人教版高中数学【同课异构】精品课件2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 课件.pdf

24.2平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示、、 模模、、夹角夹角 第二章第二章平面向量平面向量 学习导航学习导航 学习目标学习目标 实例实例 理解理解 平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示 掌握掌握 用平面向量坐标形式求用平面向量坐标形式求 数量积、模、夹角数量积、模、夹角 重点难点重点难点 重点：用两个向量的坐标来解决与向量的重点：用两个向量的坐标来解决与向量的 模、夹角、垂直有关的问题模、夹角、垂直有关的问题 难点：难点：掌握数量积、求模公式、距离公式、夹角公式、掌握数量积、求模公式、距离公式、夹角公式、 向量垂直与平行的等价形式向量垂直与平行的等价形式 新知初探思维启动新知初探思维启动 1向量数量积的坐标表示向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量已知两个非零向量a(x1，，y1)，，b(x2，，y2)，，则则a b _______________，，即两个向量的数量积等于即两个向量的数量积等于 _________________________ x1x2y1y2 它们对应坐标的乘积的和它们对应坐标的乘积的和 做一做做一做 1.已知向量已知向量a(1,2)，，b(2,3)，，则则a b________. 解析解析：：a b12238. 答案答案：：8 2平面向量数量积坐标表示的几个公式平面向量数量积坐标表示的几个公式 (1)向量模的坐标表示向量模的坐标表示 若若 a(x，，y)，则，则|a|2________，或，或|a|x2y2. (2)两向量平行、垂直的坐标表示两向量平行、垂直的坐标表示 设设 a(x1，，y1)，，b(x2，，y2)，则，则 ab___________________；； ab____________________. x2y2 x1y2x2y10 x1x2y1y20 (3)两向量夹角的余弦公式两向量夹角的余弦公式 设设 a，，b 是两个非零向量，是两个非零向量，a(x1，，y1)，，b(x2，，y2)，， 是是 a 与与 b 的夹角，则的夹角，则 cos _______________. x1x2y1y2 x2 1 y2 1 x2 2 y2 2 做一做做一做 2.已知向量已知向量a(2,2)，，b(5，，k)，，若若ab，，则则k________. 答案答案：：5 3设向量设向量 a(0,2)，，b( 3，，1)，则，则 a 与与 b 的夹角等的夹角等 于于________ 答案：答案： 3 典题例证技法归纳典题例证技法归纳 题型一题型一数量积的坐标运算数量积的坐标运算 题型探究题型探究 例例1 已知向量已知向量a与与b同向同向，，b(1,2)，，a b10. (1)求向量求向量a的坐标的坐标；； (2)若若c(2，，1)，，求求(b c) a. 【【解解】】(1)向量向量a与与b同向同向，，且且b(1,2)，， 设设ab(1,2)(，，2)(0)，， 由由a b10，，得得1 2 210，， 解得解得20，，符合符合a与与b同向的条件同向的条件，， 2，，a(2,4) (2)b(1,2)，，c(2，，1)，， b c122(1)0，， (b c) a0. 【【名师点评名师点评】】进行向量的数量积运算进行向量的数量积运算，，前提是牢前提是牢 记有关的运算法则和运算性质记有关的运算法则和运算性质解题时通常有两条解题时通常有两条 途径途径：：一是先将各向量用坐标表示一是先将各向量用坐标表示，，直接进行数量直接进行数量 积运算积运算；；二是先利用数量积的运算律将原式展开二是先利用数量积的运算律将原式展开，， 再依据已知计算再依据已知计算 跟踪训练跟踪训练 1已知向量已知向量a(1,2)，，b(3,2) (1)求求a (ab)；； (2)求求(ab) (2ab)；； (3)若若c(2,1)，，求求(a b)c，，a(b c) 解解：：(1)法一法一：：a(1,2)，，b(3,2)，， ab(4,0) a (a ab)(1,2) (4,0) (1) )(4)204. 法法二二：：a(ab)a2a b (1) )222(1)3224. (2)ab(1,2)(3,2)(2,4)，， 2ab2(1,2)(3,2) (2,4)(3,2)(5,2)，， (ab) (2ab)(2,4) (5,2) 2(5)422. (3)(a b)c(1,2) (3,2)(2,1) (1322)(2,1)(2,1) a(b c)(1,2)(3,2) (2,1) (1,2)(3221) 8(1,2)(8,16) 例例2 题型二题型二两个向量的夹角问题两个向量的夹角问题 在平面上建立了直角坐标系在平面上建立了直角坐标系 xOy，，O 是原点是原点(如图如图) 已知点已知点 A(16,12)、、B(5,15) (1)求求|OA |，，|AB |；； (2)求求OAB. 【解】【解】 (1)由由OA (16,12)，， AB (516,1512)(21,3)，得，得 |OA | 16212220，，|AB | ( (21) )23215 2. (2)cosOABcosAO ，，AB AO AB |AO ||AB | . 