高等数学向量代数与空间解析几何总结.ppt

一、主要内容一、主要内容（一）向量代数（一）向量代数（二）空间解析几何（二）空间解析几何空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数习习 题题 课课向量的向量的线性运算线性运算向量的向量的表示法表示法向量积向量积数量积数量积向量的积向量的积向量概念向量概念（一）向量代数（一）向量代数1 1、向量的概念、向量的概念定义定义:既有大小又有方向的量称为向量既有大小又有方向的量称为向量.自由向量、自由向量、 相等向量、相等向量、 负向量、负向量、向径向径.重要概念重要概念:零向量、零向量、向量的模、向量的模、单位向量、单位向量、平行向量、平行向量、(1) 加法：加法：2 2、向量的线性运算、向量的线性运算(2) 减法：减法：(3) 向量与数的乘法：向量与数的乘法：向量的分解式：向量的分解式：在三个坐标轴上的分向量：在三个坐标轴上的分向量：向量的坐标表示式：向量的坐标表示式：向量的坐标：向量的坐标：3 3、向量的表示法、向量的表示法向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式4 4、数量积、数量积(点积、内积点积、内积)数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式5 5、向量积、向量积(叉积、外积叉积、外积)向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式//请归纳向量的数量积和向量积在几何中的用途（1）数量积①求向量的模：②求两向量的夹角：请归纳向量的数量积和向量积在几何中的用途（续）（1）数量积③求一个向量在另一个向量上的投影：④④两向量垂直的充要条件为两向量垂直的充要条件为请归纳向量的数量积和向量积在几何中的用途（续）（2）向量积①求与两个非共线向量a、b同时垂直的向量n,可取其中λ是某个非零的数（通常在不考虑向量模的大小时可取λ =1）；请归纳向量的数量积和向量积在几何中的用途（续）（2）向量积②②几何上几何上③③//直直 线线曲面曲面曲线曲线平平 面面参数方程参数方程旋转曲面旋转曲面柱柱 面面二次曲面二次曲面一般方程一般方程参数方程参数方程一般方程一般方程对称式方程对称式方程 点法式方程点法式方程一般方程一般方程空间直角坐标系空间直角坐标系（二）空间解析几何（二）空间解析几何横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴定点定点1 1、空间直角坐标系、空间直角坐标系空间的点空间的点有序数组有序数组空空间间直直角角坐坐标标系系共有一个原点共有一个原点,三个坐标轴三个坐标轴,三个坐标面三个坐标面,八个卦限八个卦限.它们距离为它们距离为两点间距离公式两点间距离公式:曲面方程的定义：曲面方程的定义：2 2、曲面、曲面研究空间曲面的两个基本问题：研究空间曲面的两个基本问题：（（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状.（（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程.[1] 旋转曲面旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称之一条直线旋转一周所成的曲面称之.这条定直线叫旋转曲面的这条定直线叫旋转曲面的轴轴.方程特点方程特点:（（2）圆锥面）圆锥面（（1）球面）球面（（3）旋转双曲面）旋转双曲面[2] 柱面柱面定义：定义：平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线C移动的直线移动的直线L所形成的曲面称之所形成的曲面称之.这条定曲线叫柱面的这条定曲线叫柱面的准线准线，动直线叫柱，动直线叫柱面的面的母线母线.从柱面方程看柱面的特征：从柱面方程看柱面的特征：(1) 平面平面 (3) 抛物柱面抛物柱面 (4) 椭圆柱面椭圆柱面 (2) 圆柱面圆柱面 [3] 二次曲面二次曲面定义定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.