关于旋转物体定轴性的研究.doc

关于转动物体的定轴性的研究2013 年，王亚平在天宫一号中讲课时讲到旋转的物体具有定轴性 （见图 1）她分别推了静止的陀螺和旋转着的陀螺一下原来静止的陀螺翻滚起来，而原来旋转着的陀螺则平稳地向前运动地面上也能看到类似的现象，比如旋转着的陀螺不会倒，自行车由于车轮的旋转也不易倒下那么，旋转物体为什么会有定轴性呢？为解决这个问题，我决定用所学的一点点刚体力学计算一下图 1） （图 2）如图（图 2） ，若物体原有向 z 轴正半轴的角速度 ω0对其施加一个沿 x 轴正半轴的冲量矩 ωJx，使其获得沿 x 轴的角速度 ω，则物体的角速度变为 ω'，与 z 轴夹角 θ=arctanω/ω0,显然有 ω0越大，θ 越小即同样的冲量矩作用在转动物体上是，原有角速度越大，该方向的转动惯量越大，则转轴方向变化越小那么问题来了：（图 3）圆盘在受到这样一个冲量矩时，转轴不再与圆盘平面垂直，也就是说它会抖动，这让我感觉有些奇怪我随即拿了一个硬币转了一下，发现它确实会在空中抖几下，不过这样的实验并不严谨之前玩过一个指尖陀螺，发现它阻碍我改变它转动方向时，还会在我手里晃，稍不注意就掉在地上了。

而王亚平推的陀螺时，因为陀螺高速旋转，所以陀螺的转轴几乎不变，这点晃动就很难看出来了自行车的骨架的限制使车轮的转轴必须垂直于车轮所在平面，如果车轮剧烈抖动，那就得去修了还有一个问题，陀螺又为什么不会倒？首先，不倒翁的原理（图）大家都知道，不倒翁的重心高度小于底部的曲率半径，因此在偏离平衡位置时，重心会升高，势能增大，是稳定平衡图 4）那么，我们来用类似的方法通过能量变化分析一下陀螺平衡的稳定性图 5）如图 5，设以 x，y，z 为轴转动惯量为 Jx，Jy，Jz，初始的转动角速度为 ω，在竖直位置重心到地面高度为 h陀螺原有的总能量（以地面为零势能面）为 E0=1/2ω2Jz+mgh（图 6）当受到微扰（图 6） ，转轴偏离了△θ 时，重力，支持力的力矩不沿 z 轴，若忽略摩擦，则 z 方向 ω 不变，则 ω水平=ωtan△θ正常的陀螺都是关于转轴对称性极高的，水平方向上任意一个转轴的转动惯量可以认为是相等的不妨设偏离沿 y 方向，则 ω水平沿 x方向此时陀螺的总能量为 E=1/2ω2水平Jx+1/2ω2Jz+mghcos△θ△E=E-E0= ½ω2水平Jx+ ½ω2Jz+mgh(cos△θ-1)= ½ωtan2△θ·Jx+ mgh(cos△θ-1)∵△θ很小∴tan△θ≈△θ，cos△θ≈1-sin2△θ/2=1-△θ²/2∴△E= ½ω2 Jx△θ2- ½mgh△θ2△E＞0 的条件为ω＞√￣(mgh/Jx)∴若 ω 足够大，陀螺在倾倒时总能量增加，所以是稳定平衡。

若考虑摩擦力，则偏移一个角 Δθ 时，陀螺尖端与地面有相对运动，产生摩擦力，使 ω 减小因此陀螺会越转越慢，最后倒下从 ω 的表达式来看，质量相同时，陀螺的重心越低越好，水平方向转动惯量越大越好，所以，我们看到的陀螺有一个底盘，位置大多较低，而且很宽有的还中心用塑料做，周围用金属做，也是这个原因我又了解了一下，旋转物体的这种性质还有一些其他应用比如制成陀螺仪，用于航海、航空、航天时测量方向、角速度等，炮弹发射时旋转起来可以更精准地打击目标，为了保证稳定性，有时要让在轨的飞船以某一方向旋转生活中处处有学问，处处有物理像陀螺这样的玩具中其实也有很深的学问，生活中任何一个再小的现象也不能忽视我对该问题的理解还可能比较肤浅，希望能得到老师的指点。