隐函数存在定理.doc

第五节 隐函数存在定理第五章我们已经给出了隐函数的求导方法，但是，我们并不知道隐函数是否存在，本节我们给出隐函数〔即由方程或方程组所确定的函数〕的存在判别法一、 单个方程情形我们首先给出由二元方程所确定的一元隐函数的存在定理定理 6.25 假设以下条件成立：〔1〕；〔2〕 在点的一个邻域中,函数连续且具有连续偏导数；〔3〕 ，那么〔i〕在点的某个邻域中, 方程惟一确定了一个定义在某区间内的隐函数，满足且；〔ii〕在区间内连续；〔iii〕在区间内具有连续的导数，满足证 在条件〔3〕中，不妨假设先证明隐函数的存在性与惟一性由条件〔3〕，我们知道是连续的，由连续函数的局部保号性，存在闭矩形，有因此，对任意固定的，在上严格单调增加由条件〔1〕，得到又因为在上是连续的，因此存在，使得于是，对每个固定的，在上是严格单调增加的连续连续函数，且有由零点存在定理，存在惟一的，使得这样由与的对应关系就确定了一个函数，其定义域为，值域包含于，我们记，那么结论〔i〕得证.下面证明隐函数的连续性任取，对任意给定的充分小的，由上面讨论可得由保号性，存在，当时，有于是，当时，由关于的单调性，相应于的隐函数值满足，于是，即，所以在连续。

最后证明隐函数的可微性任取和都属于，它们相应的隐函数值为和，那么有由多元函数微分中值定理，得到，其中， 于是，当充分小时由于和是连续的，取极限得到且在连续类似地，我们可以给出由方程所确定的元隐函数的存在定理：定理6.26 假设以下条件成立：〔1〕；〔2〕 在点的一个邻域中,函数连续，且具有连续偏导数；〔3〕 ，那么〔i〕在点的某个邻域中, 方程惟一确定了一个定义在点某邻域内的隐函数，满足且；〔ii〕在邻域内连续；〔iii〕在邻域内具有连续的偏导数，满足例　，求．解 令，那么，，所以 　 ．设隐函数，可微，那么当把看成是的函数时，可以对两边对求导数，得到，当时，有．下面求隐函数的高阶导数，设，求．因为，故 同样对于多元函数的隐函数也有类似的结果．例如，当把看成是的函数时，有〔其中〕．例　，求．解 令，那么；；；例6.30 设函数由方程确定，证明函数满足方程证 将方程两边对求导得于是类似可得代入就得到二、 方程组情形 下面给出由方程组所确定的隐函数组的存在定理定理6.27 设是点的一个邻域上函数组方程，假设以下条件成立：〔1〕；〔2〕函数在上连续且具有连续一阶偏导数；〔3〕 函数关于变量的雅可比〔Jacobi〕行列式在点不等于零，那么（i） 在点的某个邻域中, 方程组惟一确定了一个定义在点某邻域内的两个二元函数满足且；〔ii〕在邻域内连续；〔iii〕在邻域内具有连续的一阶偏导数，满足。

证 〔略〕例　方程，求解 方程组两边同时对求导得于是习题1．设，求2．设，求3．设，求4．设函数由方程确定，证明函数满足方程5设，其中具有连续偏导数，且，求6．设函数由方程确定，证明函数满足方程7．方程，求。