（（1）椭球面）椭球面（（2）椭圆抛物面）椭圆抛物面（（3）马鞍面）马鞍面（（4）单叶双曲面）单叶双曲面（（5）圆锥面）圆锥面3 3、空间曲线、空间曲线[1] 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程[2] 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程如图空间曲线如图空间曲线一般方程为一般方程为参数方程为参数方程为[3] 空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影消去变量消去变量z后得：后得：设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程：曲线在曲线在 面上的投影曲线为面上的投影曲线为面上的投影曲线面上的投影曲线面上的投影曲线面上的投影曲线如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面[4] 空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影空空间间立立体体曲曲面面4 4、平面、平面[1] 平面的点法式方程平面的点法式方程[2] 平面的一般方程平面的一般方程[3] 平面的截距式方平面的截距式方程程[4] 平面的夹角平面的夹角[5] 两平面位置特征：两平面位置特征：//5 5、空间直线、空间直线[1] 空间直线的一般方程空间直线的一般方程[3] 空间直线的参数方程空间直线的参数方程[2] 空间直线的对称式方程空间直线的对称式方程直线直线直线直线^两直线的夹角公式两直线的夹角公式[4] 两直线的夹角两直线的夹角[5] 两直线的位置关系：两直线的位置关系：//[6] 直线与平面的夹角直线与平面的夹角直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式[7] 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系//二、典型例题二、典型例题例例1 1解解由题设条件得由题设条件得解得解得例例2 2解解过已知直线的平面束方程为过已知直线的平面束方程为由题设知由题设知由此解得由此解得代回平面束方程为代回平面束方程为例例3 3解解将两已知直线方程化为参数方程为将两已知直线方程化为参数方程为即有即有例例4 4解解所求投影直线方程为所求投影直线方程为例例5 5解解由于高度不变由于高度不变,故所求旋转曲面方程为故所求旋转曲面方程为例例8 8、已知点、已知点A(1,2,5)A(1,2,5)，，B(-2,0,-3), C(1,-3,0)B(-2,0,-3), C(1,-3,0)，，求点求点D(4,3,0)D(4,3,0)关于平面关于平面ABCABC的对称点。

的对称点解解 ∵ ∵平面平面ABC: 2x+y-z+1=0ABC: 2x+y-z+1=0∴∴过过D D且垂直于平面的直线为且垂直于平面的直线为设对称点的坐标（设对称点的坐标（4+24+2t,3+t,-t)t,3+t,-t)，，有距离公式有距离公式t=4(t=4(舍去舍去0 0））∴∴对称点为（对称点为（-4-4，，-2-2，，4 4）例例9 9、求证两直线、求证两直线相交，并求出交点坐标及包含两直线的平面相交，并求出交点坐标及包含两直线的平面解：解：∵∵直线的标准式是直线的标准式是令：令：∴∴两直线的交点两直线的交点(1,2,-1)(1,2,-1)包含两直线的平面：包含两直线的平面：x+3y+z-6=0x+3y+z-6=0∵向量∴∴两直线相交两直线相交例例1010. .求直线求直线在平面在平面上的投影上的投影直线直线l l0 0的方程，并求的方程，并求l l0 0绕绕 y y 轴旋转一周所成曲面的方程轴旋转一周所成曲面的方程解法解法1 1 设经过设经过l l且垂直于且垂直于ππ的平面方程为的平面方程为则由条件可知则由条件可知由此解得由此解得于是于是ππ1 1的方程为的方程为从而从而l l0 0的方程为：的方程为：即即于是于是l l0 0绕绕y y轴旋转一周所成曲面的方程为轴旋转一周所成曲面的方程为( {A,B,C}⊥⊥s, n )解法解法2 2 由于直线由于直线l l的方程可写为的方程可写为所以过直线所以过直线l l的平面方程可设为的平面方程可设为即即由它与平面由它与平面ππ垂直，得垂直，得于是经过直线于是经过直线l l且垂直于且垂直于ππ的平面方程为的平面方程为从而从而l l0 0：：（（下同解法一）下同解法一）l 的方向向量为的方向向量为s={1,1, s={1,1, －－1}1}，，ππ的法线向量为的法线向量为n={1n={1，－，－1 1，，2}2}经过经过 l 且垂直于且垂直于ππ的平面的平面ππ1 1的法线向量为的法线向量为又因为又因为ππ1 1经过经过l ，，ππ1 1当然经过当然经过l l上的点（上的点（1 1，，0 0，，1 1），所以），所以 ππ1 1的方程为的方程为即即（（下同解法一）下同解法一）解法解法3 3测测 验验 题题 ‖‖‖‖。