2023年同济第六版《高等数学》精品讲义WORD版第12章微分方程.pdf

高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 第十二章 微分方程 教学目的： 1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念 2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法 3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程 4． 会用降阶法解下列微分方程：( )( )nyf x， ( ,)yf x y和( ,)yf y y 5． 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理 6． 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法， 并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程 7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解 8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组 9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题 教学重点： 1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法 2、可降阶的高阶微分方程( )( )nyf x， ( ,)yf x y和( ,)yf y y 3、二阶常系数齐次线性微分方程； 4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程； 教学难点： 1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程； 2、线性微分方程解的性质及解的结构定理； 3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。

高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 4、欧拉方程 § 12 1 微分方程的基本概念 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究 因此如何寻找出所需要的函数关系 在实践中具有重要意义 在许多问题中 往往不能直接找出所需要的函数关系 但是根据问题所提供的情况 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式 这样的关系就是所谓微分方程 微分方程建立以后 对它进行研究 找出未知函数来 这就是解微分方程 例 1 一曲线通过点(1 2) 且在该曲线上任一点 M(x y)处的切线的斜率为 2x 求这曲线的方程 解 设所求曲线的方程为 y y(x) 根据导数的几何意义 可知未知函数 y y(x)应满足关系式(称为微分方程) xdxdy2 (1) 此外 未知函数 y y(x)还应满足下列条件 x 1 时 y 2 简记为 y|x 1 2 (2) 把(1)式两端积分 得(称为微分方程的通解)  xdxy2 即 y x2 C (3) 其中 C 是任意常数 把条件“x 1 时 y 2”代入(3)式 得 2 12 C 由此定出 C 1 把 C 1 代入(3)式 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件 y|x1 2 的解) y x2 1 例 2 列车在平直线路上以 20m/s(相当于 72km/h)的速度行驶 当制动时列车获得加速度 0 4m/s2 问开始制动后多少时间列车才能停住 以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 解 设列车在开始制动后 t 秒时行驶了 s 米 根据题意 反映制动阶段列车运动规律的函数s s(t)应满足关系式 4 . 022dtsd (4) 高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 此外 未知函数 s s(t)还应满足下列条件 t 0 时 s 0 20dtdsv 简记为 s|t 0=0 s |t 0=20 (5) 把(4)式两端积分一次 得 14 . 0Ctdtdsv (6) 再积分一次 得 s0 2t2  C1t  C2 (7) 这里 C1 C2都是任意常数 把条件 v|t 0 20 代入(6)得 20 C1 把条件 s|t 0 0 代入(7)得 0 C2 把 C1 C2的值代入(6)及(7)式得 v0 4t  20 (8) s0 2t2 20t (9) 在(8)式中令 v 0 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间 504 . 020t(s) 再把 t 50 代入(9) 得到列车在制动阶段行驶的路程 s0 2 502 20 50 500(m) 解 设列车在开始制动后 t 秒时行驶了 s 米 s0 4 并且 s|t 0=0 s |t 0=20 把等式 s0 4 两端积分一次 得 s0 4t C1 即 v0 4t C1(C1是任意常数) 再积分一次 得 s0 2t2  C1t  C2 (C1 C2都 C1是任意常数) 由 v|t 0 20 得 20 C1 于是 v0 4t  20 由 s|t 0 0 得 0 C2 于是 s0 2t2 20t 令 v 0 得 t 50(s) 于是列车在制动阶段行驶的路程 高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 s0 2 502 20 50 500(m) 几个概念 微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程 叫微分方程 常微分方程 未知函数是一元函数的微分方程 叫常微分方程 偏微分方程 未知函数是多元函数的微分方程 叫偏微分方程 微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 叫微分方程的阶 x3 yx2 y4xy3x2  y(4)  4y10y12y5y sin2x y(n)  1 0 一般 n 阶微分方程 F(x y y     y(n) ) 0 y(n) f(x y y     y(n 1) )  微分方程的解 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解 确切地说 设函数 y(x)在区间 I 上有 n 阶连续导数 如果在区间 I 上 F[x (x)  (x)    (n) (x)] 0 那么函数 y(x)就叫做微分方程 F(x y y    y(n) ) 0 在区间 I 上的解 通解 如果微分方程的解中含有任意常数 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同 这样的解叫做微分方程的通解 初始条件 用于确定通解中任意常数的条件 称为初始条件 如 x x0 时 y y0  y y0  一般写成 00yyxx 00yyxx 特解 确定了通解中的任意常数以后 就得到微分方程的特解 