同济版高数练习及解答.docx

高等数学I 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. .（A） （B）（C） （D）不可导.2. . （A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B）是等价无穷小； （C）是比高阶的无穷小； （D）是比高阶的无穷小. 3. 若，其中在区间上二阶可导且，则（ ）.（A）函数必在处取得极大值；（B）函数必在处取得极小值；（C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点；（D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点4.（A） （B）（C） （D）.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. .6. .7. .8. .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数由方程确定，求以及.10.11.12. 设函数连续，，且，为常数. 求并讨论在处的连续性.13. 求微分方程满足的解. 四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x 轴围成平面图形D.(1) 求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，.17. 设函数在上连续，且，.证明：在内至少存在两个不同的点，使（提示：设）高数I解答 一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. . 6..7. . 8..三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 解：方程两边求导 ，10. 解：11. 解：12. 解：由，知。

，在处连续13. 解： ，四、 解答题（本大题10分）14. 解：由已知且， 将此方程关于求导得 特征方程： 解出特征根：其通解为 代入初始条件，得 故所求曲线方程为：五、解答题（本大题10分）15. 解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程：由于切线过原点，解出，从而切线方程为：则平面图形面积（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）16. 证明：故有： 证毕17.证：构造辅助函数：其满足在上连续，在上可导且由题设，有，有，由积分中值定理，存在，使即综上可知.在区间上分别应用罗尔定理，知存在和，使及，即. 高数II试题一、选择题（每题4分，共16分）1．函数在(0, 0)点 .(A) 连续，且偏导函数都存在； (B) 不连续，但偏导函数都存在；(C) 不连续，且偏导函数都不存在； (D) 连续，且偏导函数都不存在。

2．设为可微函数，，则 ()． ()．； ()． ； ()． 3．设在上连续，则二重积分表示成极坐标系下的二次积分的形式为 )．； ()．；()．；()．4．幂级数在处条件收敛，则幂级数的收敛半径为 )．； ()．；()．； ()．二、填空题（每题4分，共20分）1． 设函数，则函数的全微分 2． 函数在点处沿方向的方向导数为 ，其中O为坐标原点3． 曲面在点（1，2，0）处的切平面方程为 4． 曲线积分（其中是圆周：）的值为 5． 设的正弦级数展开式为，设和函数为，则 , .三、计算题（每题7分，共21分）1．求方程的通解2．交换二次积分的积分顺序3．计算曲面积分，其中为锥面四（9分）设函数，其中具有二阶连续偏导数，求 五、（10分）确定的值，使曲线积分与路径无关，并求分别为，时曲线积分的值六、（10分）化三重积分为柱面坐标及球面坐标系下的三次积分，其中是由和，所围成的闭区域七、（10分）求，其中∑为锥面的外侧。

八、（4分）设在点的某一邻域内具有二阶连续导数，且，证明级数绝对收敛高数II解答一、选择题（每题4分，共16分）B C D B1．函数在(0, 0)点 B .(A) 连续，且偏导函数都存在； (B) 不连续，但偏导函数都存在；(C) 不连续，且偏导函数都不存在； (D) 连续，且偏导函数都不存在2．设为可微函数，，则 C ()． ()．； ()． ； ()． 3．设在上连续，则二重积分表示成极坐标系下的二次积分的形式为 D )．； ()．；()．；()．4．幂级数在处条件收敛，则幂级数的收敛半径为 B )．； ()．；()．； ()．二、填空题（每题4分，共20分）1． 设函数，则函数的全微分2． 函数在点处沿方向的方向导数为，其中O为坐标原点3． 曲面在点（1，2，0）处的切平面方程为4． 曲线积分（其中是圆周：）的值为5． 设的正弦级数展开式为，设和函数为，则 ，三、计算题（每题7分，共21分）1．求方程的通解解：特征方程为，则特征根为，因此齐次方程通解为 设非齐次一个特解为，代入方程得得， 故方程的通解为2．交换二次积分的积分顺序。

解：= 3．计算曲面积分，其中为锥面解： 四（9分）设函数，其中具有二阶连续偏导数，求解： 五、（10分）确定的值，使曲线积分与路径无关，并求分别为，时曲线积分的值解：，故 欲使曲线积分与路径无关只需 得 六、（10分）化三重积分为柱面坐标及球面坐标系下的三次积分，其中是由和，所围成的闭区域解： 七、（10分）求，其中∑为锥面的外侧 解：作曲面，朝上，则 由，朝上有故 八、（4分）设在点的某一邻域内具有二阶连续导数，且，证明级数绝对收敛证明：因为在点的某一邻域内具有二阶连续导数，故则，故，又收敛故由正项级数的比较法的极限形式得收敛，即绝对收敛高等数学II（A卷）096 一、 单项选择题（每小题4分，共16分）．1． 微分方程，其特解设法正确的是 （ ）． （A）； （B）； （C）； （D）2． 设空间区域；，则 ( ) ． （A）； （B）； （C）； （D）3． 设，且收敛，，则级数（ ）．（A）条件收敛； （B）绝对收敛； （C）发散； （D）收敛性与有关。

4． 设二元函数满足，则（ ）． （A）在点连续； （B）；（C），其中为的方向余弦； （D）在点沿x轴负方向的方向导数为．二、 填空题（每小题4分，共16分）．5. 设函数，则= ．6. 曲面被柱面所割下部分的面积为 ．7. 设，而，其中则 ， ．8. 幂级数的收敛域为 ．三、 解答下列各题（每小题7分，共28分）．9. 设是由方程确定的隐函数，可微,计算． 在曲面上求一点，使该点处的法线垂直于平面．10. 将函数展开为的幂级数．11. 计算，是由曲面及所围成的闭区域．四、 解答下列各题（每小题10分，共30分）12. （10分）设具有二阶连续导数，，曲线积分与路径无关．求．13. （10分）计算积分，其中为圆周（按逆时针方向）．14. （10分）计算，其中为锥面被所截部分的外侧． 五、 综合题（每小题5分，共10分）15. 在椭球面上求一点，使函数在该点沿方向的方向导数最大，并求出最大值． 证明：设是单调递增的有界正数列，判断级数是否收敛，并证明你的结论．高等数学II（解答）096 四、 单项选择题（每小题4分，共16分）．B C B D 五、 填空题（每小题4分，共16分）．1 ； ； 0 ； [1，3]六、 解答下列各题（每小题7分，共28分）．9. ． 解：， 10.解：令，则在点的法向量为，平面的法向量为。

得，又得，故满足题意的点为（-3，-1，3）11.解： 12. 计算，是由曲面及所围成的闭区域．解：=解答下列各题（每小题10分，共30分）13. （10分）解： ， 的通解为设特解，代入得的通解为14. （10分）解（1）故当时，在所围的区域内有连续偏导，满足格林公式条件2）当时，构造曲线（取得足够小保证含在所围区域）方向为逆时针，即故即15. （10分）解 : 五、 综合题（每小题5分，共10分）16. 解： 问题变为求在下的最大值点 解得，求得点沿的方向导数最大值．17.解：为正项级数 设，则，故收敛．高等数学I一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. 当时，都是无穷小，则当时（ ）不一定是无穷小. (A) (B) (C) (D) 2. 极限的值是（ ）.（A） 1 （B） e （C） （D） 3. 在处连续，则a =（ ）.（A） （B） （C） （D） 4. 设在点处可导，那么（ ）.（A） （B） (C) （D） 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. 极限的值是 .6. 由确定函数y(。