第9章薄板的小挠度弯曲问题及经典解法章节讲课.ppt

第一节第一节 有关概念及计算假定有关概念及计算假定有关概念及计算假定有关概念及计算假定 第二节第二节 弹性曲面微分方程弹性曲面微分方程弹性曲面微分方程弹性曲面微分方程 第三节第三节 薄板横截面上的内力及应力薄板横截面上的内力及应力薄板横截面上的内力及应力薄板横截面上的内力及应力 第四节第四节 边界条件边界条件边界条件边界条件 扭矩的等效剪力扭矩的等效剪力扭矩的等效剪力扭矩的等效剪力 第五节第五节 简简简简 单单单单 例例例例 题题题题 第六节第六节 四边简支矩形薄板的重三角级数解四边简支矩形薄板的重三角级数解四边简支矩形薄板的重三角级数解四边简支矩形薄板的重三角级数解 第七节第七节 矩形薄板的单三角级数解矩形薄板的单三角级数解矩形薄板的单三角级数解矩形薄板的单三角级数解 1章节课件§9-1 有关概念及计算假定有关概念及计算假定 图9-1（（1））板板 两个平行面与垂直于该平面的棱柱面所围成的物体称为两个平行面与垂直于该平面的棱柱面所围成的物体称为平板，简称板平板，简称板2））中面中面 平分板厚度平分板厚度d d的平面称为中面。

的平面称为中面3））弹性曲面弹性曲面 板弯曲时中面所形成的曲面板弯曲时中面所形成的曲面 2章节课件（（4））挠度挠度 中面在中面在 z方向上的位移方向上的位移 （（5））薄板薄板 板的厚度板的厚度d d远小于中面的最小尺寸远小于中面的最小尺寸 b3））弹性曲面弹性曲面 板弯曲时中面所形成的曲面板弯曲时中面所形成的曲面如小于（如小于b/8至至b/5 ）的平板 将板受到的一般荷载分解为两种：将板受到的一般荷载分解为两种：作用于中面之内的荷载（平面应力问题）作用于中面之内的荷载（平面应力问题）垂直于中面的荷载（板的弯曲问题）垂直于中面的荷载（板的弯曲问题）￿ ￿板的弯曲刚度较大，板的挠度远小于其厚度板的弯曲刚度较大，板的挠度远小于其厚度 （（1）形变分量）形变分量 、、 、、 都可以不计都可以不计 3章节课件1）由几何方程，）由几何方程， ，知，知 即在垂直于中面的任一法线即在垂直于中面的任一法线上，薄板全厚度内各点的挠度相同上，薄板全厚度内各点的挠度相同 2）由几何方程，）由几何方程， ，， ，得，得 ， （9-1） （（2）） 引起的形变可以不计。

引起的形变可以不计 由物理方程（由物理方程（7-12），有：），有：（9-2） 即薄板小挠度弯曲问题的物理方程和薄板平面应力问题的物理方程相同即薄板小挠度弯曲问题的物理方程和薄板平面应力问题的物理方程相同 4章节课件（（3）薄板中面内各点都没有平行于中面的位移）薄板中面内各点都没有平行于中面的位移，（9-3） 、、 、、 即投影保持形状不变即投影保持形状不变 、、5章节课件§9-2 弹性曲面微分方程弹性曲面微分方程 按位移求解，基本未知量按位移求解，基本未知量 将假定（将假定（1），即式（），即式（9-1）对）对z积分：积分： ，应用假定（应用假定（3），即式（），即式（9-3），有：），有： ，， ，即，即，（a） 6章节课件（（1）由物理方程（）由物理方程（9-2）式解得应力分量：）式解得应力分量： ，， （b） （（2））用用w表示应力分量表示应力分量s sx、、s sy、、t txy 将（将（a）式代入（）式代入（b）式，有）式，有 （9-4） 7章节课件（（3））用用w表示应力分量表示应力分量t tzx、、t tzy 由空间问题的平衡方程（由空间问题的平衡方程（7-1）式的第一式有（令）式的第一式有（令fx=fy=0）：）： ，将（，将（9-4）式代入，有：）式代入，有： 由边界条件由边界条件 ，有，，有， 即有：即有： 同理，有：同理，有： 8章节课件（9-5） （（4））用用w表示应力分量表示应力分量s sz 由平衡方程（由平衡方程（7-1）式的第三式有（取）式的第三式有（取 fz=0）：）： （c） 若体力不为零，可把薄板单位面积内的体力及面力归入薄板上面的若体力不为零，可把薄板单位面积内的体力及面力归入薄板上面的面力，并用面力，并用 q表示。