即不含任意常数的解 初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题 如求微分方程 yf(x y)满足初始条件00yyxx的解的问题 记为 00),(yyyxfyxx 高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 积分曲线 微分方程的解的图形是一条曲线 叫做微分方程的积分曲线 例 3 验证 函数 x C1cos kt C2 sin kt 是微分方程 0222 xkdtxd 的解 解 求所给函数的导数 ktkCktkCdtdxcossin21 )sincos(sincos212221222ktCktCkktCkktCkdtxd 将22dtxd及 x 的表达式代入所给方程 得  k2(C1cos kt C2sin kt) k2(C1cos kt C2sin kt) 0 这表明函数 x C1coskt C2sinkt 满足方程0222 xkdtxd 因此所给函数是所给方程的解 例 4 已知函数 x C1coskt C2sinkt(k 0)是微分方程0222 xkdtxd的通解 求满足初始条件 x| t 0  A x | t 0  0 的特解 解 由条件 x| t 0  A及 x C1 cos kt C2 sin kt 得 C1 A 再由条件 x | t 0  0 及 x (t) kC1sin kt kC2cos kt 得 C2 0 把 C1、C2的值代入 x C1cos kt C2sin kt中 得 x Acos kt § 12 2 可分离变量的微分方程 观察与分析 1 求微分方程 y2x 的通解 为此把方程两边积分 得 高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 y x2 C 一般地 方程 yf(x)的通解为Cdxxfy)((此处积分后不再加任意常数) 2 求微分方程 y2xy2 的通解 因为 y 是未知的 所以积分dxxy22无法进行 方程两边直 接积分不能求出通解 为求通解可将方程变为xdxdyy212 两边积分 得 Cxy21 或Cxy21 可以验证函数Cxy21是原方程的通解 一般地 如果一阶微分方程 y(x, y)能写成 g(y)dy f(x)dx 形式 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程 G(y) F(x) C 由方程 G(y) F(x) C 所确定的隐函数就是原方程的通解 对称形式的一阶微分方程 一阶微分方程有时也写成如下对称形式 P(x y)dx Q(x y)dy 0 在这种方程中 变量 x 与 y 是对称的 若把 x 看作自变量、y 看作未知函数 则当 Q(x,y) 0 时 有 ),(),(yxQyxPdxdy 若把 y 看作自变量、x 看作未知函数 则当 P(x,y) 0 时 有 ),(),(yxPyxQdydx 可分离变量的微分方程 如果一个一阶微分方程能写成 g(y)dy f(x)dx (或写成 y(x)(y)) 的形式 就是说 能把微分方程写成一端只含 y 的函数和 dy 另一端只含 x 的函数和 dx 那么原高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 方程就称为可分离变量的微分方程 讨论 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？ (1) y2xy 是 y 1dy 2xdx  (2)3x2 5x y0 是 dy (3x2 5x)dx (3)(x2 y2)dx xydy=0 不是 (4)y1 x y2 xy2 是 y(1 x)(1 y2) (5)y10x y 是 10 ydy 10xdx (6)xyyxy 不是 可分离变量的微分方程的解法 第一步 分离变量 将方程写成 g(y)dy  f(x)dx 的形式 第二步 两端积分dxxfdyyg)()( 设积分后得 G(y) F(x) C 第三步 求出由 G(y) F(x) C 所确定的隐函数 y(x)或 x(y) G(y) F(x) C  y (x)或 x(y)都是方程的通解 其中 G(y) F(x) C 称为隐式(通)解 例 1 求微分方程xydxdy2的通解 解 此方程为可分离变量方程 分离变量后得 xdxdyy21 两边积分得  xdxdyy21 即 ln|y| x2 C1 从而 2112xCCxeeey 因为1Ce仍是任意常数 把它记作 C 便得所给方程的通解 2xCey 解 此方程为可分离变量方程 分离变量后得 xdxdyy21 高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 两边积分得  xdxdyy21 即 ln|y| x2 lnC 从而 2xCey 例 2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量 M 成正比 已知 t 0 时铀的含量为 M0 求在衰变过程中铀含量 M(t)随时间 t 变化的规律 解 铀的衰变速度就是 M(t)对时间 t 的导数dtdM 由于铀的衰变速度与其含量成正比 故得微分方程 MdtdM 其中(>0)是常数 前的曲面号表示当 t 增加时 M 单调减少 即0dtdM 由题意 初始条件为 M|t 0 M0 将方程分离变量得 dtMdM 两边积分 得dtMdM)( 即 lnMt lnC 也即 M Cet 由初始条件 得 M0 Ce0 C 所以铀含量 M(t)随时间 t 变化的规律 M M0et  例 3 设降落伞从跳伞塔下落后 所受空气阻力与速度成正比 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零 求降落伞下落速度与时间的函数关系 解 设降落伞下落速度为v(t) 降落伞所受外力为F mg kv( k为比例系数) 根据牛顿第二运动定律 F ma 得函数 v(t)应满足的方程为 kvmgdtdvm 高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 初始条件为 v|t 0 0 方程分离变量 得 mdtkvmgdv 两边积分 得mdtkvmgdv 1)ln(1Cmtkvmgk 即 tmkCekmgv(keCkC1) 将初始条件 v|t 0 0 代入通解得kmgC 于是降落伞下落速度与时间的函数关系为)1 (tmkekmgv 例 4 求微分方程221xyyxdxdy的通解 解 方程可化为 )1)(1 (2yxdxdy 分离变量得 dxxdyy)1 (112 两边积分得 dxxdyy)1 (112 即Cxxy221arctan 于是原方程的通解为)21tan(2Cxxy 例 4 有高为 1m 的半球形容器 水从它的底部小孔流出 小孔横截面面积为 1cm2 开始时容器内盛满了水 求水从小孔流出过程中容器里水面高度 h 随时间 t 变化的规律 解 由水力学知道 水从孔口流出的流量 Q 可用下列公式计算 ghSdtdVQ262. 0 其中 0 62 为流量系数 S 为孔口横截面面积 g 为重力加速度 现在孔口横截面面积 S 1cm2 故 高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 ghdtdV262. 0 或dtghdV262. 