数)9 .平行四边形法则：r r以a,b为临边的平行四边形的两条对角线分别为a与b同向；当r r0时，a与b反向r r r r10 .共线定理：a b a//b当 0时,11 .基底：任意不共线的两个向量称为一组基底r12 .向量的模：若a(x, y),则 | a| x2「2 ar 2 r|a| ， |ar -r—r 2b| .(a b)213 .数量积与夹角公式:r|a|r| b | coscosr ra b-r——r-|a| |b|14 .平行与垂直：a//bx〔y2r x2y1; ar ra b 0 x1x2 y1y 2 0题型1.基本概念判断正误：(1)共线向量就是在同一条直线上的向量。

2)若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点3)与已知向量共线的单位向量是唯一的4)四边形uurABC虚平行四边形的条件是 ABuuurCD uur uuur(5)若AB CD ,则A B、C、D四点构成平行四边形6)若a与b共线,r r r rb与c共线，则a与c共线r r(8)若 ma na ,则 m nr r(9)若a与b不共线，则：与b都不是零向量r r r r r r r r r(10)若 ab | a | |b | ,贝U a / /b 11)若 | a b | | a题型2.向量的加减运算r1 .设a表示“向东走8km”r r rb表示“向北走6knf ,则| a b |uuu uuir uuur uur uuuu2 .化简(AB MB) (BO BC) OMuuu uuu uuu3 .已知| OA | 5 , |OB | 3,则| AB |的最大值和最小值分别为 uuur uuur uur uur r uuur r uuu uuur4 .已知AC为AB与AD的和向量，且 AC a, BD b ,则AB , ADuuur5 .已知点C段AB上，且AC题型3.向量的数乘运算3uuur uuur3 AB,则 ACuuu uun uuuBC , AB BC or r r r r r1 .计算：2(2a 5b 3c) 3( 2a 3b 2c)「 r r , r2 .已知 a (1, 4),b (3,8),则 3a题型4.根据图形由已知向量求未知向量1.已知在 ABC中，D是BC的中点，请用向量uur umrAB, ACuuur表示AD 。

r r r r(7)若 ma mb ,则 a br uuin uuurb ,求 A*口 AD ouuur r uuin2.在平行四边形 ABCD中，已知 AC a, BD题型5.向量的坐标运算 uur1 .已知AB (4,5) , A(2,3),则点B的坐标是 uuur2 .已知PQ ( 3, 5) , P(3,7),则点Q的坐标是 r r r3 .若物体受三个力F1 (1,2) , F2 ( 2,3), F3 ( 1, 4),则合力的坐标为4.已知 a (3,4)(5,2),求 a b, a b, 3a 2br5 .已知 A(1,2), B(3,2)，向量 a (x2,xuur3y 2)与AB相等，求x,y的值uur uuir6 .已知 AB (2,3), BC (m,n),uuurCDuur(1,4),则 DA7.已知O是坐标原点， A(2, 1),B(uuu uur4,8),且 AB 3BCr uuur0 ,求OC的坐标题型6.判断两个向量能否作为一组基底ur ur1 .已知e,⑥是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底:ur iu ir uuA. e1 色和已 2 B.1rHm3ei 2e2 和 4e2ur6eC.ir uu ure1 3e2 和 e2ur3。

uu uu urd. e2和 e2 e2.已知」(3,4),能与a构成基底的是a 3 4 0 4 3A. (-, ) B. (,-)5 5 5 5C.(45)D.(1,43)题型7.结合三角函数求向量坐标uur1.已知O是坐标原点，点 A在第二象限，|OA | 2xOA 150°,uuu求OA的坐标uuu - uuu2 .已知O是原点，点 A在第一象限，|OA| 4V3 , xOA 60°,求OA的坐标题型8.求数量积r r r r1.已知1a1 3,2| 4,且a与b的夹角为60°,求(1)a b,⑵a (a b),r 1 r r r ,r、，r 〜r、(3) (a -b) b , (4) (2a b) (a 3b)2r r , r r r r r r r2.已知 a (2, 6),b ( 8,10),求(1) |a|,|b|, (2) a b , (3) a (2a b),r r r r(4) (2a b) (a 3b)题型9.求向量的夹角12,求a与b的夹角r r r r ［已知 |a | 8,|b | 3, a br r2 .已知 a (J3,1),b ( 2j3,2),求 a与 b 的夹角。

