与矩形相关的折叠问题解答方法.doc

与矩形相关的折叠问题金山初级中学庄士忠201508将矩形按不同要求进行折叠，就会产生丰富多彩的几何问题，而这些问题中往往融入了丰富的对称思想，综合了三角形、四边形的诸多知识，千变万化，趣味性强，同时也是矩形和角平分线、勾股定理等知识的结合与拓展折叠是轴对称的另一种描述，因此，在折叠问题中找到折痕即对称轴就是解决此类问题一个突破口下面从几个不同的层面展示一下一、求角度例1、如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C，D的位置上，EC€交AD于点G.已知ZEFG，58°那么/BEG，解析：根据矩形的性质AD〃BC,有ZEFG=ZFEC=58°,人CA再由折叠可知，ZFEC=ZCZEF=58°，由此得ZBEG=64°G例2、将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC、BD为折痕，则ZCBD的度数为().(A)60°(B)75°(C)90°(D)95°分析:在这个问题中是利用折叠矩形的两个角给大家提供条件的，那么折痕BC和折痕BD就充当了角平分线的角色，即ZABC=ZA/BC,ZEBD=ZE/BD二、求线段长度例3、如图，四边形ABCD为矩形纸片.把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF.若CD=6,则AF等于()(A)43(B)33(C)42(D)8解析：由折叠可知，AE=AB=DC=6，在RtAADE中AD=6,DE=3由勾股定理，得AD=33，设EF=x,贝VFC=33-x，在RtAEFC中由勾股定理求得x=23,则EF=23，在Rt^AEF中，由勾股定理得AF=43。

故选A分析：在矩形折叠问题中，求折痕等线段长度时，往往利用轴对称性转化相等的线段，再借助勾股定理构造方程来解决三、求图形面积例4、如图，将长为20cm，宽为2cm的长方形白纸条，折成右图并在其一面着-色，则着色部分的面积为()A.34cm2B.36cm2C.38cm2D.40cm2解析：折叠后重合部分为直角三角形，其面积为2X2X2€2，因此着色部分的面积=长方形纸条面积一两个重合部分三角形的面积，即20X2—2X2=36(cm2)分析：可以用动操作加强感性认识，注意重叠部分的计算方法四、说明数量及位置关系例5、如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连结AE.E证明：(1)BF€DF.(2)AE〃BD.a分析：(1)欲证明BF=DF，只需证ZFBD=ZFDB；F(2)欲证明AE〃BD，贝帰证,AEB=,DBE由折叠可知DC=ED=AB，BC=BE=AD，又因为AE=AE，得厶AEB^^EAD，所以ZAEB=ZEAD，所以ZAEB=!(180°-ZAFE),2而ZDBE=!(180°-ZBFD)因此,AEB=,dbE2解：(1)由折叠可知，ZFBD=ZCBD因为AD〃BC,所以ZFDB=ZCBD所以ZFBD=ZFDB・•・BF€DF2)因为四边形ABCD是矩形所以AB=DC，AD=BC由折叠可知DC=ED=AB，BC=BE=AD又因为AE=AE所以△AEB^AEAD，所以ZAEB=ZEAD，所以ZAEB=!(180°-ZAFE)，2而ZDBE=!(180°-ZBFD)，ZAFE=ZBFD2所以,AEB€,DBE所以AE〃BD五、判断图形形状例6、如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落f在E处，BE与AD相交于点0。

A|0/\DbE—C(1) 由折叠可得△BCD竺ABED，除此之外，图中还存在其他的全等三角形，请你找出来2) 图中有等腰三角形吗？请你找出来3) 若AB=6,BC=8,则O点到BD的距离是分析：在这一折叠的过程中，因为是与全等有关的，所以除了像例1一样提供了角的等量关系之外，边的相等是更重要的问题(1)好解决，进而由全等三角形的对应边相等可以说明(2)的结论是等腰△OBD另外，还可以从另一个角度分析由折痕BD可以找到ZOBD=ZCBD，由于在矩形中，AD〃BC,ZODB=ZCBD，经过等量代换ZOBD=ZODB，然后等角对等边OB=OD这是在矩形中折叠比较常见的“角平分线和平行线同时并存”的条件，结论就会出现“等角对等边”的等腰三角形问题(3)跟计算线段长度有关，这也是勾股定理在折叠中要发挥作用的一类题目因为AD=BC,BC=BE,因此在△ABO中可以设AO=x,则BO=OD=8—x,因为AB=6,即可以列勾股定理的等式:AB2+AO2=BO2进行计算了下面的这个题目就是用这个思路解决的大家可以尝试一下例7、一个矩形纸片如图折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF1)找出图中全等的三角形，并证明。