0 另一方面 设在微小时间间隔[t t dt]内 水面高度由 h 降至 h dh(dh 0) 则又可得到 dVr2dh 其中 r 是时刻 t 的水面半径 右端置负号是由于 dh 0 而 dV 0 的缘故 又因 222200)100(100hhhr 所以 dV(200h h2)dh 通过比较得到 dhhhdtgh)200(262. 02 这就是未知函数 h h(t)应满足的微分方程 此外 开始时容器内的水是满的 所以未知函数 h h(t)还应满足下列初始条件 h|t 0 100 将方程dhhhdtgh)200(262. 02分离变量后得 dhhhgdt)200(262. 02321 两端积分 得 dhhhgt)200(262. 02321 即 Chhgt)523400(262. 02523 其中 C 是任意常数 由初始条件得 Cgt)100521003400(262. 02523 5101514262. 0)52000003400000(262. 0ggC 高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 因此 )310107 (262. 0252335hhgt 上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度 h 与时间 t 之间的函数关系 § 12 3 齐次方程 齐次方程 如果一阶微分方程),(yxfdxdy中的函数 f(x, y)可写成 xy的函数 即)(),(xyyxf 则称这方程为齐次方程 下列方程哪些是齐次方程？ (1)022xyyyx是齐次方程1)(222xyxydxdyxxyydxdy (2)2211yyx不是齐次方程2211xydxdy (3)(x2 y2)dx xydy 0 是齐次方程 xyyxdxdyxyyxdxdy22 (4)(2x y 4)dx (x y 1)dy 0 不是齐次方程142yxyxdxdy (5)0ch3)ch3sh2(dyxyxdxxyyxyx是齐次方程 xyxydxdyxyxxyyxyxdxdyth32ch3ch3sh2 齐次方程的解法 在齐次方程)(xydxdy中 令xyu 即 y ux 有 高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 )(udxduxu 分离变量 得 xdxuudu)( 两端积分 得 xdxuudu)( 求出积分后 再用xy代替 u 便得所给齐次方程的通解 例 1 解方程dxdyxydxdyxy22 解 原方程可写成 1)(222xyxyxxyydxdy 因此原方程是齐次方程 令uxy 则 y ux dxduxudxdy 于是原方程变为 12uudxduxu 即 1uudxdux 分离变量 得 xdxduu )11 ( 两边积分 得 u ln|u| C ln|x| 或写成 ln|xu| u C 以xy代上式中的 u 便得所给方程的通解 Cxyy||ln 高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 例 2 有旋转曲面形状的凹镜 假设由旋转轴上一点 O 发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平行 求这旋转曲面的方程 解 设此凹镜是由xOy面上曲线L y y(x)(y>0)绕x轴旋转而成 光源在原点 在L上任取一点M(x, y) 作L的切线交x轴于A 点O发出的光线经点M反射后是一条平行于x轴射线 由光学及几何原理可以证明OA OM 因为 xyyOPPMOPAPOAcot 而 22yxOM 于是得微分方程22yxxyy 整理得1)(2yxyxdydx 这是齐次方程 问题归结为解齐次方程1)(2yxyxdydx 令vyx 即x yv 得12vvdydvyv 即 12 vdydvy 分离变量 得ydyvdv 12 两边积分 得 Cyvvlnln) 1ln(2, Cyvv12, 1)(22vvCy, 1222CyvCy 以 yv x 代入上式 得)2(22CxCy 这是以 x 轴为轴、焦点在原点的抛物线 它绕 x 轴旋转所得旋转曲面的方程为 )2(222CxCzy 这就是所求的旋转曲面方程 高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 例 3 设河边点 O 的正对岸为点 A 河宽 OA h 两岸为平行直线 水流速度为 a 有一鸭子从点 A游向点 O 设鸭子的游速为 b(b>a) 且鸭子游动方向始终朝着点 O 求鸭子游过的迹线的方程 例 3 设一条河的两岸为平行直线 水流速度为 a 有一鸭子从岸边点 A 游向正对岸点 O 设鸭子的游速为 b(b>a) 且鸭子游动方向始终朝着点 O 已知 OA h 求鸭子游过的迹线的方程 解 取 O 为坐标原点 河岸朝顺水方向为 x 轴 y 轴指向对岸 设在时刻 t 鸭子位于点 P(x, y) 则鸭子运动速度 ) ,() ,(dtdydtdxvvyxv 故有yxvvdydx 另一方面 ) ,() 0 ,(2222yxyyxxbabav ) ,(2222yxbyyxbxav 因此yxyxbavvdydxyx1)(2 即yxyxbadydx1)(2 问题归结为解齐次方程yxyxbadydx1)(2 令uyx 即x yu 得 12ubadyduy 分离变量 得dybyaudu 12 两边积分 得 )ln(lnarshCyabu 将yxu代入上式并整理 得])()[(2111babaCyCyCx 以x|y h 0代入上式 得hC1 故鸭子游过的轨迹方程为 ])()[(211babahyhyhx 0 y h 高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 将yxu代入)ln(lnarshCyabu后的整理过程 )ln(lnarshCyabyx abCyyx)ln(sh])()[(21ababCyCyyx ])()[(2ababCyCyyx])()[(2111ababCyCyCx § 12.4 线性微分方程 一、 线性方程 线性方程 方程)()(xQyxPdxdy叫做一阶线性微分方程 如果 Q(x) 0  则方程称为齐次线性方程 否则方程称为非齐次线性方程 方程0)(yxPdxdy叫做对应于非齐次线性方程)()(xQyxPdxdy的齐次线性方程 下列方程各是什么类型方程？ (1)ydxdyx) 2(021yxdxdy是齐次线性方程 (2) 3x2 5x 5y0y3x2 5x  是非齐次线性方程 (3) yy cos x e sin x  是非齐次线性方程 (4)yxdxdy 10 不是线性方程 (5)0) 1(32xdxdyy0) 1(23yxdxdy或32) 1(xydydx 不是线性方程 齐次线性方程的解法 齐次线性方程0)(yxPdxdy是变量可分离方程 分离变量后得 dxxPydy)( 高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 两边积分 得 1)(||lnCdxxPy 或 )( 1)(CdxxPeCCey 这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数） 例 1 求方程ydxdyx) 2(的通解 解 这是齐次线性方程 分离变量得 2xdxydy 两边积分得 ln|y| ln|x 2| lnC 方程的通解为 y C(x 2) 非齐次线性方程的解法 将齐次线性方程通解中的常数换成 x 的未知函数 u(x) 把 dxxPexuy)()( 设想成非齐次线性方程的通解 代入非齐次线性方程求得 )()()()()()()()()(xQexuxPxPexuexudxxPdxxPdxxP 