北师大版九上数学1.2矩形的性质与判定知识点精讲.doc

知识点总结矩形的性质及判定一、矩形:是一种平面图形，矩形的四个角都是直角，同时矩形的对角线相等，而且矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等二、矩形的性质：1．矩形的4个内角都是直角；2．矩形的对角线相等且互相平分；3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等；4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴对称中心是对角线的交点5．矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形三、矩形的判定：①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形②定理1：有三个角是直角的四边形是矩形③定理2：对角线相等的平行四边形是矩形④对角线互相平分且相等的四边形是矩形矩形的面积：S矩形=长宽=ab四、黄金矩形:宽与长的比是（√5-1）/2（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形黄金矩形给我们一协调、匀称的美感世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计如希腊的巴特农神庙等矩形的性质与判定※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形矩形是特殊的平行四边形※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。

矩形是轴对称图形，有两条对称轴）※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形对角线相等的平行四边形是矩形四个角都是直角的四边形是矩形※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半1知识链接1. 矩形的四个角都是直角2. 矩形的对角线相等2典例分析如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AD=4,∠AOD=60,求AB的长分析】先证明OA=OD，于是可证明△AOD为等边三角形，求出DO，进而求出BD，根据勾股定理求得AB的长．【解答】∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=1/2AC，OD=1/2BD,∴OA=OD∵∠AOD=60∴△AOD为等边三角形∴DO=AD=4∴BD=8∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90，△DAB为直角三角形，∴AB2=BD2-AD2=82-42=48∴AB=3拓展提升如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC=10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为 分析】分析题意，知道P、Q分别为AO、AD的中点，则可知PQ是△AOD的中位线；结合中位线的性质可知PQ=1/2OD，故只要求出OD的长即可；已知矩形的一条对角线长，则可得出BD的长，进而得出OD的长，至此问题便可得解.【解答】∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=10，∴OD=5.∵P，Q是AO、AD的中点，∴PQ是△AOD的中位线，∴PQ=1/2OD=2.5。

4习题训练如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OB，∠OAD=25，则∠ODC= .1 知识链接 1.直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半2.矩形的对边相等3.矩形的对角线互相平分2 典例分析 如图,BE、CF分别是△ABC的高,M为BC的中点,EF=5,BC=8,则△EFM的周长是( )A. 21 B. 18 C. 13 D. 15【分析】根据“BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点”得到FM=EM=1/2BC，所以△EFM的周长便不难求出解答】∵BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，∴在Rt△BCE中,EM=1/2BC=4，在Rt△BCF中,FM=1/2BC=4，∴△EFM的周长=EM+FM+EF=4+4+5=13.故选C.3 拓展提升 如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,若AB=6,AD=8,则四边形ABOM的周长是()A. 14 B. 19 C. 18 D. 16【分析】根据矩形的性质，直角三角形斜边中线性质，三角形中位线性质求出BO、OM、AM即可解决问解答】∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=8,AB=CD=6,∠ABC=90∘，∴AC2=AB2+BC2=100 ∴AC=10,∵AO=OC，∴BO=1/2AC=5，∵M为AD的中点，∴AM=1/2AD=4∵M为AD中点，O为AC中点，∴OM为△ACD中点，∴OM=1/2CD=3，∴四边形ABOM的周长为AB+OB+OM+AM=6+5+3+4=18.故选：C.4 习题训练 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90，D为AC中点，若∠C=55，则∠ABD= 。

习题精析如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于一点O，OF⊥AD，AE⊥BD，且BE：ED=1：3．若AC=2cm，则OF= cm，AE= cm．解析：试题分析：根据矩形的对角线相等且互相平分可得OB=OD，然后求出BE=OE，从而判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠ABO=60，再求出∠ADB=30，根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半可得OD=2OF，再根据BD=AC=2DO即可得解．试题解析：在矩形ABCD中，OB=OD，∵BE：ED=1：3，∴BE=OE，∵AE⊥BO，∴△AOB是等边三角形，∴∠ABO=60，∴∠ADB=90-60=30，∵OF⊥AD，∵OA=OD，OF⊥AD，∴AF=DF，知识归纳。