
《数术记遗》之九宫算法研究.pdf
5页目 皇 《 数术记遗 之九宫算法研究 ◆ 杨 晓清 《 数术记遗》 记载 了我国古代1 4 种算法 , 除第 1 4 种 “ 计数” 为心算 , 无须算具外 , 其余 1 3 种均有计算工具 , 分别是 : 积算 ( 即筹算 ) 、 太乙算 、 两仪算 、 才算 、 五行 算 、 八卦算 、 九宫算 、 运筹算 、 了知算 、 成数算 、 把头算 、 龟算和珠算唐宋 以后 , 《 数术记遗》 中所述 1 3 种算具 , 除珠算沿用至今外 ,所有算具均相继失传而此书以 “ 记遗” 的形式 , 内容 比较简单 , 只有文字介绍 , 更无算 具图样 , 其历史原貌 , 已经无人知晓成为我国古算史 上的千古之谜后世中外学者作 了大量研究 , 并试图还 原其 本来 面 目 惜 无定 论 笔者通过《 数术记遗》 所述内容并结合对幻方的研 究 , 提出 了算 盘起源于“ 九宫算 ” 的观点 ( 注 1 ) , 那 么 , “ 九宫算” 又是一种什么算法?它是以什么为计算 目的 和内容的? 它具体的运算方法是什么? 如果不能说 明这 一问题 , 那么算盘起源于“ 九宫算” 的观点就依据不足 了。
下面根据《 数术记遗》 的记载, 通过本文作一研究探 讨 以求证 于 同道 一 、九 宫算是 以九 宫 图为基 础 的一 种运 算方 法 运 算的目是排列更大的奇数阶幻方 《 周易 · 系辞上》 载: “ 河 出图, 洛出书 , 圣人则之 传说伏羲氏时有龙马从黄河出现 , 背负河 图; 有神龟从 洛水 出现 , 背负 洛书 九 宫 图本 源 自洛 书 , 古 又称 之 为 “ 纵横图” , 即现代的三阶幻方( 图1 ) 图1 : 4 9 2 3 5 7 8 1 6 珠算与珠心算 2 0 1 3 . 5 《 数术记遗》 记载 : “ 九宫算 : 五行参数 , 犹如循环 甄鸾注称: “ 九宫者, 即二、 四为肩 , 六 、 八为足 , 左三 、 右 七 , 戴九履一 , 五居中央五行参数者 , 设位之法依五 行 , 已注于上是也 注于上: ⋯⋯此等诸法 , 随须更位 , 唯有九宫 , 守一不移 位依行色, 并应无穷 ⋯⋯言位依 行色者 , 一位第一用玄珠 , 十位第二用赤珠 , 百位第三 用青珠 , 千位第四用 白珠 , 万位第五用黄珠 , 十万位 以 赤线系黄珠 , 百万位以青线系黄珠 , 千万位以白线系黄 珠 , 万万位日亿 , 以黄线系黄珠 , 自余诸位唯兼之, 故 曰 并 应无穷 也 。
以上 内容从 词 面上理解 , 有几 层意思 一是说 什么 是九宫图 , 因为没有 图, 所 以用 口诀 的形式来描述 , 既 形象又易记 , 即使从来没见过九宫图或不懂排列的人 . 也可以轻易地画出来 这也为九宫图后世 的流传发挥 了很大的作用二是说什么是九宫算 . 就是以九宫为基 础 , 将各 自然数字按照五行参数的方法, 循环进行排列 组合 , 排列出各种大小不同的幻方 三是说九宫算的一 个要点, 是所有的数字在排列 的过程中 都可能根据需 要变更 位 置 ,只有位 居 九宫 中心 的那 一个 数字 , “ 守一 不移 ” , 不 可移动 从 这 一句 可 以说 明九 宫算研 究 的是 奇数阶幻方 ( 后来杨辉等科学家运算偶数阶幻方 , 那是 对九宫算法的发展 ) 四是运用九宫算 , 可以有无穷的 变化 , 也可以理解为可以运算到极大的方阵 , 事实上文 中也已经举例到亿了五是运算中所用的工具是珠子 . 这一算法被称之为珠算虽然九宫算和珠算被《 数术记 遗》 同时列为1 4 种算法之一 , 但用珠算 的方法来运算九 宫却是其特点这也为后世算盘的诞生开启了大门( 注 2 ) ■ 皇 以上论述表 明, “ 九宫算”是一种 以九宫图为依据 的推演算法 ,其运算的 目是排列各种更大的奇数阶幻 方 。