化简得 dxxPexQxu)()()( CdxexQxudxxP)()()( 于是非齐次线性方程的通解为 ])([)()(CdxexQeydxxPdxxP 或 dxexQeCeydxxPdxxPdxxP)()()()( 非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和 高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 例 2 求方程25) 1(12xxydxdy的通解 解 这是一个非齐次线性方程 先求对应的齐次线性方程012xydxdy的通解 分离变量得 12xdxydy 两边积分得 ln y 2ln (x 1) ln C 齐次线性方程的通解为 y C(x 1)2 用常数变易法 把 C 换成 u 即令 y u (x 1)2 代入所给非齐次线性方程 得 2522) 1() 1(12) 1(2) 1(xxuxxuxu 21) 1(  xu 两边积分 得 Cxu23) 1(32 再把上式代入 y u(x 1)2中 即得所求方程的通解为 ]) 1(32[) 1(232Cxxy 解 这里12)(xxP 25) 1()(xxQ因为 ) 1ln(2)12()(xdxxdxxP  2) 1ln(2)() 1( xeexdxxP 2321225)() 1(32) 1() 1() 1()(xdxxdxxxdxexQdxxP所以通解为 ]) 1(32[) 1(])([232)()(CxxCdxexQeydxxPdxxP 高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 例 3 有一个电路如图所示 其中电源电动势为 E Emsint(Em、都是常数)  电阻 R和电感 L都是常量 求电流 i(t) 解 由电学知道 当电流变化时 L 上有感应电动势dtdiL 由回路电压定律得出 0iRdtdiLE 即 LEiLRdtdi 把 E Emsin t 代入上式 得 tLEiLRdtdim sin 初始条件为 i|t 0 0 方程tLEiLRdtdim sin为非齐次线性方程 其中 LRtP)( tLEtQm sin)( 由通解公式 得 ])([)()()(CdtetQetidttPdttP) sin(Cdte tLEedtLRmdtLR )sin(CdtteeLEtLRtLRm tLRmCetLtRLRE) cos sin(222 其中 C 为任意常数 将初始条件 i|t 0 0 代入通解 得222 LRLECm 因此 所求函数 i(t)为 ) cos sin( )(222222tLtRLREeLRLEtimtLRm 二、伯努利方程 伯努利方程 方程 nyxQyxPdxdy)()( (n 0 1) 高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 叫做伯努利方程 下列方程是什么类型方程？ (1)4)21 (3131yxydxdy 是伯努利方程 (2)5xyydxdy 5xyydxdy 是伯努利方程 (3)xyyxy 11xyyxy 是伯努利方程 (4)xxydxdy42 是线性方程 不是伯努利方程 伯努利方程的解法 以 yn除方程的两边 得 )()(1xQyxPdxdyynn 令 z  y1 n  得线性方程 )()1 ()()1 (xQnzxPndxdz 例 4 求方程2)(lnyxaxydxdy的通解 解 以 y2除方程的两端 得 xayxdxdyyln112 即 xayxdxydln1)(11 令 z y 1 则上述方程成为 xazxdxdzln1 这是一个线性方程 它的通解为 ])(ln2[2xaCxz 以 y 1代 z  得所求方程的通解为 1])(ln2[2xaCyx 经过变量代换 某些方程可以化为变量可分离的方程 或化为已知其求解方法的方程 高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 例 5 解方程yxdxdy1 解 若把所给方程变形为 yxdydx 即为一阶线性方程 则按一阶线性方程的解法可求得通解 但这里用变量代换来解所给方程 令 x y u 则原方程化为 udxdu11 即uudxdu1 分离变量 得 dxduuu 1 两端积分得 u ln|u 1| x ln|C| 以 u x y 代入上式 得 y ln|x y 1|ln|C| 或 x Cey y 1 § 12 5 全微分方程 全微分方程 一个一阶微分方程写成 P(x, y)dx Q(x, y)dy 0 形式后 如果它的左端恰好是某一个函数 u u(x, y)的全微分 du(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy 那么方程 P(x, y)dx Q(x, y)dy 0 就叫做全微分方程 这里 ),(yxPxu ),(yxQyu 而方程可写为 du(x, y) 0 全微分方程的判定 若 P(x, y)、Q(x, y)在单连通域 G 内具有一阶连续偏导数 且 xQyP 则方程 P(x, y)dx Q(x, y)dy 0 是全微分方程 高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 全微分方程的通解 若方程 P(x, y)dx Q(x, y)dy 0 是全微分方程 且 du(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy 则 u(x, y) C 即 )),(( ),(),(00000GyxCdxyxQdxyxPyyxx 是方程 P(x, y)dx Q(x, y)dy 0 的通解 例 1 求解(5x4 3xy2 y3)dx (3x2y 3xy2 y2 )dy 0 解 这里 xQyxyyP236 所以这是全微分方程 取(x0, y0) (0, 0) 有 yxdyydxyxyxyxu020324)35 (),( 332253123yxyyxx 于是 方程的通解为 Cyxyyxx332253123 积分因子 若方程 P(x, y)dx Q(x, y)dy 0 不是全微分方程 但存在一函数 (x, y) ((x, y) 0) 使方程 (x, y)P(x, y)dx(x, y)Q(x, y)dy 0 是全微分方程 则函数(x, y)叫做方程 P(x, y)dx Q(x, y)dy 0 的积分因子 例 2 通过观察求方程的积分因子并求其通解: (1)ydx xdy 0 (2)(1 xy)ydx (1 xy)xdy 0 解 (1)方程 ydx xdy 0 不是全微分方程 因为 2)(yxdyydxyxd 高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 所以21y是方程 ydx xdy 0 的积分因子 于是 02yxdyydx是全微分方程 所给方程的通解为Cyx (2)方程(1 xy)ydx (1 xy)xdy 0 不是全微分方程 将方程的各项重新合并 得 (ydx xdy) xy(ydx xdy) 0 再把它改写成 0)()(22ydyxdxyxxyd 这时容易看出2)(1xy为积分因子 乘以该积分因子后 方程就变为 0)()(2ydyxdxxyxyd 积分得通解 Cyxxyln||ln1 即xyCeyx1 我们也可用积分因子的方法来解一阶线性方程 yP(x)y Q(x) 可以验证dxxPex)()(是一阶线性方程 yP(x)y Q(x)的一个积分因子 