数学悖论对数学发展的影-结课论.docx

2014~2015学年秋季学期“温故而知‘芯’——初等数学再回首”课程论文 题 目： 数学悖论对数学发展的影响学 号： 13123131 姓 名： 武泽奎 评 分： 完成日期： 2015 年 01 月 15 日数学悖论对数学发展的影响姓名：武泽奎 学号：13123131 学院：材料学院摘要：从悖论的产生背景和定义出发，得出数学悖论是由矛盾引起的数学悖论对数学发展的影响是深刻的、巨大的因而研究悖论的定义、悖论的产生背景、解决方案以及对数学发展的影响也就是非常必要的分析了数学悖论的历史和发展，得出数学悖论既引起了著名的三次数学危机，又推动数学的各个分支不断向前发展，并提出研究和解决悖论问题，不但可以丰富数学理论，还可以创造出新的科学观点，促进数学的研究和推动数学的发展可见数学中悖论的产生，不单是给数学带来危机和失望，也给数学的发展带来新的生机和希望从而说明数学悖论的出现，会引导人们向未知领域进行探索，促进数学的繁荣和发展，具有重要的历史意义。

关键词：悖论；三次数学危机；矛盾；创造；数学发展 一．悖论的产生背景及定义早在两千多年前的古希腊，人们就发现了让人难以解释的矛盾，用正确的方法去证明一个命题，如果认为这个命题成立，就会发现它的否定命题也成立相反的，如果认为这个命题的否定命题成立，又会发现这个命题成立这便使人们产生里难以解释的困惑随着时光的流逝，越来越多这样的问题被人们发现，于是，悖论就诞生了但严格意义下的悖论是在19世纪末、20纪初的数学家在研究数学基础过程中发现的当集合论成为数学的基础之后，随着人类对无穷集合认识的不断深入，就产生了许多悖论1897年意大利数学家布拉里—弗蒂(Buraliforti，1861-1931)在超穷序数理论中发现了第一个悖论，接着，集合论的创始人康托尔(cantor，1845-1918)于1899年在基数理论中又发现了另一个悖论，1902年罗素(Russell，1872-1970)在集合论概括原则的基础上又引出著名的“罗素悖论”1918年，罗素在此基础上又提出一种通俗形式的悖论，即“理发师悖论”由于一连串悖论的出现，使得许多科学家、数学家忧心忡忡那么，究竟什么是悖论呢？对此，当前流行的说法是：“悖论是一种导致逻辑矛盾的命题。

这种命题，如果承认它是真的，那么它又是假的，如果承认它是假的，那么它又是真的又如“一个命题构成一个悖论，如果由它的真可以推出它的假，而由它的假又可以推出它的真诸如此类的定义法，有它合理的一面，又有不够全面的一面本文认为，在研究悖论的准确定义时，以下几点必须加以明确：1． 任何悖论总是相对于一定的理论系统而言的例如，罗素悖论和说谎者悖论，就是分别相对于朴素集合论和真理性理论而言的2．悖论的最终表现总是体现为一定逻辑矛盾的揭示这里所说的“逻辑矛盾”包括两种情况：一种是借助于语义学上的概念(真、假)而构成的，称为“语义学悖论”；另一种是借助于数学和逻辑符号得到的，称之为“逻辑- 数学悖论”例如：古代的说谎者悖论，现代集合论中的理查德(J.Richard,1862-1956) 悖论、格里林(kart Cirelling,1886-1941)悖论等就属于第一类型的悖论；而康托尔悖论、罗素悖论就属于第二类型的悖论3．对于悖论，不能仅从字面上把它理解为“悖理”或“诡辩”因为悖论与诡辩有含义上的不同后者不仅从公认的理论明显看出是错误的，而且通过已有的理论逻辑可以论述其错误的原因，而前者虽感到其是不妥的，却不能阐明其错误的原因。

我们认为，布拉里—弗蒂与希尔伯特(Hibert,1862-1943)关于悖论的陈述是精确的，如果某一理论的公理和推理规则看上去是合理的，但在这个理论中推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复合命题，它表现为两个矛盾命题的等价式，那么，我们就说这个理论包含一个悖论数学悖论也叫逆论或反论，他包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论这些结论会让你无比的惊讶：他们有的看起来肯定错了，但实际上却是对的；有的看起来是对的，但实际却是错的；还有的会让你陷入对也不是、错也不是的困境数学悖论的出现，开始引起一些人们的好奇与思考，以后逐步发展为对某些数学基础的动摇，由于萌发了其内部的矛盾，进而引起人们的争辩历史上人们对于数学危机的一次又一次解决或克服，往往给数学带来了新的内容，甚至引起革命性的变革二．数学史上三次重要悖论1.毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机在公元前6 世纪，古希腊有一个著名学派叫毕达哥拉斯学派，他们认为“万物皆数”，所谓数就是指整数，他们确定数学的目的是企图通过揭示数的奥秘来探索宇宙的永恒真理，信条是：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比，即世界上只存在着整数与分数，除此之外，他们不认识也不承认有别的数。

在那个时期，上述思想是绝对权威、是“真理”，后来这个学派发现了一个毕达哥拉斯定理（勾股定理）：即任何直角三角形的两直角边a，b和斜边c都满足：他们认为这是一件了不起的事，并宰了一百头牛来庆祝，然而，具有戏剧性的是，由毕达哥拉斯建立的这一定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了这样一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生小小的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。