表示 （d） 9章节课件由于由于 、、 ，将（，将（9-5）式代入（）式代入（c）式，）式， 在薄板下面，边界条件在薄板下面，边界条件 （面力已等效），可得：（面力已等效），可得： 回代（回代（e）式，有：）式，有：（9-6） 10章节课件（（1）在薄板上边界，）在薄板上边界， ，，q薄板单位面积内的薄板单位面积内的横向荷载横向荷载，，包括横向面力及体力包括横向面力及体力 （（2）将（）将（9-6）式代入上式，有：）式代入上式，有：其中其中: 称为薄板的称为薄板的弯曲刚度弯曲刚度，它的量纲是：，它的量纲是：L2MT-2 （9-7） （9-8） （9-9） 11章节课件方程（方程（9-8）称为薄板的）称为薄板的弹性曲面微分方程是薄板弯曲问题的基本是薄板弯曲问题的基本微分方程具体求解时要考虑（板边上）薄板侧面的边界条件微分方程具体求解时要考虑（板边上）薄板侧面的边界条件 §9-3 薄板横截面上的内力及应力薄板横截面上的内力及应力 一般情况下，很难使应力分量精确满足边界条件，应用圣维南原一般情况下，很难使应力分量精确满足边界条件，应用圣维南原理，应使应力组成的内力整体地满足边界条件。

理，应使应力组成的内力整体地满足边界条件图9-2取出平行六面体取出平行六面体dxdyd d 1）在）在x为常量的截面上，作用有为常量的截面上，作用有s sx、、 t txz、、t txy 由于应力分量由于应力分量s sx和和t txy都与都与 z成成正比，全截面上其合力为零，只能合正比，全截面上其合力为零，只能合成为弯矩和扭矩成为弯矩和扭矩 1）弯矩（沿）弯矩（沿y方向取单位宽度）由方向取单位宽度）由s sx合成：合成： 12章节课件将（将（9-4）式中的第一式代入，对）式中的第一式代入，对z积分，有：积分，有： （a） 2）扭矩由）扭矩由t txy合成：合成： （b） 将（将（9-4）式中的第三式代入，对）式中的第三式代入，对z积分，有：积分，有： 13章节课件3）横向剪力（由）横向剪力（由t txz合成）合成） （c） 将（将（9-5）式中的第一式代入，对）式中的第一式代入，对z积分，有：积分，有： （（2）同样在）同样在y为常量的截面上，每单位宽度内的为常量的截面上，每单位宽度内的s sy、、t tyx、、t tyz也分别也分别合成为如下的弯矩、扭矩和横向剪力：合成为如下的弯矩、扭矩和横向剪力： （d）14章节课件（e）（f）（（3）利用（）利用（9-9）式，各个内力的表达式可以简写为：）式，各个内力的表达式可以简写为： （9-10），，15章节课件图9-3 薄板内力的正负方向的规定，是从应力的正负方向的规定得出：正的应力合成的主矢量为正，正的应力乘以正的矩臂合成的主矩为正；反之为负。

薄板内力的正方向如图9-3所示 16章节课件由式（9-4）至（9-6）及（9-10）式，有：（9-11），，， （（1）上述各内力分量均为薄板单位宽度上的内力，弯矩、扭矩）上述各内力分量均为薄板单位宽度上的内力，弯矩、扭矩的量纲为的量纲为LMT-2，横向剪力的量纲是，横向剪力的量纲是MT-2 17章节课件 （（2）一定荷载引起的）一定荷载引起的弯应力弯应力和和扭应力扭应力数值上最大，是主要数值上最大，是主要的应力；的应力；横向剪应力横向剪应力数值较小，是次要的应力；数值较小，是次要的应力；挤压应力挤压应力数数值更小，是更次要的应力所以计算薄板内力时，主要计算值更小，是更次要的应力所以计算薄板内力时，主要计算弯矩和扭矩，横向剪力无须计算弯矩和扭矩，横向剪力无须计算 （（3）应用时可查相关手册，若是双向配筋时，扭矩的影响）应用时可查相关手册，若是双向配筋时，扭矩的影响也可不考虑也可不考虑18章节课件§9-4 边界条件边界条件 扭矩的等效剪力扭矩的等效剪力 矩形薄板，矩形薄板，OC边简支；边简支；OA边固支；边固支；AB和和BC边自由 图9-41. 固支边固支边，，OA边（边（x = 0）） （9-13） 2. 简支边简支边，，OC边边 （（y = 0）） （a） （b） （（1）无外力作用时：）无外力作用时：19章节课件若（若（a）第一条件满足，则）第一条件满足，则w在在OC边上处处为零，则边上处处为零，则 ，故，故 （9-14） （（2）若在）若在OC边上作用有分布力矩边上作用有分布力矩M（为（为x的函数）时，则（的函数）时，则（b））式及（式及（9-14）的第二式为：）的第二式为： （b’） 3. 自由边自由边，，AB边边 （（y = b）） （（1）薄板的弯矩、扭矩和横向剪力都应为零，即：）薄板的弯矩、扭矩和横向剪力都应为零，即： 20章节课件 （c），，（（2）薄板边上的扭矩可以变换为等效的横向剪力，即扭矩的等效）薄板边上的扭矩可以变换为等效的横向剪力，即扭矩的等效剪力。