其中其中AO AB OA AB (16,12) (21,3) 16(21)123300. 故故 cosOAB 300 2015 2 2 2 .OAB45 【【名师点评名师点评】】根据向量的坐标表示求根据向量的坐标表示求a与与b的夹角时的夹角时 ，，需要先求出需要先求出a b及及|a||b|，，再由夹角的余弦值确定再由夹角的余弦值确定.其其 中中，，当当a b0时时，，a与与b的夹角为锐角的夹角为锐角；；当当a b<0时时，，a与与 b的夹角为钝角的夹角为钝角；；当当a b0，，a与与b的夹角为直角的夹角为直角 跟踪训练跟踪训练 2已知已知a(1,1)，，b(0，，2)，，当当k为何值时为何值时，， (1)kab与与ab共线共线？？ (2)kab与与ab的夹角为的夹角为120？？ 解解：：a(1,1)，，b(0，，2)，， kabk(1,1)(0，，2)(k，，k2)，， ab(1,1)(0，，2)(1，，1) (1)kab与与ab共线共线，， k2(k)0.k1. (2)|kab| k2( (k2) )2，， |ab| 12( (1) )2 2. 又又(kab) (ab)(k，，k2) (1，，1)kk22，而，而 kab 与与 ab 的夹角为的夹角为 120 ，， cos 120 ( (ka b) ) ( (ab) ) |kab||ab| ，， 即即1 2 2 2 k2( (k2) )2 ，， 化简整理，得化简整理，得 k22k20，解得，解得 k1 3. 题型三题型三两向量垂直的坐标运算两向量垂直的坐标运算 例例3已知在已知在ABC 中，中，A(2，，1)、、B(3,2)、、C(3，，1)，， AD 为为 BC 边上的高，求边上的高，求|AD |与点与点 D 的坐标的坐标 【解】【解】 设设 D 点坐标为点坐标为(x，，y)，， 则则AD (x2，，y1)，，BC (6，，3)，，BD (x3，，y2)，， D 在直线在直线 BC 上，即上，即BD 与与BC 共线，共线， 存在实数存在实数 ，使，使BD BC ，， 即即(x3，，y2)(6，，3) x36，， y23，， x32(y2)，即，即 x2y10. 又又ADBC，，AD BC 0，， 即即(x2，，y1) (6，，3)0，， 6(x2)3(y1)0，即，即 2xy30. 由由可得可得 x1，， y1. |AD | ( (12) )222 5，， 即即|AD | 5，点，点 D 的坐标为的坐标为(1,1) 【【名师点评名师点评】】利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题 的实质与利用定义解决垂直问题一致的实质与利用定义解决垂直问题一致，，利用坐标表示是把利用坐标表示是把 垂直条件代数化垂直条件代数化，，从而使判定方法更加简捷从而使判定方法更加简捷、、运算更加直运算更加直 接接，，体现了向量问题代数化的思想体现了向量问题代数化的思想 跟踪训练跟踪训练 3已知点已知点A(1,2)和和B(4，，1)，，问能否在问能否在y轴上找到一点轴上找到一点 C，，使使ACB90，，若不能若不能，，请说明理由请说明理由；；若能若能，，求求 出出C点的坐标点的坐标 解：解：假设存在点假设存在点 C(0，，y)使使ACB90 ，， 则则AC BC .AC (1，， y2)，， BC (4，， y1)，， AC BC ，， AC BC 4(y2)(y1)0，， y2y20.而在方程而在方程 y2y20 中，中，<0，， 方程无实数解，故不存在满足条件的点方程无实数解，故不存在满足条件的点 C. 方法感悟方法感悟 1由于两个非零向量由于两个非零向量 a、、b 的夹角的夹角 满足满足 0 180 ，所以，所以 用用 cos a b |a||b|来判断， 可将 来判断， 可将 分为五种情况：分为五种情况： cos 1，， 0 ；； cos 0，，90 ；；cos 1，，180 ；；cos 0 且且 cos 1，， 为钝角；为钝角；cos 0 且且 cos 1，， 为锐角为锐角 2已知两向量的坐标，根据平面向量的数量积的定义和性质，已知两向量的坐标，根据平面向量的数量积的定义和性质， 可以求其数量积、长度和它们的夹角，此外，求解数量积的有可以求其数量积、长度和它们的夹角，此外，求解数量积的有 关综合问题，应该注意函数思想与方程思想的运用关综合问题，应该注意函数思想与方程思想的运用 精彩推荐典例展示精彩推荐典例展示 例例4 名师解题名师解题 平面向量坐标表示的综合应用平面向量坐标表示的综合应用 已知向量已知向量 a(cos()，，sin())，， b(cos( 2 )，，sin( 2 ))，， (1)求证：求证：ab；； (2)若存在不等于若存在不等于 0 的实数的实数 k 和和 t，使，使 xa(t23)b，， ykatb 满足满足 xy，试求此时，试求此时k t2 t 的最小值的最小值 (2)由由xy，，得得x y0，， 即即a(t23)b (katb)0，， ka2(t33t)b2tk(t23)a b0，， k|a|2(t33t)|b|20. 【解】【解】 (1)证明：证明：a b cos()cos( 2 )sin()sin( 2 ) sin cos sin cos 0 ab. 1 又又|a|21，，|b|21，，kt33t0，， kt33t ，， k t2 t t 3 t23t t t2t3 (t1 2) 2 11 4 故当故当 t1 2时， 时，k t2 t 有最小值有最小值11 4 . 2 3 。