《静态电磁场静电场》PPT课件.ppt

第 二 章 静 电 场2.6 镜像法 镜像法的实质是以一个或多个位于场域边界外虚设的镜像(等效)电荷替代实际边界上未知的较为复杂的电荷分布，将原来具有边界的非均匀空间变换成无限大均匀媒质的空间，从而使计算过程得以简化根据唯一性定理可知，这些等效电荷的引入必须维持原问题边界条件不变，以保证原场域中的静电场分布不变通常这些等效电荷位于镜像位置，故称镜像电荷，由此构成的分析方法即称为镜像法第 二 章 静 电 场2.6.1 对无限大接地导电平面的镜像点电荷情况：设有一点电荷q位于距无限大接地导电平面上方h处，其周围介质的介电常数为，如图所示显然，电位函数在场域内满足如下边值问题 2 = 0 (除去点电荷所在点) 边界条件为 |z=0 = 0 (a) 无限大接地导电平面上的点电荷 (b) 点电荷的镜象图 点电荷对无限大接地导电平面的镜象第 二 章 静 电 场可以设想，在场域边界外引入一个与点电荷q呈镜像对称的点电荷q= -q，并将原来的导体场域由介电常数为 的介质所替换这样，原场域边界面(z = 0)上的边界条件 = 0保持不变，而对应的边值问题被简化为同一均匀介质空间内两个点电荷的电场计算问题。

根据唯一性定理可知，其解答有效区域仅限于图示上半部分介质场域应用镜像法，得待求电位为 无限大接地导电平面上的感应电荷的面密度分布为式中负号表示感应电荷与点电荷q的极性相反对感应电荷作面积分，得上式表明镜象电荷q确实等效了无限大接地导电平面上的全部感应电荷 第 二 章 静 电 场此外，上述方法很容易推广到图示的由半无限大导电平面形成的劈形边界且其夹角为的整数分之一的情况如图所示夹角为/3的导电劈可以引入5个镜象电荷，以保证劈形边界电位为零的边界条件 Dq- q- q- q=/3图 导电劈的镜象法第 二 章 静 电 场线电荷情况：图示线电荷及其镜像电荷如图示 由高斯定理得P点的电场强度为图 线电荷的镜象(a)线电荷对无限大接地平面(b) 线电荷的镜象-+o yP(x,y)介质0导体xb1DD(-b,0) yP(x,y)0 x+10(b,0)2e2e1o第 二 章 静 电 场现任取Q点为电位参考点，则P点电位为设在无限大接地导电平面上，即1 = 2时， = 0，即电位参考点Q应选在接地导电平面上，所以C = 0由上式，场中任意点电位为由上式，可以进一步获得其等位线分布按等位线定义有 2/1=K，平方得第 二 章 静 电 场 。

对于每个等位圆轨迹而言，圆半径a、圆心到原点的距离h和线电荷至原点的距离b三者间关系为显然，上式为直角坐标系中圆的方程所以在xoy平面上，等位线分布是如图虚线所示的一簇圆对应于某一给定的K值，圆心坐标是整理，得图 一对线电荷()的电场，圆半径是h2 = a2 + b2 亦即， a2 = h2 - b2 =(h + b)(h - b)第 二 章 静 电 场 这表明，两线电荷()位置对每个等位圆的圆心来说，满足圆的几何上反演的关系此外，当P点位于y轴右侧时，因2/1=K1，P皆为正值；当P点位于y轴左侧时，则 P 皆为负值第 二 章 静 电 场2.6.3电轴法 两半径相同的圆柱导体电场：基于线电荷对无限大接地导电平面的镜像分析，我们可以进而讨论两同半径、带有等量异号电荷的平行长直圆柱导体间的电场问题此时，尽管圆柱导体表面电荷面密度不是常量，但沿轴向单位长电荷分布(线密度)是相同的，圆柱导体表面为等位面若设想圆柱导体表面与线电荷对应的等位面重合，即可以用等效线电荷计算圆柱导体外的电场分布，该线电荷就是圆柱导体表面电荷的等效电荷，如图所示为表述方便，成这个线电荷为圆柱导体的等效电轴，这种方法称为电轴法。

