《点集拓扑学》63Urysohn引理和Tietze扩张定理.doc

§5.3Urysohn引理和Tietze扩张定理本节重点：掌握Urysohn引理的内容(证明不要求)；掌握定理定理6.3.1［Urysohn引理］设X是一个拓扑空间，［a,b］是一个闭区间.则X是一个正规空间当且仅当对于X中任意两个无交的闭集A和B，存在一个连续映射f:X—［a,b］使得当x€A时f(x)=a和当x€B时f(x)=b.证明：由于闭区间同胚于［0,1］,因此我们只需对闭区间［0,1］的情形给以证明.充分性:设A,B是X中的两个闭集，f:X［0,1］是一个连续映射使得当xA［0,—),(,1］时，f(x)0,xB时f(x)1.由于集合22是［0,1］中两个不相交的开集，因此.1111Uf(［0-))和Vf((,1］)是X中两个不相交的开集，并且AU,BV,22因此X是一个正规空间.必要性.设X是一个正规空间，A,B是X中两个不相交的闭集，证明的主要思想是首先利用X的正规性在X中构造一个以［0,1］中的有理数为指标集的一个开集族,然后利用这个开集族定义连续映射f:X［0,1］,使得xA时,f(x)0,xB时f(x)1.第一步，设Q1是［0,1］中的全体有理数集合，对rQ1我们将定义一个与它相对应的开集Ur,使得当r,qQ1,rq时,AUqXB,这样,开集族{Ur|rQJ在包含关系下是一个有序集，而且随着开集Ur的指标r的增大所对应的开集也就越大.由于Q1是可数集合，我们应用归纳的方式来定义开集族{Ur|rQ1}.先将Q1排列成一个无限序列，即建立一一映射g:ZQ1,为了方便，不失一般性，设g(1)1和g(2)0是这个序列的前两个元素.首先,AXB，令U1XB.又由于X是一个正规空间，由定理VAVVXBU。

V,假设对于n2,集族{5,5,5(3),从⑺}已有定义，而且当g(i)g(j)时AUg(i)Ug(i)Ug(j)XB,对于9(HQ1,由于集合{g(i)|1in,g(i)g(n1)}是一个有限集，而且有g(2)0{g(i)|1in,g(i)g(n1)},故这个集合必有最大元，设pmax{g(i)|1in,g(i)g(n1)},又集合{g(i)|1in,g(i)g(n1)}是一个有限集合，而且g(1)1{g(i)11in,g(i)g(n1)},令qmin{g(i)|1in,g(i)g(n1)}.由归纳假设知一定有AUpUpUqXB.由于UpUq,由定理XVUpVVUqUg(n1)V,则集族{Ug(1),Ug(2),,Ug(n),Ug(n1)}也满足:当g(i)g(j)时，AUg(i)Ug(i)Ug(j)XB.这是因为对g(i)g(j):① 若i,j{1,2,,n}时,由归纳假设知包含关系成立.② 若in1时,由于g(n1)g(j),则必有g(j)q.即g(j)min{g(i)|1in,g(n1)g(i)},因此由g(n1)的定义及归纳假设有AUg(n1)VVUg(j)XB.③ 若jn1,贝Ug(i)g(n1),贝U必有g(i)p,即g(i)max{g(i)|1in,g(i)g(n1)}.因此由g(n1)定义及归纳假设有AUg("Ug(0VUgj)XB.(在包含关系的意义下).下面,我们令Q1「1121{1,0,,,,125J3JJ4J}来说明上面的归纳定义集族23345555{Ur|rQ1}的过程.在定义了U1XB,U0之后，疋义U1于U°,U1之间使之满足2因此由归纳原理我们构造了集族{Ur|rQ1}满足条件：对p,qQ1,AUpUpUqXB,而且随着指标r的增加，Ur也随着增大U0U1U1U1,再定义U1于U°,U1之间，使之满足U0U1U1U1.接着定223P予予P__1义U2于U1,U1之间使之满足U1U2U2U1,对于r-,由于322737341112max{C}-min{-,-,-,1},定义U°55U丄，…至第九步我们定义5,由于4323zzm号1112132__ma©,-厂厂}mir{-,厂,1},因此使U2满足U1u?H6,….如图5435243事32?第二步，将第一步定义的集族{UrlrQJ中的指标集扩张成实数空间R中的有理数Q,具体作法是令UpP0这样,易验证开集族{Ur|rQ}满足：当PXp1pq时,UpU；Uq.第三步对xX,定义Q(x){r|xUr},即Q(x)由所有包含x的开集Ur的下标构成.则对任意rQ(x)，必有r0,(这是因为r0时,U「二，因此/Ur),且对于r1,必有rQ(x),(因为r1时,Ur=X，因此xUr),因此Q(x)有下界，从而Q(x)有下确界,且下确界必属于[0,1],定义：第四步，验证第三步中定义的映射f就是满足要求的映射.(1) 设xA,则对rQ,r0,均有xAUr,因此Q(x){r|r0},从而f(x)infQ(x)0.设xB,由定义有U1XB,且r1时,UrU1,因此对于任意rQ若x必有UrX,因此必有r1,因此Q(x){r|r1},从而f(x)infQ(x)1.(2) 先证下面两个结论：(a)xUrf(x)r,(b)x—Urf(x)r.如果xUr,由集族{Ur|rq定义有对任意sr,xUs,因此Q(x){p|xUp}{s|sr},从而如果X—Ur,则对任意sr,X—Us,因此Q(x){p|xUp}{s|sr},从而(3) 证明f:X[0,1]是一个连续映射.设X。