在一阶线性方程的两边乘以dxxPex)()(得 dxxPdxxPdxxPexQexyPey)()()()()( 即 dxxPdxxPdxxPexQeyey)()()()(][ 亦即 dxxPdxxPexQye)()()(][ 两边积分 便得通解 CdxexQyedxxPdxxP)()()( 高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 或 ])([)()(CdxexQeydxxPdxxP 例 3 用积分因子求xxydxdy42的通解 解 方程的积分因子为 22)(xxdxeex 方程两边乘以2xe得 22242xxxxeyxeey 即224)(xxxeye 于是 Cedxxeyexxx22224 因此原方程的通解为2224xxCedxxey § 12 6 可降阶的高阶微分方程 一、y(n) f (x)型的微分方程 解法 积分 n 次 1) 1()(Cdxxfyn 21) 2(])([CdxCdxxfyn     例 1 求微分方程 ye2x cos x 的通解 解 对所给方程接连积分三次 得 12sin21Cxeyx 212cos41CxCxeyx 3221221sin81CxCxCxeyx 这就是所给方程的通解 高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 或 122sin21Cxeyx 2122cos41CxCxeyx 32212sin81CxCxCxeyx 这就是所给方程的通解 例2 质量为m的质点受力F 的作用沿Ox 轴作直线运动 设力F仅是时间t的函数 F F(t) 在开始时刻 t 0 时 F(0) F0 随着时间 t 的增大 此力 F 均匀地减小 直到 t T 时 F(T) 0 如果开始时质点位于原点 且初速度为零 求这质点的运动规律 解 设 x x(t)表示在时刻 t 时质点的位置 根据牛顿第二定律 质点运动的微分方程为 )(22tFdtxdm 由题设 力 F(t)随 t 增大而均匀地减小 且 t 0 时 F(0) F0 所以 F(t) F0 kt 又当 t T 时 F(T) 0 从而 )1 ()(0TtFtF 于是质点运动的微分方程又写为 )1 (022TtmFdtxd 其初始条件为0|0tx 0|0tdtdx 把微分方程两边积分 得 120)2(CTttmFdtdx 再积分一次 得 21320)621(CtCTttmFx 由初始条件 x|t 0 0 0|0tdtdx 得 C1 C2 0 于是所求质点的运动规律为 )621(320TttmFx 0 t T 解 设 x x(t)表示在时刻 t 时质点的位置 根据牛顿第二定律 质点运动的微分方程为 高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 mxF(t) 由题设 F(t)是线性函数 且过点(0 F0)和(T 0) 故 1)(0TtFtF 即)1 ()(0TtFtF 于是质点运动的微分方程又写为 )1 (0TtmFx 其初始条件为 x|t 0 0 x |t 0 0 把微分方程两边积分 得 120)2(CTttmFx 再积分一次 得 2320)621(CTttmFx 由初始条件 x|t 0 0 x |t 0 0 得 C1 C2 0 于是所求质点的运动规律为 )621(320TttmFx 0 t T 二、y f(x y )型的微分方程 解法 设 yp 则方程化为 pf(x p) 设 pf(x p)的通解为 p(x C1) 则 ),(1Cxdxdy 原方程的通解为 21),(CdxCxy 例 3 求微分方程 (1 x2)y2xy 满足初始条件 y|x 0 1 y |x 0 3 的特解 解 所给方程是 yf(x y )型的 设 yp 代入方程并分离变量后 有 高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 dxxxpdp212 两边积分 得 ln|p| ln(1 x2) C 即 p yC1(1 x2) (C1eC) 由条件 y |x 0 3 得 C1 3 所以 y3(1 x2) 两边再积分 得 y x3 3x C2 又由条件 y|x 0 1 得 C2 1 于是所求的特解为 y x3 3x 1 例 4 设有一均匀、柔软的绳索 两端固定 绳索仅受重力的作用而下垂 试问该绳索在平衡状态时是怎样的曲线? 三、yf(y y )型的微分方程 解法 设 yp 有 dydppdxdydydpdxdpy 原方程化为 ),(pyfdydpp 设方程),(pyfdydpp的通解为 yp(y C1) 则原方程的通解为 21),(CxCydy 例 5 求微分 yyy2 0 的通解 解 设 yp 则dydppy  代入方程 得 02 pdydpyp 在 y 0、p 0 时 约去 p 并分离变量 得 ydypdp 两边积分得 高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 ln|p| ln|y| lnc 即 p Cy 或 yCy(Cc) 再分离变量并两边积分 便得原方程的通解为 ln|y| Cx lnc1 或 y C1eCx (C1c1) 例 5 求微分 yyy2 0 的通解 解 设 yp 则原方程化为 02 pdydpyp 当 y 0、p 0 时 有 01 pydydp 于是 yCepdyy11 即 yC1y 0 从而原方程的通解为 xCdxCeCeCy1122 例 6 一个离地面很高的物体 受地球引力的作用由静止开始落向地面 求它落 到地面时的速度和所需的时间（不计空气阻力） § 12 7 高阶线性微分方程 一、二阶线性微分方程举例 例1 设有一个弹簧 上端固定 下端挂一个质量为m 的物体 取x 轴铅直向下 并取物体的平衡位置为坐标原点 给物体一个初始速度 v0 0 后 物体在平衡位置附近作上下振动 在振动过程中 物体的位置x 是 t 的函数 x x(t) 设弹簧的弹性系数为 c 则恢复力 fcx 又设物体在运动过程中受到的阻力的大小与速度成正比 比例系数为 则 dtdxR 由牛顿第二定律得 高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 dtdxcxdtxdm22 移项 并记mn2 mck 2 则上式化为 02222xkdtdxndtxd 这就是在有阻尼的情况下 物体自由振动的微分方程 如果振动物体还受到铅直扰力 F Hsin pt 的作用 则有 pthxkdtdxndtxdsin2222 其中mHh 这就是强迫振动的微分方程 例 2 设有一个由电阻 R、自感 L、电容 C 和电源 E 串联组成的电路 其中 R、L、及 C 为常数 电源电动势是时间 t 的函数 E Emsint 这里 Em及也是常数 设电路中的电流为 i(t) 电容器极板上的电量为 q(t) 两极板间的电压为 uc 自感电动势为 EL  由电学知道 dtdqi Cquc dtdiLEL 根据回路电压定律 得 0RiCqdtdiLE 即 tEudtduRCdtudLCmcccsin22 或写成 tLCEudtdudtudmcccsin22022 其中LR2 LC10 这就是串联电路的振荡方程 如果电容器经充电后撤去外电源(E 0) 则上述成为 022022cccudtdudtud 高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 二阶线性微分方程 二阶线性微分方程的一般形式为 yP(x)yQ(x)y f(x) 若方程右端 f(x) 0 时 方程称为齐次的 