总的分布剪力是：剪力总的分布剪力是： 图9-521章节课件角点角点A、、B处的集中剪力（集中反力）为：处的集中剪力（集中反力）为： （d），则边界条件（则边界条件（c）变为：）变为： ，（e）由式（由式（9-10）可知，自由边）可知，自由边AB的边界条件为：的边界条件为：（9-15） 4. 自由边自由边，，BC边边 （（x = a）） 同样，有总的分布剪力是：同样，有总的分布剪力是： 22章节课件（9-16）角点角点C、、B处的集中剪力（集中反力）为：处的集中剪力（集中反力）为： （f），则边界条件可变换为：则边界条件可变换为： （g），由式（由式（9-10）可知，自由边）可知，自由边BC的边界条件为：的边界条件为：（9-17） 23章节课件在两边相交的点，如在两边相交的点，如B点，总的集中反力是点，总的集中反力是 由式（由式（9-10）第三式，可知：）第三式，可知：（9-18） 集中剪力或集中反力的正负号决定于角点处的扭矩的正负号，而不能另行规定据此，A点和C点处的剪力以沿z轴的正方向为正，而O点和B点处的剪力以沿 z轴的负向时为正。

如果点如果点B是自由边是自由边AB和自由边和自由边BC的交点，而点的交点，而点B并没有任何支并没有任何支柱对薄板施以此向集中力，则应有柱对薄板施以此向集中力，则应有FRB=0 ，亦即：，亦即： 24章节课件如果点如果点B处有支柱阻止挠度发生，则交点条件应为：处有支柱阻止挠度发生，则交点条件应为： 而支柱对薄板所施加的反力按式（而支柱对薄板所施加的反力按式（9-18）计算9-19） （9-20） 25章节课件§9-5 简简 单单 例例 题题 设有椭圆形薄板，图设有椭圆形薄板，图9-6，其边界，其边界方程是方程是图9-6（a） （b） 试取挠度的表达式为试取挠度的表达式为由式（由式（b）及式（）及式（a）可见，在薄板的边界上有）可见，在薄板的边界上有w = 0 ，同时也有，同时也有 26章节课件为了式（为了式（b）能满足边界条件，薄板的边界必须是夹支边能满足边界条件，薄板的边界必须是夹支边 将式（将式（b）代入弹性曲面微分方程（）代入弹性曲面微分方程（9-8），得），得（c） 因为因为m是常数，所以是常数，所以 q也必须是常数，可见薄板所受的荷载必须也必须是常数，可见薄板所受的荷载必须是均布荷载，即是均布荷载，即q=q0，由（，由（c）式求出）式求出m，再代入式（，再代入式（b），得），得 27章节课件再按照式（再按照式（9-10）求内力，由式（）求内力，由式（d）得到弯矩）得到弯矩 （d） （e） （f） 28章节课件对于对于O点及点及A点，图点，图9-6，得到，得到 ，对于对于O点及点及B点，图点，图9-6，得到，得到（g）29章节课件（h）假定假定a > b，则上两式求出的是薄板中的最大及最小弯矩，变化见图，则上两式求出的是薄板中的最大及最小弯矩，变化见图9-6。

命命a趋于无穷大，薄板变成跨度为趋于无穷大，薄板变成跨度为2b的平面应变情况下的固端的平面应变情况下的固端梁，可得梁，可得在梁的中央及两端，弯矩分别为在梁的中央及两端，弯矩分别为， 同材力解答同材力解答30章节课件对圆板（对圆板（a = b），弯矩、扭矩及横向剪力的最大绝对值分别为），弯矩、扭矩及横向剪力的最大绝对值分别为 ，，而应力分量的最大绝对值为而应力分量的最大绝对值为，，31章节课件 设有四边简支的矩形薄板，图设有四边简支的矩形薄板，图9-7，其交点，其交点B由于支承构件的沉由于支承构件的沉陷而发生挠度陷而发生挠度wB=z z，则，则BC边及边及AB边保持为直线，而它们的挠度为边保持为直线，而它们的挠度为 （i），在该两边处，还有边界条件在该两边处，还有边界条件， （j）在在OA边及边及OC边，边界条件为边，边界条件为（k）32章节课件取薄板挠度的表达式为取薄板挠度的表达式为:（l） 则有则有 （m） 33章节课件交点交点B处的集中反力为处的集中反力为 可见，薄板在可见，薄板在B点处受有与点处受有与z方向相同的反力（向上为正）。