更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”也就是著名的“毕达哥拉斯悖论”第一次数学危机出现后，古希腊人陷入了“失乐园”后的彷徨之中为了摆脱危机，当时的学者作了种种努力在这方面贡献最大的是柏拉图、欧多克索斯、欧几里得在大约公元前370年，这个矛盾被希腊数学家欧多克索斯等给出两个比相等的新定义作出处理，当然从理论上彻底克服这一危机还有待于实数理论的建立欧几里得则在柏拉图、欧多克索斯、亚里士多德等人工作的基础上,总结了以前全部几何学知识，建立起第一个几何公理系统并编写出《几何原本》一书这无疑是数学思想上的一次巨大革命，古典逻辑与欧氏几何就是第一次危机的产物第一次数学危机后承认除了整数和分数外还存在另外的数由于对这种“怪数”的接受很不情愿，于是就给它起了难听的名字—无理数不可通约量(即无理数)的发现引起人们思想上的困惑甚至直到十九世纪，无理数也没有一个名正言顺的地位，但随着分析学的飞速发展，它(或整个实数理论)已不得不被人们摆在前台，到十九世纪下半叶，数学分析的进一步发展需要有逻辑严谨的实数理论作为其基础，于是两种实数理论几乎在同一时期产生了，这两种实数理论分别是由戴德金与康托尔建立的，它有一个共同点，即都是将实数定义为有理数的某些类型的“集合”。

戴德金方法可以称为序完备化方法，康托尔方法可以称为度量完备化方法这些方法在近现代数学中都已成为典型的构造方法，被后人不断推广发展成为数学理论中的有力工具第一次数学危机也随之化解这一危机的化解，使“数”真正具有了表达一切量的可能，不仅是无理数，还使数的概念不断扩大和发展复数、四元数、超限数、理想数、非标准数等各种各样的数都被创造出来了第一次数学危机持续了两千多年 1872年,数学家戴德金通过他的“戴德金分割”从有理数扩展到实数，建立起无理数理论十分有趣的是，在同一年，维尔斯特拉斯通过有界单调序列理论、康托尔通过有理数序列理论完成了同一目标：他们都从有理数出发定义出无理数，从而建立起了实数理论实数的这三大派理论，从不同方面深刻揭示了无理数的本质实数域的构造成功，使得2000多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平，无理数不再是“无理的数”了直到此时，我们才可以说由毕达哥拉斯悖论引发的第一次数学危机圆满而彻底地解决了！经过第一次数学危机的洗礼，希腊人不得不承认：直觉、经验乃至实验都不是绝对可靠的（如用任何实验都只能得出一切量均可用有理数表示这个结果），推理论证才是可靠的，证明的思想在希腊人的心中扎下了根。

进一步，古希腊人发展了逻辑思想并加深了对数学抽象性、理想化等本质特征的认识第一次数学危机的影响是巨大的首先，它推动了数学及其相关学科的发展例如,欧几里得几何就是在第一次数学危机中产生的其次，虽然第一次数学危机在一定程度上引起了数学思想上的混乱，但数学并没有在危机面前停滞，反而在克服危机的过程中产生了逻辑学和公理几何学，取得了重大发展总而言之，第一次数学危机的结果是产生了无理数概念的重大飞跃，使人们对实数有了完整的认识，同时，这也为后来欧几里得、阿基米德等人在数学上的杰出成就，直至牛顿、莱布尼兹创建微积分奠定了数的基础2. 贝克莱悖论与第二次数学危机17 、18世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为“第二次数学危机”这次危机的萌芽是大约公元前450年，埃利亚数学家芝诺(Zeno)注意到由于对无限的理解问题而产生的矛盾，提出了时空的有限与无限的四个悖论：1．二分法悖论“运动不存在”, 理由是：任何一个物体要想由A点运动到B点，必须首先到达AB的中点C，随后需要到达CB的中点D，再随后到达DB的中点E，依次类推如此进行下去, 永无止境, 所以物体永远也到不了终点B不仅如此，换一种角度思考这个悖论，我们会得出，运动是不可能发生的，或者说这种旅行连开始都很困难。

因为在进行后半段路程之前，必须先完成前半段的路程，而在此之前又必须先完成前1/4的路程，等等因此得到结论：物体运动是不可能的！中国古代哲学家惠施(公无前370 年—前310年)也提出过类似的悖论有些在《庄子》一书的“天下篇”中有记载如惠施的“飞鸟悖论”这样说：“飞鸟之景，未尝动也”，这同芝诺的“飞箭悖论”如出一辙而惠施的另一句名言：“一尺之捶，日取其半，万世不竭”同芝诺的二分悖论也很相像2．阿基里斯追龟悖论阿基里斯，荷马史诗《伊里亚特》中的神行太保，以善跑著称这个悖论说：如果让跑得极慢的乌龟先行一段路程，那么阿基里斯将永远追不上乌龟芝诺的论证如下：乌龟先行了一段距离，阿基里斯要追上在前面爬行的乌龟，必须先到达乌龟的出发点A， 但当阿基里斯到达A时，此时乌龟又爬了一段距离到达B，而当阿基里斯到达B时，乌龟又到达B的前面C点……如此类推，两者的距离越来越近，但阿基里斯永远落在乌龟的后面追不上乌龟3．飞矢不动悖论芝诺的论证是：任何一个东西呆在一个地方那不叫运动，可是飞动着的箭在任何一个时刻不也呆在一个地方吗？既然飞矢在任何一个时刻都呆在同一个地方，那么飞矢当然是不动的4．操场悖论设有A 、B 、C 三列队伍，若在最小单位时间内，B 往左移动一位，C往右移动一位，于是对于B(或C)而言，C(或B)就移动了两位。

因此必有一个使B与C相对移动一位的更小的时间单位，这与假设矛盾相对运动的起点　　相对运动的终。