否则称为非齐次的 二、线性微分方程的解的结构 先讨论二阶齐次线性方程 yP(x)yQ(x)y 0 即0)()(22yxQdxdyxPdxyd 定理 1 如果函数 y1(x)与 y2(x)是方程 yP(x)yQ(x)y 0 的两个解 那么 y C1y1(x) C2y2(x) 也是方程的解 其中 C1、C2是任意常数 齐次线性方程的这个性质表明它的解符合叠加原理 证明 [C1y1 C2y2]C1 y1C2 y2 [C1y1 C2y2]C1 y1C2 y2 因为 y1与 y2是方程 yP(x)yQ(x)y 0 所以有 y1P(x)y1Q(x)y1 0 及 y2P(x)y2Q(x)y2 0 从而 [C1y1 C2y2]P(x)[ C1y1 C2y2]Q(x)[ C1y1 C2y2]  C1[y1P(x)y1Q(x)y1] C2[y2P(x)y2Q(x)y2] 0 0 0 这就证明了 y C1y1(x) C2y2(x)也是方程 yP(x)yQ(x)y 0 的解 函数的线性相关与线性无关 设y1(x) y2(x)     yn(x)为定义在区间I上的n个函数 如果存在n个不全为零的常数k1 k2     kn 使得当 x I 时有恒等式 k1y1(x) k2y2(x)     knyn(x) 0 成立 那么称这 n 个函数在区间 I 上线性相关 否则称为线性无关 判别两个函数线性相关性的方法 对于两个函数 它们线性相关与否 只要看它们的比是否为常数 如果比为常数 那么它们就线性相关 否则就线性无关 例如 1 cos2x  sin2x 在整个数轴上是线性相关的 函数 1 x x2在任何区间(a, b)内是线性无高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 关的 定理 2 如果如果函数 y1(x)与 y2(x)是方程 yP(x)yQ(x)y 0 的两个线性无关的解 那么 y C1y1(x) C2y2(x) (C1、C2是任意常数) 是方程的通解 例 3 验证 y1 cos x 与 y2 sin x 是方程 yy 0 的线性无关解 并写出其通解 解 因为 y1y1cos x cos x 0 y2y2sin x sin x 0 所以 y1 cos x 与 y2 sin x 都是方程的解 因为对于任意两个常数 k1、k2 要使 k1cos x k2sin x 0 只有 k1 k2 0 所以 cos x 与 sin x 在( ,  )内是线性无关的 因此 y1 cos x 与 y2 sin x 是方程 yy 0 的线性无关解 方程的通解为 y C1cos x C2sin x 例 4 验证 y1 x 与 y2 ex是方程(x 1)yxyy 0 的线性无关解 并写出其通解 解 因为 (x 1)y1xy1y1 0 x x 0 (x 1)y2xy2y2 (x 1)ex xex ex 0 所以 y1 x 与 y2 ex都是方程的解 因为比值 e x/x 不恒为常数 所以 y1 x 与 y2 ex在( ,  )内是线性无关的 因此 y1 x 与 y2 ex是方程(x 1)yxyy 0 的线性无关解 方程的通解为 y C1x C2e x 推论 如果 y1(x) y2(x)    yn(x)是方程 y(n) a1(x)y(n 1)     an 1(x)y an(x)y 0 的 n 个线性无关的解 那么 此方程的通解为 y C1y1(x) C2y2(x)     Cnyn(x) 其中 C1 C2    Cn为任意常数 高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 二阶非齐次线性方程解的结构 我们把方程 yP(x)yQ(x)y 0 叫做与非齐次方程 yP(x)yQ(x)y f(x) 对应的齐次方程 定理 3 设 y*(x)是二阶非齐次线性方程 yP(x)yQ(x)y f(x) 的一个特解 Y(x)是对应的齐次方程的通解 那么 y Y(x) y*(x) 是二阶非齐次线性微分方程的通解 证明提示 [Y(x) y*(x)]P(x)[ Y(x) y*(x)]Q(x)[ Y(x) y*(x)]  [Y P(x)Y Q(x)Y ] [ y* P(x)y* Q(x)y*]  0 f(x) f(x) 例如 Y C1cos x C2sin x 是齐次方程 yy 0 的通解 y* x2 2 是 yy x2 的一个特解 因此 y C1cos x C2sin x x2 2 是方程 yy x2的通解 定理 4 设非齐次线性微分方程 yP(x)yQ(x)y f(x)的右端 f(x)几个函数之和 如 yP(x)yQ(x)y f1(x) f2(x) 而 y1*(x)与 y2*(x)分别是方程 yP(x)yQ(x)y f1(x)与 yP(x)yQ(x)y f2(x) 的特解 那么 y1*(x) y2*(x)就是原方程的特解 证明提示 [y1 y2*]P(x)[ y1* y2*]Q(x)[ y1* y2*]  [ y1*P(x) y1*Q(x) y1*] [ y2*P(x) y2*Q(x) y2*]  f1(x) f2(x) 高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 § 12 9 二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 ypyqy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中 p、q 均为常数 如果 y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么 y C1y1 C2y2就是它的通解 我们看看 能否适当选取 r 使 y erx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将 y erx代入方程 ypyqy 0 得 (r 2 pr q)erx  0 由此可见 只要 r 满足代数方程 r2 pr q 0 函数 y erx就是微分方程的解 特征方程 方程 r2 pr q 0 叫做微分方程 ypyqy 0 的特征方程 特征方程的两个根 r1、r2可用公式 2422 , 1qppr 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根 r1、r2时 函数xrey11、xrey22是方程的两个线性无关的解 这是因为 函数xrey11、xrey22是方程的解 又xrrxrxreeeyy)(212121不是常数 因此方程的通解为 xrxreCeCy2121 (2)特征方程有两个相等的实根 r1 r2时 函数xrey11、xrxey12是二阶常系数齐次线性微分高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 方程的两个线性无关的解 这是因为 xrey11是方程的解 又 xrxrxrxrxrxrqxeexrpexrrxeqxepxe111111)1 ()2()()()(1211 0)()2(121111qprrxeprexrxr 所以xrxey12也是方程的解 且xexeyyxrxr1112不是常数 因此方程的通解为 xrxrxeCeCy1121 (3)特征方程有一对共轭复根 r1, 2 i时 函数 y e( i)x、 y e( i)x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数 y excosx、y