新北师大版九年级数学下册《与“将军饮马”有关的三角形周长最小问题》教案_8.doc

线段和最小问题 教学设计课题与将车饮马有关的二角形周长最小问题教学目标1、 掌握将军饮马问题的解法以及所用的数学原理一两点之 间线段最短2、 经历探索三角形周长最小问题的思路方法， 进一步培养 学生用对称的思想把问题转化为两点之间线段最短，让学生 体会转化的思想3、 由将军饮马问题引入，激发学生学习兴趣，培养学生合 作的团队精神•体会数学与现实生活的紧密联系教学重点探索三角形周长最小问题如何解决教学难点三角形的周长即三边的和如何转化为两点之间线段最短教学方法启发引导、合作探究教学工具2、多媒体课件、三角板、圆规、投影仪.教学步骤教师活动学生活动设计意图引入：传说亚历山大城有一位精通数学和物理的 学者，名叫海伦•一天，一位罗马将军专程去 拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题： 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后 再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使 路程最短？从此，这个被称为 将军饮马”的问题广泛 流传.问题一：你能帮将军解决这个问题吗？如何证明你的是最短路线？这么做的根本原因是？引导学生 了解历史 上将军饮 马问题，提问：如何 解决？为 什么最短？思考将军饮马 问题怎么做？ 学生自己动手 画图为什么是最短 的？用将军饮马 的数学史知 识引入，在 初三复习阶 段，让学生 再一次感受 数学来源于 生活、应用 于实践的作B■A«1用，同时提 高学习兴 趣，激发学 生的求知 欲。

事实上学生问题二：如图：四边形ABCD中BAD=120 B= D=90, AB=1, AD=2,在BC CD上分别找一点 M N,使得△ AMN勺周引导学生 思考：将军 饮马问题 是一个动 点、两个确 定的点，此 冋题是两 个动点，一四人一组积极 讨论，这个问 题与将军饮马 到底有什么相 似的地方？ 由于A是定已经很熟悉 将军饮马问 题了，但要 让学生理解 这么做根本 原因是通过 对称将两个 点转化为异 侧，利用两 点之间线段 最短设计意图： 此题已经是 求三角形周 长最小问题 了，由于A 是确定的，个确定的点A,应当点，所以作点所以作A的如何转Z|z -xA的对称点，对称点，并化？由于有两个垂且A的对称引导学生直，所以作点点也是确定讨论，学生A关于BC和CD的，这样一来讲的对称点A1个转化的思和A2,从而转想对学生来化为两点之间说不是很线段最短再难，并且为利用120°的后边2018年补角以及两条中考题铺线段长度求出垫，两动一最短距离定比三动简A1A2的长单一些，学问题三：如图，在 ABC 中，A 45 , B 60 , AB=4,P是BC边上的动点（不与B, C重合），点P关 于直线AB AC的对称点分别为M N,则线段 MN勺最小值是 。

中考链接（2018年中考25题（3））:如图所示，AB AC BC是某新区的三条规 划路其中，A吐 6km AC= 3km / BAC= 60°， BC所对的圆心角为60°.新区管委会想在BC 路边建物资总站点P,在AB AC路边分别建物 资分站点E、F.也就是，分别在弧BC线段AB会作对称， 符合初三学 生的认知规 律引导学生学生思考：此设计意图：思考：对称的思想学题已经对称此题的设计生已经掌了，那么对称是在学生已握，深刻理解对称的后的性质是：经会作对称性质有哪对应边相等、的基础上进些？对应角相等，行，作完对所以会连接称把三角形AP AM AN周长转化为并且这三条线线段的长，段相等，利用此题利用对45°的二倍是称的性质：90°,从而将对应边、对MN用 AP表示应角相等才出来，要求出转化为MN的最小值 只需要求AP 的最小值，利 用垂线段最短 可求解42 ap,再求 出AP的最小 值这个问 题旨在利用 对称的性质 计算线段的 长引导学生首先独立思设计意图：审题，画出考，然后小组之前的问题关键词、关都在为此提键条件；引讨论1.三角导先冷静形周长最小问铺垫，根据和AC上选取点P、E、F.由于总站工作人员每 天要将物资在各物资站点间按 P- E- F- P的 路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规 划道路PE EF和FP.为了快捷环保和节约成 本要使得线段PE EF、FP之和最短，试求PE + EF+ FP的最小值（各物资站点与所在道路之 间的距离、路宽均忽略不计）•思考在动 笔画图计 算。

让学生 来讲解，教 师只是引 导题，假设P定, 利用之前的知 识作P关于AB AC的对称 点P1、P2,转 化为求两点之间的最短距离P1P2 2.利用对称性质得到P1P2=3 AP只要求出AP 的最小值即 可；3利用圆 外一点到圆上 各点连接的线 段中，过圆心 的线可取最大 与最小值，从 而的到AP最 小值为）OA-r;4求OA和r, 证明三角形 ABC为直角三 角形，求出 BC=r,再求 OA求AP,求 的P1P2整个 过程由学生来 说方法初中生的认 知规律，由 简到难，层 层加深难 度，学生通 过合作探究 基本可以走 完前两步， 第3步穿心 线的思想在 圆的复习中 学生以及突 破，最后的 计算，只要 有大胆猜测 小心求证的 想法就能做 出来，教师 稍加引导就 可解决小结：学生自主讨论总结自己的收获引导学生自主总结收牯松 获：关键是数设计意图：学生刚刚完作业：尝试自己编一个求三角形周长最小问题学思想成2018年最 难的25题一 定有很多收 获，比如： 周长最小问 题转化为线 段最小，穿 心线等等设计意图： 应用本节课 所学，自己 编一道数学 比较难的三 角形周长最 小的题，学 生兴趣浓 厚，同时也 是对本节课 知识的总结 和应用。

教学反思：这节课师生教与学活动是建立在学生的认知发展水平和已有的经验基础上 设计的，从将军饮马问题引入，渗透作对称的思想，紧接着设计两动一定，作两 次对称，转化为两点之间线段最短之后已经掌握对称的思想，需要分析对称的 性质会计算两点之间线段的长，为最后的中考题作了充分准备，学生再看中考题 时都有思路，只是在后边计算时需要圆中一些基础知识和教师简单的引导， 从而让学生完成中考最难的题的解答整体以学生为主体，按照初中生思维能力的发 展由浅入深，层层递进，解决了以前看来非常难的 25题另外数学史知识的引入让初三学生耳目一新，兴趣更加浓厚上完后，我发现的问题有：1.学生两极分化比较严重，大概有60%勺学生可 以在教师的引导下思维得到锻炼和发展， 但是剩下的同学比较慢一些，也许这也 跟中考25题第三问对学生思维、推理等能力要求非常高，这也和学生特点能力有关2.学生基本能够在引导下有思考、 有讨论，积极举手发言， 讨论效果比较明 显，教师应当多让学生讲、说3. 板书可以设计的再紧凑美观一些； 通过这次教学活动，我感受到中考复习时学生对于较难的题目兴趣非常浓厚， 课堂非常关注数学思想方法， 能积极思考， 当然作为教师给学生一碗水， 自己要 准备至少一桶水，要提炼出思想方法。