二 、 九宫算 的具体运算方法就在《 数术记遗》 记载 之 中 自从发现九宫 图后 ,古代人 民就被那神奇的数字 组合迷住了人们孜孜不倦地对其探索研究 ,以其找 到 比三 阶更大的幻方组合 从 而涌现出许多这方面的 研究专家我 国古代数学家杨辉在这方面取得 了伟大 成果 .在公元 l 3 世纪已经编制 出3 — 1 O 阶幻方后来国 外著名 的幻方排 列有Me r z i r a c 法 ,l o u b e r e 法 ,h o r s e 法 等 幻方研究发展到今天 ,尤其是计算机技术的飞速 发展 ,对普通幻方 的排列组合已经不再是难题 其排 列方法也是数不胜数 .排列 的内容和难度等级更是极 大 的提高 ,平方幻方 ,立方幻方,完美幻方等等 ,数 学 爱好者和科学 家仍在不断地 向更 深层次研究 和探 索 那么《 数术记遗》 中的“ 九宫算” 用的是哪一种算法 呢?经笔者仔细研究 发现了其 中的一个奥秘 , 奇数阶 幻方九宫算的具体运算方法就在《 数术记遗》 “ 九宫算 : 五行参数 , 犹如循环” 寥寥的l 1 个 字之 中我认为这是 一个深藏了一千多年的谜 , 就如一把钥匙 , 放在那里一 千 多年 了, 不是 没有人看见 , 只是没有被想到 , 她被忽 略了! 她是一种完全不同于后世的算法, 她是奇数阶幻 方之解 的鼻祖 , 她是奇数阶幻方解的方程式 ! 其关键就 在 甄 鸾对徐 岳 这句话 的注解上 。
自古 以来 ,人们一直把甄鸾所注的 : “ 九宫者 , 即 二 、 四为肩 , 六、 八为足 , 左三 、 右七 , 戴九履一 , 五居 中 央 认为是仅仅对九宫 图的描述 , 没有去深入研究其 中的奥秘 殊不知以上口诀实质是九宫算法的解 ! 甄鸾 在注述中紧接一段 : “ 五行参数者 设位之法依五行 已 注于上是也注于上 : ⋯⋯此等诸法 , 随须更位 , 唯有九 宫, 守一不移位依行色, 并应无穷” 这个“ 注于上” 包 含 了上述 口诀 , 非常重要 我理解为 : 九宫算法 . 按照口 诀 的方法 , 将数字进行组合排列 , 根据需要 随时变换位 置, 但 只有九宫居中央的这一个数字 , 是定下来唯一不 动 的 各 个 位置 的数 字 , 用 不 同颜色 的珠 子及 不 同颜 色 的丝线系不同颜色的珠子来定位表示 , 以此类推 可 以 直 至无穷 大 三、 九宫算法的具体步骤 以下运算方法完全按照 《 数术记遗》 : “ 九宫算 : 五 行参数 , 犹如循环 ” 、 “ 九宫者 , 二、 四为肩 , 六、 八为足 , 左三 、 右七 , 戴九履一 , 五居 中央” 、 “ 唯有 九宫 , 守一不 移 , 位依行色, 并应无穷 。
此等诸法的记载这一算法 笔者称其为“ 中心扩散法” 仿照《 数术记遗》 之意 , 将算 法 口诀通俗地概括为 : “ 中心定位 ,由内而外 ;分段取 值 , 层层扩散 ; 先放斜角 , 圈差易算 ; 位依法行 , 逐次展 开; 九宫参数 , 无穷循环 运用这一算法 , 所排列的幻方 阵, 各数字从中心开 始 , 犹如 ‘ 太极生两仪” 般分两个方 向往数列两端 , 依一 定的规则 , 层层展开 , 循环而出构成中心对称的“ 完美 幻方” 下面用5 阶和1 1 阶为例进行运算解说( 为了表达 清楚 , 在此将步骤说 明得 比较详细 , 看似繁复 , 实则运 算非常简单 ) : ( 一) 5 阶幻方的运算 : 1 . 先定 中心数 1 3 . 2 . 按照九宫 图规律 从 中心数1 3 向两端取值 1 2 , 1 1 和 1 4 , 1 5 , 依次排 出左上至右下 为1 1 , 1 2 , 1 3 , 1 4 , l 5 ( 图 2) 图2 : 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 3 . 如果把幻方图看成一 圈圈由中心向外扩散的. 那 么1 3 这个数就是第一圈 , 第二圈有8 个数字。
