2022年初三数学试题初三数学《三角形中作辅助线的常用方法举例》.docx

名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载三角形中作帮助线的常用方法举例 一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时,如直接证不出来,可连接两点或延长某 边构成三角形,使结论中显现的线段在一个或几个三角形中,再运用三角形三边的不等关系证明,如： 例 1：已知如图 1-1 ：D、E为△ ABC内两点 , 求证 :AB＋AC＞BD＋DE＋CE. 证明：（法一） 将 DE两边延长分别交 AB、AC 于 M、N, 在△ AMN中, AM＋AN ＞ MD＋DE＋NE;（1） 在△ BDM中, MB＋MD＞BD； （2） 在△ CEN中, CN＋NE＞CE； （3） 由（ 1）＋（ 2）＋（ 3）得： AM ＋AN＋MB＋ MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋ CE ∴AB＋AC＞BD＋ DE＋EC BMDAENBGAFCED图 11C图 12（法二：）如图 1-2 , 延长 BD交 AC 于 F,延长 CE交 BF 于 G, 在△ ABF和△ GFC和△ GDE中有： AB ＋AF＞ BD＋DG＋GF （三角形两边之和大于第三边） （ 1） GF ＋FC＞ GE＋CE（同上）⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ （ 2） DG ＋GE＞ DE（同上）⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ （ 3） 由（ 1）＋（ 2）＋（ 3）得： AB ＋AF＋ GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋ GE＋CE＋DE ∴AB＋AC＞BD＋ DE＋EC；二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时, 可连接两点或延长某边, 构造三角形, 使求证的大角在某个三角形的外角的位置上, 小角处于 这个三角形的内角位置上,再利用外角定理：例如：如图2-1 ：已知 D为△ ABC内的任一点,求证：∠BDC＞∠ BAC；分析： 由于∠ BDC与∠ BAC不在同一个三角形中,没有直接的联系,可适当添加辅助线构造新的三角形,使∠BDC处于在外角的位置,∠BACBGAEC处于在内角的位置；证法一 ：延长 BD交 AC于点 E,这时∠ BDC是△ EDC的D外角,∴∠ BDC＞∠ DEC,同理∠ DEC＞∠ BAC,∴∠ BDC＞∠ BAC 证法二：连接AD,并延长交BC于 F F 图 21∵∠ BDF是△ ABD的外角∴∠ BDF＞∠ BAD,同理,∠ CDF＞∠ CAD ∴∠ BDF＋∠ CDF＞∠ BAD＋∠ CAD 即：∠ BDC＞∠ BAC； 留意：利用三角形外角定理证明不等关系时, 通常将大角放在某三角形的外角位置 上,小角放在这个三角形的内角位置上,再利用不等式性质证明；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 8 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载三、有角平分线时,通常在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形,如：例如：如图3-1 ：已知AD为△ ABC的中线,且∠ 1＝∠ 2, ∠3＝∠ 4, 求证： BE＋CF＞EF；分析：要证 BE＋ CF＞EF ,可利用三角形三边关系定理证明,须把 BE,CF,EF 移到同一个三角形中, 而由已知∠ 1＝∠ 2,∠3＝∠ 4,可在角的两边截取相等的线段, 利用三角形全等对应边相等,把 EN,FN,EF移到同一个三角形中； A证明： 在 DA上截取 DN＝DB,连接 NE,NF,就 DN＝DC,在△ DBE和△ DNE中：BENFCDNDB〔帮助线的作法〕∵12 〔 已知〕1 2 34EDED〔公共边〕∴△ DBE≌△ DNE （SAS）D∴BE＝NE（全等三角形对应边相等）图 31同理可得： CF＝NF 在△ EFN中 EN＋FN＞EF（三角形两边之和大于第三边）∴BE＋CF＞ EF；留意：当证题有角平分线时,常可考虑在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形,然后用全等三角形的性质得到对应元素相等；四、有以线段中点为端点的线段时,常延长加倍此线段,构造全等三角形；例如：如图 4-1 ：AD为△ ABC的中线,且∠ 1＝∠ 2,∠ 3＝∠ 4,求证： BE＋CF＞EF 证明 ：延长 ED至 M,使 DM=DE,连接CM,MF；在△ BDE和△ CDM中, ABD CD 〔 中点的定义 〕∵ 1 CDM 〔 对顶角相等 〕ED MD 〔 帮助线的作法 〕 E F∴ △ BDE≌△ CDM （SAS）又∵ ∠1＝∠ 2,∠ 3＝∠ 4 （已知） 1 2 34 C∠1＋∠ 2＋∠ 3＋∠ 4＝180° （ 平角的定义 ） B D∴ ∠3＋∠ 2=90°即：∠EDF＝90°∴ ∠FDM＝∠ EDF ＝90°〕图41M在△ EDF和△ MDF中EDMD〔帮助线的作法∵EDFFDM〔 已证〕DFDF〔 公共边〕∴△ EDF≌△ MDF （SAS）∴EF＝MF （全等三角形对应边相等）∵在△ CMF中, CF＋CM＞MF（三角形两边之和大于第三边）∴BE＋CF＞ EF注：上题也可加倍 FD,证法同上；留意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时,可通过延长加倍此线段,构造全等三角形,使题中分散的条件集中；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 8 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载五、有三角形中线时,常延长加倍中线,构造全等三角形；例如：如图5-1 ：AD为 △ ABC的中线,求证：AB＋AC＞2AD；AB＋AC 而由 2AD分析：要证AB＋AC＞2AD,由图想到： AB＋BD＞AD,AC＋CD＞AD,所以有＋ BD＋CD＞AD＋AD＝2AD,左边比要证结论多BD＋CD,故不能直接证出此题,想到要构造2AD,即加倍中线,把所要证的线段转移到同一个三角形中去；证明： 延长 AD至 E,使 DE=AD,连接 BE,就 AE＝2AD A∵AD为△ ABC的中线（已知）∴BD＝CD （中线定义）在△ ACD和△ EBD中BDCD〔 已证〕〕BDCADCEDB〔 对顶角相等ADED〔帮助线的作法〕∴△ ACD≌△ EBD （SAS）∴BE＝CA（全等三角形对应边相等）E1∵在△ABE中有： AB＋ BE＞AE（三角形两边之和大于第三边）图 5∴AB＋AC＞ 2AD；（常延长中线加倍,构造全等三角形）练习：已知△ABC,AD是 BC边上的中线,分别以ABEAF边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形,如图 5-2 ,求证 EF＝2AD；六、截长补短法作帮助线；例如：已知如图6-1 ：在△ ABC中, AB＞AC,∠ 1＝∠2,P为 AD上任一点；求证： AB－AC＞ PB－PC； 分析：要证： AB－ AC＞PB－PC,想到利用三角形三边 关系定理证之,由于欲证的是线段之差,故用两边之差小BDC图52于第三边,从而想到构造第三边AB－AC,故可在AB上截取 AN等于 AC,得 AB－AC＝BN, 再连接 PN,就 PC＝ PN,又在△PNB中, PB－PN＜BN,即： AB－AC＞ PB－PC；证明：（截长法）在 AB上截取 AN＝ AC连接 PN , ∵ANAC〔 帮助线的作法〕12〔 已知〕APAP〔公共边〕∴△ APN≌△ APC （SAS）∴PC＝PN （全等三角形对应边相等）在△ APN和△ APC中∵在△ BPN中,有 PB－PN＜BN （三角形两边之差小于第三边）∴BP－PC＜AB－AC 证明：（补短法）延长 AC至 M,使 AM＝AB,连接 PM,BNA1C在△ ABP和△ AMP中1 2ABAM〔 帮助线的作法〕∵12 〔 已知〕PAPAP〔 公共边〕D细心整理归纳 精选学习资料 图6M 第 3 页,共 8 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载∴△ ABP≌△ AMP （SAS）∴PB＝ PM （全等三角形对应边相等）又∵在△PCM中有： CM＞PM－PC〔三角形两边之差小于第三边〕 ∴AB－ AC＞PB－PC；七、延长已知边构造三角形：例如：如图 7-1 ：已知 AC＝BD, AD⊥AC于 A ,BC⊥BD于 B, 求证： AD＝BC 分析：欲证 AD＝BC,先证分别含有 AD,BC的三角形全等,有几种方案：△ ADC与△BCD,△ AOD与△ BOC,△ ABD与△ BAC,但依据现有条件,均无法证全等,差角的相等,因此可设法作出新的角,且让此角作为两个三角形的公共角；证明 ：分别延长DA,CB,它们的延长交于E 点,E∵AD⊥AC BC ⊥BD （已知）∴∠ CAE＝∠ DBE ＝90°（垂直的定义）在△ DBE与△ CAE中EE〔公共角〕AOB∵DBECAE〔 已证〕BDAC〔 已知〕∴△ DBE≌△ CAE （ AAS）∴ED＝EC EB＝EA （全等三角形对应边相等）∴ED－EA＝EC－EB 即： AD＝BC；D图71C（当条件不足时,可通过添加帮助线得出新的条件,为证题制造条件；）八 、连接四边形的对角线,把四边形的问题转化成为三角形来解决；例如：如图8-1 ：AB∥ CD,AD∥ BC 求证： AB=CD；分析：图为四边形,我们只学了三角形的有关学问,必需把它转化为三角形来解决；证明 ：连接 AC（或 BD）∵AB∥ CD AD∥ BC （已知）∴∠ 1＝∠ 2,∠ 3＝∠ 4 （两直线平行,内错角相等）在△ ABC与△。