exsinx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解 函数 y1 e( i)x和 y2 e( i)x都是方程的解 而由欧拉公式 得 y1 e( i)x ex(cosx isinx) y2 e( i)x ex(cosx isinx) y1 y2 2excosx )(21cos21yyxex y1 y2 2iexsinx )(21sin21yyixex 故 excosx、y2 exsinx 也是方程解 可以验证 y1 excosx、y2 exsinx 是方程的线性无关解 因此方程的通解为 y ex(C1cosx C2sinx ) 求二阶常系数齐次线性微分方程 ypyqy 0 的通解的步骤为 第一步 写出微分方程的特征方程 r2 pr q 0 第二步 求出特征方程的两个根 r1、r2 第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解 例 1 求微分方程 y2y3y 0 的通解 高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 解 所给微分方程的特征方程为 r2 2r 3 0 即(r 1)(r 3) 0 其根 r11 r2 3 是两个不相等的实根 因此所求通解为 y C1e x C2e3x 例 2 求方程 y2yy 0 满足初始条件 y|x 0 4、y | x 02 的特解 解 所给方程的特征方程为 r2 2r 1 0 即(r 1)2 0 其根 r1 r21 是两个相等的实根 因此所给微分方程的通解为 y (C1 C2x)e x 将条件 y|x 0 4 代入通解 得 C1 4 从而 y (4 C2x)e x 将上式对 x 求导 得 y(C2 4 C2x)e x 再把条件 y |x 02 代入上式 得 C2 2 于是所求特解为 x (4 2x)e x 例 3 求微分方程 y2y5y 0 的通解 解 所给方程的特征方程为 r2 2r 5 0 特征方程的根为 r1 1 2i r2 1 2i 是一对共轭复根 因此所求通解为 y ex(C1cos2x C2sin2x) n 阶常系数齐次线性微分方程 方程 y(n)  p1y(n 1) p2 y(n 2)      pn 1ypny 0 称为 n 阶常系数齐次线性微分方程 其中 p1 p2      pn 1 pn都是常数 二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式 可推广到 n 阶常系数齐次线性微分方程上去 引入微分算子 D 及微分算子的 n 次多项式 L(D)=Dn  p1Dn 1 p2 Dn 2      pn 1D pn 则 n 阶常系数齐次线性微分方程可记作 高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 (Dn  p1Dn 1 p2 Dn 2      pn 1D pn)y 0 或 L(D)y 0 注 D 叫做微分算子 D0y y Dy y D2y y D3y y   Dny y(n) 分析 令 y erx 则 L(D)y L(D)erx (rn  p1rn 1 p2 rn 2      pn 1r pn)erx L(r)erx 因此如果 r 是多项式 L(r)的根 则 y erx是微分方程 L(D)y 0 的解 n 阶常系数齐次线性微分方程的特征方程 L(r) rn  p1rn 1 p2 rn 2      pn 1r pn 0 称为微分方程 L(D)y 0 的特征方程 特征方程的根与通解中项的对应 单实根 r 对应于一项 Cerx  一对单复根 r1 2  i 对应于两项 ex(C1cosx C2sinx) k重实根 r 对应于 k项 erx(C1 C2x     Ck xk 1) 一对 k 重复根 r1 2  i 对应于 2k项 ex[(C1 C2x     Ck xk 1)cosx ( D1 D2x     Dk xk 1)sinx] 例 4 求方程 y(4) 2y5y0 的通解 解 这里的特征方程为 r4 2r3 5r2 0 即 r2(r2 2r 5) 0 它的根是 r1 r2 0 和 r3 4 1 2i 因此所给微分方程的通解为 y C1 C2x ex(C3cos2x C4sin2x) 例 5 求方程 y(4) 4y 0 的通解 其中 0 解 这里的特征方程为 r4 4 0 它的根为)1 (22 , 1ir )1 (24 , 3ir 因此所给微分方程的通解为 )2sin2cos(212xCxCeyx)2sin2cos(432 xCxCex 高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 § 12 10 二阶常系数非齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程 方程 ypyqy f(x) 称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其中 p、q 是常数 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程 的通解 y Y(x)与非齐次方程本身的一个特解 y y*(x)之和 y Y(x) y*(x) 当 f(x)为两种特殊形式时 方程的特解的求法 一、 f(x) Pm(x)ex 型 当 f(x) Pm(x)ex时 可以猜想 方程的特解也应具有这种形式 因此 设特解形式为y* Q(x)ex 将其代入方程 得等式 Q(x) (2 p)Q (x) (2 p q)Q(x) Pm(x) (1)如果不是特征方程 r2 pr q 0 的根 则2 p q 0 要使上式成立 Q(x)应设为 m 次多项式 Qm(x) b0xm b1xm 1     bm 1x bm  通过比较等式两边同次项系数 可确定 b0 b1     bm 并得所求特解 y* Qm(x)ex (2)如果是特征方程 r2 pr q 0 的单根 则2 p q 0 但 2 p 0 要使等式 Q(x) (2 p)Q (x) (2 p q)Q(x) Pm(x) 成立 Q(x)应设为 m 1 次多项式 Q(x) xQm(x) Qm(x) b0xm  b1xm 1     bm 1x bm  通过比较等式两边同次项系数 可确定 b0 b1     bm 并得所求特解 y* xQm(x)ex (3)如果是特征方程 r2 pr q 0 的二重根 则2 p q 0 2 p 0 要使等式 Q(x) (2 p)Q (x) (2 p q)Q(x) Pm(x) 成立 Q(x)应设为 m 2 次多项式 Q(x) x2Qm(x) Qm(x) b0xm b1xm 1     bm 1x bm  高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 通过比较等式两边同次项系数 可确定 b0 b1     bm  并得所求特解 y* x2Qm(x)ex 综上所述 我们有如下结论 如果 f(x) Pm(x)ex 则二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqy  f(x)有形如 y* xk Qm(x)ex 的特解 其中 Qm(x)是与 Pm(x)同次的多项式 而 k 按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为 0、1 或 2 例 1 求微分方程 y2y3y 3x 1 的一个特解 