(a) 同半径两线输电线系统(b) 电轴法图示 yxaaho-+Dhbb图 电轴法xaahho y-+Dd第 二 章 静 电 场设圆柱导体半径为a，间距为2h，电轴间距为2b三者之间的关系为AaU0oh x0D图 传输线的电场例1：半径为a的传输线平行于地面，传输线轴心对地高度为h，对地电位为U0，如图所示试求：(1)大地上方传输线的电场；(2)场域最大电场场强的位置及其数值解：(1)首先，由电轴法确定电轴的位置，得大地上方任意场点P处的电位为由传输线表面点A的电位U0，得 = 第 二 章 静 电 场大地上方任意场点P处的电位为(2)显然，最大场强将出现在导线相距地面最近处，即点A处，有 第 二 章 静 电 场两半径不同的圆柱导体电场：如图所示，设两平行长直圆柱导体半径分别为a1和a2，对于图（a）其轴心距d = h1 +h2，对于图（b）其轴心距为d = h2 -h1(设a2 a1)xd ya2a1h1o-(a) 平行传输线的电轴法图示h2bb，+x ya2a1h1o-(b) 偏心同轴电缆的电轴法图示h2bb+图 半径不同圆柱导体的电轴法0P(x, y) y12Ao x0D图 同半径圆柱体电轴法haahbb-+第 二 章 静 电 场可以应用电轴法计算这两种情况的电场问题。

其关键问题仍然是确定等效电轴的位置显然h12 = b2 + a12 ， h22 = b2 + a22 , d= h2 h1 已知a1、a2和d，联立求解上式三个方程得 xd ya2a1h1o-(a) 平行传输线的电轴法图示h2bb，+x ya2a1h1o-(b) 偏心同轴电缆的电轴法图示h2bb+图 半径不同圆柱导体的电轴法第 二 章 静 电 场2.6.4对无限大介质平面的镜像点电荷情况：对于图示无限大介质平面上的点电荷边值问题也可采用镜像法上下半无限空间中的电场是由点电荷q及其分界面上的束缚电荷共同产生的对于介质为1的上半空间的电场计算，可归结为图b中的两点电荷q 和q的合成电场 ；对于介质为2的下半空间的电场计算，可归结为图c中的q 电场分析镜象电荷q和q的量值，可以通过分界面上的边界条件确定如下 (a) 无限大介质平面上的点电荷(b) 上半空间电场计算的镜象(c)下半空间电场计算的镜象 q2en1D1hD2qE1E1tPrE1qD1hE222E2tPr qE2nD2h图 无限大介质平面镜像第 二 章 静 电 场对于分界面上任意点P，由其上的边界条件E1t= E2t和D1n= D2n，得解得对于线电荷与无限大介质平面系统的电场，可类比推得。

q2en1D1hD2qE1E1tPrE1qD1hE222E2tPr qE2nD2h第 二 章 静 电 场2.6.5 对导体球的镜像 导体球接地情况：如图所示，设导体球半径为a，点电荷q至球心距为d设等效导体球表面感应电荷的镜象电荷为-q且位于球内的球心与点电荷的连线上，其到球心的距离为b在导体球表面上任取一点P，得 图 对接地导体球的镜像(a) 点电荷与接地导体球qaodDqaodD(b) 镜象法图示r-qrbP = 整理，得 q2(a2+b2)-q2(a2+d2)+2a(q2d- q2b)cos = 0 上式对于任意的值恒成立，故有第 二 章 静 电 场解得可以看出，点电荷q和其镜象电荷-q的位置，满足球反演的几何关系根据q及-q即可方便地计算点电荷在接地导体球外的电场分布可以证明，接地导体球面上感应电荷的总量等于-q 图 对接地导体球的镜像(a) 点电荷与接地导体球qaodDqaodD(b) 镜象法图示r-qrbP第 二 章 静 电 场导体球不接地情况：不接地金属球镜像点q之外区域球面等位（ 位于球心）通量为零（ 和 大小相等）第 二 章 静 电 场例2：图示为半径为a的接地导体球壳外置有一沿直径方向的线段电荷，线段的一端距球心为d。

