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基于奇异基本矩阵求解法三维物体重建【摘要】本文介绍了目前常用的基本矩阵求解技术，并 提出新的求解方法；通过对一个墙面进行三维重构，证明了 新的方法的有效性关键词】三维物体重建；八点算法；基本矩阵；求解 法一、现阶段基本矩阵的估计技术对于一个给定的匹配关系集合，可以用集合中的匹配点 估计出基本矩阵，估计技术平等地“看待”每对匹配点，认 为它们均是正确的匹配关系常用的估计算法有七点算法和 八点算法，后者最为常用一）八点算法八点算法是Longuet-Higgins首先提出的，原本用来计 算本质矩阵，这一算法后来被推广到计算基本矩阵，它是线 性运算，计算简单、速度快假如我们检测到的每一组图像特征点绝对精确，匹配结 果也完全正确，那么无论A包含了多少个点，它的秩一定是 8,但是实际上，由于特征点检测的位置不准确、存在误匹 配等原因，A的秩总是9, AFs=0无解析解，这时用最小二乘 法来求出使II AFs II最小的解，同时满足约束II F II =1,最小二乘解就是ATA的最小奇异值对应的向量，也可以对A进行奇异值 分解得到A=UDVT,取V的最后一列，这样求得的解满足约 * II F II=1,同时使II AFs II最小。

然后将Fs还原为即可，是基 本矩阵的最初值二）规一化的八点算法八点算法计算简单，缺点是对噪声敏感，对于这个批 评，Richard I. Hartley于1997发表论文认为：八点算法 对噪声敏感是因为矩阵A条件数不好，是个病态矩阵，他提 出在使用矩阵A计算F之前，先通过平移和各向缩放变换使 数据规一化规一化的思路：首先对图像中的坐标进行平移使点集的 质心移到原点；其次对坐标系进行缩放，各个不同的坐标方 向均选择相同的缩放因子，使点（x, y, z） T到质心的平均 距离等于，这就使得缩放后的点（x, y, z） T中的x、y和 z总体上有一样的平均值，意味着所有点的坐标的平均位置 为（1, 1, 1） To具体算法如下：假设两幅图像I和"各自对应的特征 点集是S和Sz , P和P‘是S和S中一组匹配点pes, p‘ SZ , S 和S中包含的匹配点对多于8组且这些匹配点对不位于 同一个平面上二、改进的奇异基本矩阵求解法下面给出一个直接求解奇异基本矩阵的算法，本论文在 实验过程中就使用了这种方法，算法思路是：设F=f= (f f f f f f f f f),在满足 det (F)二0 和 II f II =1 的两个约束条件下，求解F使II Af II最小，这样求出的F自 然是奇异的，并把解出的F作为初值进一步迭代优化。

由于det (F) =0是三次约束，所以不能用线性的非迭 代算法直接求初值F,但是仍然能够找到一个比较简单的算 法任何一个奇异矩阵，包括基本矩阵，可以写成F=[e]xM, 其中M是一个非奇异矩阵，[eh是第一幅图像上的极点的反 对称矩阵现在要计算F二[e]xM且满足II f II =1,由于基本 矩阵F是用F二[e]xM求得的，[e]x的秩为2, M的秩为3, 所以F的秩为2, det (F) =0约束自动满足在F=[e]xM中， e和M均未知，先假设e已知，将F =[e]xM改写成下列形式:f=E ・ m,其中 F二，M二，[e]= E=, f=(ffffffff f) m= (mmmmmmmmm)由于f二E • m,原最小化问题就变成了：在约束条 件 II Em II=1下最小化II AEm II , A就是公式4. 14中的NX9矩阵,解决这个问题的算法如下:首先，对E奇异值分解：E=UDAT,其中对角矩阵D的非 零奇异值排列在零值前面其次，将U的前【列构成矩阵U‘，r=rank (K)再次，用奇异值分解求使II AUZ f‘ II最小化的且满足II fZ 11=1 的 f 0最后，令f=U‘ f‘，f就是需要的解，用f可以组成F。

按照上述方法解出了 F的初值后，还要做迭代优化 奇异基本矩阵求解法的全部步骤如下：第一，利用规一化算法，求出基本矩阵的第一个近似值 F0,然后求出极点eO, F0的作用只是求出eO,与后面的计 算无关第二，用极点eO构建出E0,在约束条件下II EOm II =1 最小化II AEOm II ,约束det (Fl) = 0自动满足，用前面给出 的算法求出fl二E0 • mo第三，用fl组成F1,求出el,以便于下一次求f2使 用第四，计算误差e 0= II AEOm II ,如果& 0比较大，就循 环到第二步再一次计算f2,这样迭代的变化ei、fi以便最 小化e 0,整个迭代过程使用Levenberg-Marquardt算法最后求出的就是最优化的解，它满足def (F) =0 和II F II =1两个约束条件三、实例验证为了检测奇异基本矩阵求解法的效果，本文重建了一个 三维墙面，先使用普通数码相机拍摄了两张图片，图像如下:a)左图像(b)右图像图1两幅匹配图像(a) (b)两幅图中一共找到86个配对角点，重建三维 墙面就是以这些配对角点为输入基本信息而展开的逆向工 程，其中最关键的步骤就是使用86对角点求解基本矩阵， 我们使用本文提出的奇异基本矩阵求解法计算基本矩阵，然 后求解本质矩阵、摄像机运动参数等等，最后得到三维墙面 结构图如下：(a)三维墙面(b)旋转后的三维墙面(c)贴图后的三维墙面(d)旋转后的墙面图2 OpenGL环境下的重建结果图2 (a)是墙面的三维结构图，为了便于观看，图中已 经将其三角化，图2(b)是它在空间旋转后的效果；图2(c) 是三维墙面贴纹理后的效果；图2 (d)是贴纹理后的墙面在 空间旋转的效果，重建的结果是令人满意的，这证明了本文 提出的奇异基本矩阵求解法的有效性。

参考文献[1]张广军•机器视觉[M].北京：科学出版社，2004：105〜107h。