正弦定理的应用 一一. 复习提问复习提问 说出正弦定理的内容说出正弦定理的内容,它的作用是什么它的作用是什么? (1)已知两角和任一边已知两角和任一边,求其它两边和一角求其它两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角求另一边的对角,进而可求出其他的边和角进而可求出其他的边和角. 正弦定理正弦定理: 在一个三角形中在一个三角形中,各边和它所对角的各边和它所对角的正弦值的比相等正弦值的比相等. 即即: 题题1 如图所示，在如图所示，在 ABC中，已知中，已知a=10，，b=6，，∠∠A=600，求，求∠∠BCB600610分析：已知两边和一边的对角，分析：已知两边和一边的对角，可由正弦定理可由正弦定理A CAB600610解：由正弦定理得解：由正弦定理得∴∴=0.5196∵∵sinB≈0.5196 >0∴∴ ∠∠B可以是锐角，也可以是钝角，可以是锐角，也可以是钝角，∴∴ ∠∠B≈310181或或∠∠B≈1800-310181=1480421 ∵∵1480421 +600=2080421>1800 ∴∠∴∠B≈1480421应舍去应舍去∴∴ ∠∠B≈310181题题1 如图所示，在如图所示，在 ABC中，已知中，已知a=10，，b=6，，∠∠A=600，求，求∠∠B。
题题2 如图所示，在如图所示，在 ABC中，已知中，已知∠∠B=45 ，，c=b= ，求，求∠∠C解：由正弦定理得解：由正弦定理得∴∴ ∠∠C=60 或或∠∠C= 180 60 =1200 ABC450 A为锐角为锐角A为钝角为钝角或直角或直角关系式关系式解个数解个数 ABC中，已知中，已知a,b和和A时，解的情况如下：时，解的情况如下：ab无解无解一解一解两解两解一解一解一解一解 根据各已知条件，判定根据各已知条件，判定 ABC的解的个数的解的个数(1)a=5,b-4,A=120 ,求求B(2)a=5,b=4,A=90 ,求求B(3)a=5,b= ,A=90 ,求求B(4)a=20,b=28,A=40 ,求求B 题3.在在 ABC中，已知中，已知a=,b=,A=45 ,求求B、、C及及c 解：由正弦定理得：解：由正弦定理得：∴∴∵∵b>a,∴∴B>A=45 ∴∴有两解有两解B=60 或或120 (1)当当B=60 时，，C=180(45 +60 )=75 (2)当当B=120 时，，C=180(45 +120 )=15 题题4.在在 ABC中中，，(a2+b2)sin(A B)=(a2 b2)sin(A+B),试判断三角形的形状试判断三角形的形状解：由正弦定理知：解：由正弦定理知：a=2RsinA,b=2RsinB，将它们代入已，将它们代入已知条件得：知条件得：(sin2A+sin2B)sin(A B)=(sin2A sin2B)sin(A+B)∴∴sin2A[sin(A B) sin(A+B)]=sin2B[ sin(A+B) si(A B)]∴∴sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA∴∴sin2A=sin2B∴∴2A=2B或或2A=1802B∴∴A=B或或A+B=90 故故 ABC是等腰三角形或直角三角形是等腰三角形或直角三角形 题题4.在在 ABC中中，，(a2+b2)sin(A B)=(a2 b2)sin(A+B),试判断三角形的形状试判断三角形的形状 要判断三角形形状，解题的方法是用正弦定理进行代要判断三角形形状，解题的方法是用正弦定理进行代换、转化、化简、运算，研究其边与边的大小关系：是换、转化、化简、运算，研究其边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？不要研究角与角的大小关否两边相等？是否三边相等？不要研究角与角的大小关系：是否两角相等？是否三角相等？有无直角？有无钝系：是否两角相等？是否三角相等？有无直角？有无钝角？从而作出正确的判断。
角？从而作出正确的判断 小结(1)已知两角和一边，求其他元素已知两角和一边，求其他元素(2)已知两边和其中一边的对角，求其他元素已知两边和其中一边的对角，求其他元素解个数解个数关系式关系式A为钝角为钝角或直角或直角A为锐角为锐角ab无解无解一解一解两解两解一解一解一解一解 。