已经排了 1 2 , 1 4 , 还 有6 个 , 由中间向两边取 , 依 次为1 0 , 9 , 8 , 和 1 6 , 1 7 , 1 8 6 个数里 , 最小是8 , 最大是1 8 , 按戴九履一 , l 8 在上 , 8 在下定位 ; 其次是9 和1 7 , 按二 、 四为肩 , 六 、 八 为足 ( 9 仅 t: l~ 8 大 , 相 当于2 的位 置 ; 1 7 仅 比1 8 小 , 相 当于8 的位置) 由于左肩和右足已经有 了, 那么便在右肩放9 在其相对的左足上放 1 7 ; 最后按左三 、 右七 , 放置1 0 和 兰 趔 霉参 1 6 , 第二圈完成( 图3 ) 图3 : l l 1 2 1 8 9 1 0 1 3 1 6 1 7 8 1 4 1 5 目 皇 4 . 第三 圈有1 6 个数字 , 已经排 了l 1 , 1 5 , 还有 l 4 个 , 由 中 间 向 两 边 取 , 依 次 为 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1和 1 9 , 2 0 , 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 , 2 5 。
仍按戴九履一法放置2 5 和1 , 二 、 四为 肩 , 六 、 八 为 足法放 置2 和2 4 , 左三 、 右 七法 放 置 3 和2 3 ( 图4 ) 图4: 11 2 5 2 1 2 1 8 9 3 1 0 1 3 1 6 2 3 1 7 8 1 4 2 4 1 1 5 5 . 随着圈数 ( 阶数 ) 的增加 , 在按 口诀放置完相应的 数字后 , 剩余 的中间数会越来越多 , 则按照 “ 二 、 四为 肩 , 六、 八为足” 的口诀和设位之法依五行 , 随须更位 , 位依行色 , 并应无穷等要 旨, 依照对称的原则循环排列 而出顺序为 : 4 , 5 , 6 , 7 ( 图5 ) 图5: 1 1 2 5 7 2 5 1 2 1 8 9 3 1 0 1 3 1 6 2 3 1 7 8 1 4 4 2 4 6 1 1 5 珠算与珠心算 2 0 1 3 . 5 6 . 在对称的位置放置2 2 , 2 1 , 2 0 , 1 9 五阶幻方运算 完 成 ( 图6 ) 图6: 1 l 2 0 25 7 2 5 1 2 1 8 9 2 1 3 1 0 1 3 1 6 2 3 2 2 1 7 8 1 4 4 2 4 6 1 1 9 1 5 ( 二 ) l 1 阶幻方 的运 算 : 1 . 1 1 阶幻方 由1 一 l 2 l 数 字组 成 。
2 . 定中心数为6 l 3 . 由中心向两端分段取值 : 1 ) 取左上至右下: 6 O , 5 9 , 5 8 , 5 7 , 5 6 和 6 2, 63, 6 4, 65, 6 6 5 6 5 7 58 5 9 6 0 61 62 6 3 64 65 6 6 2 ) 取第2 圈6 个数值依次为 : 5 5 , 5 4 , 5 3 和6 7 , 6 8 , 6 9 按戴 九履 一 , 二 、 四为肩 , 六 、 八 为 足 , 左三 、 右 七 法放 置 ( 见 图 ) 5 6 5 7 5 8 5 9 6 0 6 9 5 4 5 5 6 l 6 7 6 8 5 3 6 2 63 6 4 65 66 5 6 5 7 58 78 8 2 8 7 41 4 5 3 6 4 3 5 9 71 7 6 5 2 4 7 7 9 3 9 5 0 6 0 6 9 5 4 7 2 8 3 3 7 4 8 5 。