3 .已知 A(1,0), B(0,1), C(2,5),求 cos BAC题型10.求向量的模r_r r . r r r _r_r1 .已知 |a| 3,|b| 4,且 a 与 b 的夹角为 60°,求(1) |a b|,⑵ 12a 3b |「r r , r r r r r 1 r2 .已知 a (2, 6),b ( 8,10),求(1)山|，3, (5) |a b|,(6)1a—b|2r r r r r r3 .已知 |a| 1,|b| 2, |3a 2b | 3,求 13a b|rr r a题型11.求单位向量 【与a平行的单位向量：e -a-】|a|,r . r 1 1.与a （12,5）平行的单位向量是 2. 与m （ 1,1）平行的单位向量是2题型12.向量的平行与垂直, r , 一、 1.已知 a (1,2),向量ka b与ar r rb （ 3,2）, （1） k为何值时，向量ka b与a 3b垂直？ （2） k为何值时r3b平行？.r 一 .. 一， 一2.已知a是非零向量,题型13.三点共线问题1.已知 A(0, 2),B(2,2), C(3,4),求证:A,B,C三点共线。

uuu . 2 r r uur2 .设 AB —(a 5b), BC 2r r uuir r r2a 8b,CD 3(a b),求证： A B、D 三点共线uur r r uur3 .已知 AB a 2b, BCr r uur r r5a 6b,CD 7a 2b,则一定共线的三点是4 .已知 A(1, 3), B(8, 1),若点 C(2a 1,a2)在直线AB上，求a的值uuu uuu UULT5 .已知四个点的坐标 O(0,0) , A(3,4) , B( 1,2) , C(1,1),是否存在常数t ,使OA tOB OC成立？题型14.判断多边形的形状uuu r uuur r uuur uuir1 .若AB 3e, CD 5e,且| AD | | BC |,则四边形的形状是 2 .已知 A(1,0), B(4,3) , C(2,4), D(0,2),证明四边形 ABCD是梯形3 .已知A( 2,1) , B(6, 3) , C(0,5),求证： ABC是直角三角形4 .在平面直角坐标系内,uur uuu uuurOA ( 1,8),OB ( 4,1),OC (1,3),求证： ABC是等腰直角三角形。

r.r rr 一 F r ,、 r r ra b a c ,且 b c ,求证：a (b c)题型15.平面向量的综合应用r r r1 .已知a (1,0), b (2,1),当k为何值时，向量ka b与a 3b平行?r r r2 .已知a (J3, J5),且a b , | b | 2 ,求b的坐标r r r r r r3 .已知a与b同向，b (1,2),则a b 10,求a的坐标r r r r r rr r5.已知 a (m,3) , b4 .已知 a (1,2), b (3,1), c (5,4),则 c a b o(2, 1) , (1)若a与b的夹角为钝角，求 m的范围;r r6.已知 a (6,2) , b ( 3,m),(2)若a与b的夹角为锐角，求m的范围当m为何值时，(1)a与b的夹角为钝角？ ( 2)a与b的夹角为锐角?7 .已知梯形 ABCD 的顶点坐标分别为 A( 1,2) , B(3,4) , D(2,1),且 AB//DC , AB 2CD ,求点C的坐标？8 .已知 ABC三个顶点的坐标分别为 A(3,4), B(0,0) , C(c,0),UUr UULT(1)若AB AC 0,求c的值；(2)若c 5,求sin A的值？。