求导体球壳上总的感应电荷 解：应用点电荷对接地导体球的镜像，有 图 线段电荷的镜像元电荷为 dt，元电荷的位置为d+t；镜像元电荷为dx=-a dt/(d+t)，镜像元电荷的位置为a2/(d+t)所以，导体球壳上总的感应电荷为 同理，对呈电性的不接地导体球和位于导体球腔内的点电荷的电场计算问题，也可以应用镜像法进行计算第 二 章 静 电 场 镜像法（电轴法）的理论基础是： 镜像法（电轴法）的实质是：镜像法（电轴法）的关键是： 镜像电荷（电轴）只能放在待求场域以外的区 域叠加时，要注意场的适用区域 用虚设的镜像电荷（电轴）替代未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀媒质；静电场唯一性定理；确定镜像电荷（电轴）的个数、大小及位置；应用镜像法（电轴法）解题时，注意：第 二 章 静 电 场试确定下图镜像电荷的个数、大小与位置点电荷对导体球面的镜像试用镜像法求解下列问题，确定镜像电荷的个数、大小与位置第 二 章 静 电 场2.8 电容与部分电容 电容或部分电容是导体系统的重要的集总电气参数，是在电网络中电容元件的重要参数，也是导体系统静电场的集总体现一般而言，需要借助于电场分析来计算1两导体的电容 一般两导体电容的计算过程为：给定两导体携带的电荷q计算其电场分布和其间电位差U或给定两导体间电位差U，通过计算其电场分布和其携带的电荷q，最后按定义计算电容C = q/U。

例1：两半径为a、轴心距为d的平行长直圆柱导体构成一对均匀传输线，试求其单位长电容 解：应用电轴法，令h=d/2首先确定电轴位置基于电轴法的分析结果，两导体表面最近距离对应的点A1(h-a, 0)和点A2(-h+a, 0)的电位差为 第 二 章 静 电 场从而，均匀传输线的单位长度电容通常有h a，此时bh，故此外，对于h a的情况，也可以采用高斯定理计算设均匀传输线单位长线电荷密度为，则两导体轴心连线上距带正电荷导体x处的电场强度为两导体间的电位差为显然，有上式计算的电容与电轴法获得的结果相同从本例电容表达式可以看出，电容与导体之间施加的电压或携带的电荷量无关，只与导体的形状、相互位置和电介质有关，是导体系统自身固有电气参数 第 二 章 静 电 场2部分电容 对于多导体需要引入部分电容概念静电独立系统：系统的电场分布只与系统内各带电导体的形状、相互位置和电介质的分布有关，而与系统外的带电导体无关，并且所有电位移通量全部从系统内的带电导体发出又全部终止于系统内的带电导体 现考察由(n+1)个导体组成的静电独立系统令各导体按0 - n顺序编号，其相应的带电量分别为q0，q1，qk，qn。

由定义，知 q0 + q1 + + qk + + qn = 0选0号导体为电位参考点，即 0= 0，应用叠加原理，可得各个导体电位与各个导体上电荷的关系为 第 二 章 静 电 场写成矩阵形式，为 =q式中，系数ij 称为电位系数，其涵义不难从以下定义式得到理解式中，ii 称为自有电位系数，ij(ij)称为互有电位函数显然，电位系数只与导体的形状、相互位置以及电介质的介电常数有关当给出各个导体的电位时，有前式，得q=-1 =第 二 章 静 电 场或式中，系数 ij 称为感应系数，与电位系数之间的关系为式中，是行列式，Aji是相应的代数余子式ii 称为自有感应系数，ij j(ij)称为互有感应系数，即显然，感应系数也只和导体的形状、相互位置以及介质的介电常数有关第 二 章 静 电 场为用电网络方法分析导体系统的电气行为，一般将电荷与电位的关系表达为如下形式的电荷与电压的关系称上式中的系数Cij为导体系统的部分电容对比两种表达形式，可知 Ci0 =i1+i2+ii+inCij = - ij (ij)式中，Ci0称为导体i的自有部分电容，即各导体与参考导体(电位参考点导体)之间的部分电容；Cij称为导体i和导体j互有部分电容，即相应的两个导体间的部分电容，显然，Cij= Cji 。

如图给出了三导体系统的部分电容 第 二 章 静 电 场静电独立系统中n1个导体有 个部分电容部分电容是否为零，取决于两导体之间有否电力线相连；部分电容可将场的概念与电路结合起来第 二 章 静 电 场我们既可以利用电场计算的方法计算电位系数ij或感应系数ij并按上述定义计算部分电容Cij，也可以通过实验方法通过测量感应系数ij或直接测量部分电容的线性组合来计算部。