同方向相同的反力（向上为正）同样，薄板在样，薄板在O点处受有与点处受有与z方向相同的反力，并在方向相同的反力，并在A点及点及C点还受有点还受有同样大小的与同样大小的与z反向的反力（向下为正）反向的反力（向下为正） 34章节课件§9-6 四边简支矩形薄板的重三角级数解四边简支矩形薄板的重三角级数解 对四边简支的矩形薄板，图对四边简支的矩形薄板，图9-7，边界条件是，边界条件是 图9-7（a） 纳维把挠度的表达式取为如下的重三角级数，求得了重三角级数解纳维把挠度的表达式取为如下的重三角级数，求得了重三角级数解35章节课件（b） 能满足（能满足（a）的全部边界条件的全部边界条件为求系数为求系数Amn，将式（，将式（b）代入微分方程（）代入微分方程（9-8），得：），得： （c） 将上式右边的将上式右边的q=q(x ,y)展开为重三角级数：展开为重三角级数： （d） 36章节课件（e） （f） 由傅里叶级数的展开公式，有由傅里叶级数的展开公式，有代回式（代回式（b），可求得系数），可求得系数 对上式中分子进行积分，求出对上式中分子进行积分，求出Amn，再代入（，再代入（b）式，即可求出）式，即可求出挠度挠度w的表达式，再应用式（的表达式，再应用式（9-10）便可求得内力。

便可求得内力 37章节课件当薄板受均布荷载当薄板受均布荷载q = q0时，式（时，式（e）中的积分成为）中的积分成为: 由式（由式（f）求得）求得38章节课件或或代入（代入（b）式，即可求出挠度）式，即可求出挠度w的表达式的表达式（g） 再应用式（再应用式（9-10）可求得内力可求得内力39章节课件 当薄板的任意一点（当薄板的任意一点（x x，，h h）受集中荷载）受集中荷载F时，可以用微分面积时，可以用微分面积上的均布荷载上的均布荷载F/dxdy来代替分布荷载于是，（来代替分布荷载于是，（e）式中的）式中的q除了在除了在点（点（x x，，h h）处的微分面积上等于）处的微分面积上等于F/dxdy以外，其余各处都等于零以外，其余各处都等于零e）式成为：）式成为： 代入（代入（b）式，即可求出挠度）式，即可求出挠度w的表达式：的表达式：40章节课件（g） 由此可以用式（由此可以用式（9-10）求得内力求得内力41章节课件§9-7 矩形薄板的单三角级数解矩形薄板的单三角级数解 对于有两个对边简支的矩形薄板，图对于有两个对边简支的矩形薄板，图9-8，可求得单三角奇数解。

可求得单三角奇数解 图9-8莱维把挠度的表达式取为如下的单三角级数：莱维把挠度的表达式取为如下的单三角级数：（a） 级数（级数（a）能满足）能满足 x = 0及及 x = a两边的边界两边的边界条件，即：条件，即： ，，，故只须选择函数故只须选择函数Ym，使式（，使式（a）能满足弹性曲面的微分方程）能满足弹性曲面的微分方程 42章节课件 （b） 并在并在 y =±b/2的两个边上满足边界条件的两个边上满足边界条件 将式（将式（a）代入式（）代入式（b），得），得将上式右端的将上式右端的q/D展开成级数，由傅里叶级数的展开公式得展开成级数，由傅里叶级数的展开公式得: 与式（与式（c）对比，有）对比，有 （c） （d） 43章节课件常微分方程的解是：常微分方程的解是： 设图设图9-7中的矩形板是四边简支的，受有均布荷载中的矩形板是四边简支的，受有均布荷载q=q0此时，微分方程（微分方程（d）的右边成为：）的右边成为：（e） 微分方程（微分方程（d）的特解为：）的特解为： 代入式（代入式（e），由于对称，挠度），由于对称，挠度w应是的应是的 y偶函数，故有偶函数，故有 Cm=0，，Dm=0，即得：，即得： 44章节课件（f） 由于由于 y =±b/2的两个边也是简支边，边界条件为的两个边也是简支边，边界条件为：：，将式（将式（f）代入上式，可得求）代入上式，可得求Am 、、 Bm的联立方程的联立方程 45章节课件以及以及其中其中 。

由此可求出系数：由此可求出系数： ，以及以及， 将求出的系数代入（将求出的系数代入（f）式，即可求出）式，即可求出挠度度w的最后表达式的最后表达式46章节课件据此可进一步求出内力据此可进一步求出内力1）重三角级数解）重三角级数解：方法简单方便、只适用于四边简支矩形板、级数收敛慢2）单三角级数解）单三角级数解：方法较为复杂、适用于一般边界情况、级数收敛快 47章节课件。