高数多元函数微分法及其应用.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,*,*,平面点集,和区域,多元函数,的极限,多元函数,连续的概念,极 限 运 算,多元连续函数,的性质,多元函数概念,第,9,章 多元函数微分法及其应用,1,高阶偏导数,隐函数,求导法则,复合函数,求导法则,全微分形式,的不变性,多元函数的极值,全微分,概念,偏导数,概念,2,1,、区域,（,1,）邻域,连通的开集称为区域或开区域,.,（,2,）区域,设 是平面上的一个点,.,与点 的,距离小于 的点 的全体,称为点 的 邻,域,记为,即,3,（,3,）聚点,设,E,是平面上的一个点集,P,是平面上的一个点,如果点,P,的任何一个去心的邻域内总有无限多个点属于点集,E,则称,P,为,E,的聚点,.,2,、多元函数概念,z,=,f,(,x,y,),或,z,=,f,(,P,),个点,变量,z,按照一定的法则总有确定,定义,设,D,是坐标平面上的一个点集,如果对于每,的值和它对应,则称,z,是变量,x,y,的二元函数,记为,4,3,、多元函数的极限,都有 成立,则称,A,为函,数,f,(,x,y,),当 时的极限,记为,总存在正数,使得当点,时,或,定义,:,设函数,f,(,P,)=,f,(,x,y,),的定义域为,D,是其聚点,.,如果存在常数,A,对于任意给定的正数,5,说明：,（,1,）定义中 的方式是任意的；,（,2,）二元函数的极限也叫二重极限,（,3,）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,6,4,、多元函数的连续性,定义,:,为,D,的聚点,.,设二元函数,f,(,P,)=,f,(,x,y,),的定义域为,D,如果函数,f,(,x,y,),在 不连续,则称 为函数,f,(,x,y,),的间断点,.,在点 连续,.,则称函数,f,(,x,y,),如果 且,7,在有界闭区域,D,上的多元连续函数,在,D,上至少取得它的最大值和最小值各一次,.,在有界闭区域,D,上的多元连续函数,如果在,D,上取得两个不同的函数值,则它在,D,上取得介于这两值之间的任何值至少一次,.,（,1,）最大值和最小值定理,（,2,）介值定理,5,、多元连续函数的性质,8,6,、偏导数概念,义,当,y,固定在 而,x,在 处有增量 时,相应地,函数有增量,如果,存在,则称此极限为,函,数,z,=,f,(,x,y,),在点 处对,x,的偏导数,定义,或,设函数,z,=,f,(,x,y,),在 的某邻域内有定,记为,9,同理可定义函数,z,=,f,(,x,y,),在点 处对,y,的偏导数,:,或,如果函数,z,=,f,(,x,y,),在区域,D,内任一点,(,x,y,),处对,x,(,或,y,),的偏导数都存在,那么这个偏导数就是,x,y,的函数,称为函数,z,=,f,(,x,y,),对自变量,x,(,或,y,),的偏导函数,记作,10,7,、高阶偏导数,纯偏导,混合偏导,11,8,、全微分概念,如果函数,z,=,f,(,x,y,),在点,(,x,y,),的全增量,可以表示为,其中,A,B,不依赖于,而仅与,x,y,有关,点,(,x,y,),可微分,称为函数在点,(,x,y,),的,即,则称函数在,全微分,记作,12,多元函数连续、可导、可微的关系,函数可微,函数连续,偏导数连续,函数可导,13,9,、复合函数求导法则,全导数,14,15,10,、全微分形式不变性,无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数,它的全微分形式是一样的,.,16,11,、隐函数的求导法则,直接求导法,17,12,、多元函数的极值,定义,极大值、极小值统称为极值,.,使函数取得极值的点称为极值点,.,18,多元函数取得极值的条件,一阶偏导数同时为零的点,均称为多元函数的,驻点,.,极值点,注意,驻点,19,20,21,条件极值,：对自变量有附加条件的极值,22,。