解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程 且函数 f(x)是 Pm(x)ex型(其中 Pm(x) 3x 1  0) 与所给方程对应的齐次方程为 y2y3y 0 它的特征方程为 r2 2r 3 0 由于这里 0 不是特征方程的根 所以应设特解为 y* b0x b1 把它代入所给方程 得  3b0x 2b0 3b1 3x 1 比较两端 x 同次幂的系数 得 13233100bbb  3b0 3  2b0 3b1 1 由此求得 b01 311b 于是求得所给方程的一个特解为 31* xy 例 2 求微分方程 y5y6y xe2x的通解 解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 且 f(x)是 Pm(x)ex型(其中 Pm(x) x  2) 与所给方程对应的齐次方程为 y5y6y 0 它的特征方程为 高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 r2 5r  6 0 特征方程有两个实根 r1 2 r2 3 于是所给方程对应的齐次方程的通解为 Y C1e2x C2e3x  由于 2 是特征方程的单根 所以应设方程的特解为 y* x(b0x b1)e2x 把它代入所给方程 得  2b0x 2b0 b1 x 比较两端 x 同次幂的系数 得 0212100bbb  2b0 1 2b0 b1 0 由此求得210b b11 于是求得所给方程的一个特解为 xexxy2) 121(* 从而所给方程的通解为 xxxexxeCeCy223221)2(21 提示 y* x(b0x b1)e2x (b0x2 b1x)e2x [(b0x2 b1x)e2x][(2b0x b1) (b0x2 b1x) 2]e2x [(b0x2 b1x)e2x][2b0 2(2b0x b1) 2 (b0x2 b1x) 22]e2x y*5y*6y* [(b0x2 b1x)e2x]5[(b0x2 b1x)e2x]6[(b0x2 b1x)e2x]  [2b0 2(2b0x b1) 2 (b0x2 b1x) 22]e2x 5[(2b0x b1) (b0x2 b1x) 2]e2x 6(b0x2 b1x)e2x  [2b0 4(2b0x b1) 5(2b0x b1)]e2x [ 2b0x 2b0 b1]e2x 方程 ypyqy ex[Pl (x)cosx Pn(x)sinx]的特解形式 应用欧拉公式可得 ex[Pl(x)cosx Pn(x)sinx] 高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 ]2)(2)([ ieexPeexPexixinxixilx xinlxinlexiPxPexiPxP)()()]()([21)]()([21 xixiexPexP)()()()( 其中)(21)(iPPxPnl )(21)(iPPxPnl 而 m max{ l n} 设方程 ypyqy P(x)e( i)x的特解为 y1* xkQm(x)e( i)x 则)(1)(*imkexQxy必是方程)()(iexPqyypy的特解 其中 k按 i不是特征方程的根或是特征方程的根依次取 0 或 1 于是方程 ypyqy ex[Pl(x)cosx Pn(x)sinx]的特解为 ximkximkexQxexQxy)()()()(* )sin)(cos()sin)(cos([xixxQxixxQexmmxk  xk ex[R(1)m(x)cosx R(2)m(x)sinx] 综上所述 我们有如下结论 如果 f(x) ex [Pl(x)cosx Pn(x)sinx] 则二阶常系数非齐次线性微分方程 ypyqy f(x) 的特解可设为 y* xk ex[R(1)m(x)cosx R(2)m(x)sinx] 其中 R(1)m(x)、R(2)m(x)是 m 次多项式 m max{ l n} 而 k 按 i (或 i)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取 0 或 1 例 3 求微分方程 yy xcos2x 的一个特解 解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 且 f(x)属于 ex[Pl(x)cosx Pn(x)sinx]型(其中 0  2 Pl(x) x Pn(x) 0） 与所给方程对应的齐次方程为 yy 0 它的特征方程为 r2 1 0 高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 由于这里 i 2i 不是特征方程的根 所以应设特解为 y* (ax b)cos2x (cx d )sin2x 把它代入所给方程 得 ( 3ax 3b 4c)cos2x (3cx 3d 4a)sin2x xcos2x 比较两端同类项的系数 得 31a b 0 c 0 94d 于是求得一个特解为 xxxy2sin942cos31* 提示 y* (ax b)cos2x (cx d)sin2x y*acos2x 2(ax b)sin2x csin2x 2(cx d)cos2x  (2cx a 2d)cos2x ( 2ax 2b c)sin2x y*2ccos2x 2(2cx a 2d)sin2x 2asin2x 2( 2ax 2b c)cos2x  ( 4ax 4b 4c)cos2x ( 4cx 4a 4d)sin2x y* y* ( 3ax 3b 4c)cos2x ( 3cx 4a 3d)sin2x 由0340304313daccba 得31a b 0 c 0 94d § 12 12 微分方程的幂级数解法 当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时 我们就要寻求其它解法 常用的有幂级数解法和数值解法 本节我们简单地介绍微分方程的幂级数解法 求一阶微分方程),(yxfdxdy满足初始条件00|yyxx的特解 其中函数 f(x y)是(x x0)、 (y y0)的多项式 f(x y) a00 a10(x x0) a01(y y0)     aim (x x0)l(y y0)m 这时我们可以设所求特解可展开为 x x0的幂级数 高等数学教案 § 12 微分方程 内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 y y0 a1(x x0) a2(x x0)2     an(x x0)n     其中 a1 a2     an     是待定的系数 把所设特解代入微分方程中 便得一恒等式 比较这恒等式两端 x x0的同次幂的系数 就可定出常数 a1 a2     从而得到所求的特解 例 1 求方程2yxdxdy满足 y|x 0 0 的特解 解 这时 x0 0 y0 0 故设 y a1x a2x2 a3x3 a4x4     把 y 及 y 的幂级数展开式代入原方程 得 a1 2a2x 3a3x2 4a4x3 5a5x4     x (a1x a2x2 a3x3 a4x4    )2  x a12x2 2a1a2x3 (a22 2a1a3)x4     由此 比较恒等式两端 x 的同次幂的系数 得 a1 0 212a a3 0 a4 0 2015a     于是所求解的幂级数展开式的开始几项为 2012152xxy 定理 如果方程 yP(x)yQ(x)y 0 中的系数 P(x)与 Q(x)可在 R