X,(c,d)是一个含有f(x)的R中的开区间，我们只需证明存在X的邻域U使得f(U)(c,d).为此，取有理数p(c,f(xo)),q(f(xo),d).令UUqUp,(见图① U是一个开集，这是因为UUqUp=UqUp.② xoU,这是因为f(x)q,且f(x)q,由第三步易见xUq,怡一Up,因此xUqUp.③ f(U)(c,d),这是因为对xUUqUp,则xUqUq,因此f(x)q，又x—Up,因此x—Up,从而f(x)p,从而f(x)[p,q](c,d)(见图，从而由习题§fUrysohn引理说明对于正规空间中的任何两个不相交的闭集，存在连续映射f：X[0,1]使得f(A){0},f(B){1},也就是说A,B可用一个连续函数分离，回想一下正则空间的定义，我们会有这样一个思考:Urysohn引理可推广到正则空间中去吗？即就是说对于正则空间中的点x及其中不包含x的闭集F,是否一定存在连续映射f：X[0,1]使得f(x)0,f(F)1.由定理U,XF,U0xVVXFV,这和Urysohn定理的证明是一致的，但要5(或对2于除0,1之外的一个有理数p)满足条件U0U,5U1,只有x的正则性22显然是不可能的.为此,将正则空间中的点与不含此点的闭集F要用连续映射分离我们有下面的分离公理：定义设X是一个拓扑空间，如果对于X中任意点xX和X中任何一个不包含点x的闭集F,存在一个连续映射f：X[0,1]使得f(x)0,以及对于任意yF,f(y)1,则称拓扑空间X是一个完全正则空间.定理二空间中任何一个连通子集如果包含着多于一个点，则它一定是一-个不可数集证明设C是7；空间X中的一个连通子集•如果C不只包含着一个点，任意选取，x,y€X,x工y寸于7空间X中的两个无交的闭集{x}和{y}，应用Urysohn引理可见，存在一个连续映射f:X-[0,1]使得f(x)=0,f(y)=1.由于C是X中一个连通子集，因此f(X)也连通.由于0,1€f(X)，因此f(X)=[0,1].由于[0,1]是一个不可数集，因此C也是一个不可数集.作业：P1681.。