2)重合部分是什么图形？证明你的结论3)连接BE,并判断四边形BEDF是什么特殊四边形，BD与EF有什么关系？并证明分析:此题的折叠不仅有前面几个问题中线段和角的对应相等，而且在折叠的过程中隐藏着EF垂直平分BD,这对于第三问中四边形形状的判断，有着重要的作用，这仍然是轴对称的性质利用这些条件易证明△EOD竺ABOF,则有ED=BF,且ED〃BF,首先四边形EBFD是平行四边形，由于BD、EF互相垂直，所以就可说明四边形EBFD是菱形例8、如图，将一组对边平行的纸条沿EF折叠，点A、B分别落在A'、B'处，线段FB'与AD交于点M.(1) 试判断Amef的形状，并说明你的理由；(2) 如图，将纸条的另一部分CFMD沿MN折叠，点C、D分别落在C'、D'处，且使MD'经过点F,试判断四边形MNFE的形状，并说明你的理由；(3) 当ZBFE=度时，四边形MNFE是菱形.分析：(1)由折叠可知ZMFE=ZEFB,再由ZMEF=ZEFB得ZMEF=ZMFE，所以ME=MF，因此AMEF为等腰三角形；(2)由(1)ME=MF，同理MF=NF，所以ME=NF，再由ME〃NF得四边形MNFE为平行四边形3)若四边形MNFE是菱形，则ME=EF，由ME=MF得ME=MF=EF，△EFM是等边三角形，所以ZMFE=60°，由折叠知ZBFE=ZMFE=60°O解：(1)AMEF为等腰三角形理由：因为AD〃BC所以ZMEF=ZEFBA,A,由折叠可知ZMFE=ZEFB,所以ZMEF=ZMFEDMEADME7所以ME=MFCFBCNFD'B所以AMEF为等腰三角形D(2) 四边形MNFE为平行四边形C'理由：因为ME=MF，同理NF=MF所以ME=NF因为ME#NF所以四边形MNFE为平行四边形(3) 60。

说明：矩形的折叠，主要是通过折叠图形构造的图形的轴对称性来解决问题由于折叠前后折叠部分图形的形状、大小不变，因此利用轴对称性，可以转化相等的线段，相等的角等关系六、综合运用例&如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处已知折叠CE€5J5，且tanZEDA=34(1)判断△00厂与厶ADE是否相似？请说明理由；(2)求直线CE与x轴交点P的坐标；(3)是否存在过点D的直线/,使直线/、直线CE与x轴所围成的三角形和直线/、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由解：(1)△OCD与厶ADE相似理由如下：由折叠知，ZCDE=Z.B=90°，・•・Z1,Z2€90°，・•・△OCDADEZ1+Z3=90，・Z2=Z3.又JZCOD=ZDAE=90°，\*CD2,DE2=CE2,AE=3,点C的坐标为（0,8）,AE3(2)*.*tan€EDA==,・•设AE=3t，则AD=4tAD4由勾股定理得DE=5t・•・OC=AB=AE,EB二AE,DE二3t,5t二8t。

OCCD由(1)'OCDADE,得0-=一ADDE8tCD=,・•・CD二101在△DCE中,4t5t・・・(10t)2,(5t)2二(5j5)2,解得t=1・・・0C=8,点E的坐标为（10,3）,设直线CE的解析式为y=kx+b,丄••y———x+8,k=_丄，丿22b—&则点P的坐标为（16,0）3）满足条件的直线l有2条：y=—2x+12,y=2x—12如图：准确画出两条直线总之，由于矩形本身所独有的特征，例如直角、对角线相等这些区别于普通平行四边形的特征，使得折叠在矩形中会产生奇妙的结果，只要大家用心体会，善于总结归纳，一定会从中发现很多美妙的结论！。