虚位移的求解.docx

静电场力磁场力的虚位移求法（陕西理工学院物理与电信工程学院陕西汉中723000）0、引言目前研究认为自然界基本相互作用只有四种，即：强力、电磁力、弱力、引力而电磁 力是唯一既有宏观又有微观表现“自兼二职”的一种力，与我们的生活起居、工作学习，无 不存在密切关系因此对电磁学的研究，具有非常重要的意义，然而，在电磁学的学习和研 究中，往往会遇到一些求解电磁场力的问题，理论上，导体系统内任意导体或电介质在静电 场中受到的静电场力，可以用库伦定律来计算载流回路间的磁场力或磁介质中受到的磁场 力，可以用安培环路定理来计算但实际上，用这种常规算法求解要经过受力分析、矢量运 算、张量运算，甚至还有泛函积分等问题，步骤过于繁琐，难度大此时，若采用虚位移法 求解，即类比力学当中，假定受力物体在受力方向上发生微小的“虚位移”，利用物体势能 的空间变化率来计算力，根据不同情况下电源提供给系统的能量和系统增加的电磁场能量以 及磁场力和静电场力做功之间的关系，就可方便的求出物体所受到的静电场力和磁场力1、静电场中导体受到的电场力用虚位移法求解带电导体所受电场力的思路：设N个导体组成的系统，若想求出M号 导体所受到的电场力F，设此受力导体沿某r坐标方向有一位移d 7，其余导体不动，从而， 电场力对导体M所做的功为F - dr，由于dr会引起电场强度发生改变，从而电场能量就会 产生一个增量dwe，根据能量守恒定律，其功能关系为： dwe二F - dr + dwe（1）式中d we = 2 9 id q i为外电源提供系统能量，F -dr = Fdr F为F在r方向上的分量。

上 r ri=1式（1）可以分导体上的电荷不变和导体上的电位不变，两种情况讨论1.1、 假设在虚位移过程中，各个导体的电荷不变，即意味着各导体不与外电源相连，此时 外电源对系统做功dwb为零，那么静电场力肯定等于电势能的空间变化率，可用公式给出：女口： F =-Vwe / q =（常量）（2）r1.2、 假设在虚位移过程中，各个导体的电位不变，即每个导体都保持和外加的电源相连， 此时，当导体相对位移发生改变时，势能会产生所有导体上电荷的变化，所以外接电源会做 功，dwb = 2 0 dq （3）电场能量的增量为：dwe =］工9 dq （4）,故电源所提供的一i i 2 i ii = 1 i=1半用以电场储能，同时另一半用以静电力做功，此时静电力：Fr = Vwe/®=常量（5）最后说明，无论是在电荷不变（q=常量）还是电位不变（9 =常量），都是对同一导体 的系统状态的两种假设，虽然电场力的表达式不同，但最终计算出来的结果一致1.3、应用实例例：空气中有一个半径为a的导体球均匀带电，电荷总量为9，求导体球面上的电荷单 位面积受到的电场力根据同性电荷相斥作用原则，可知，不论导体球带正电还是带负电，导体面都会受0 2 0 2到沿半径方向的电场力，因此给出静电能量We = = （6）假设导体球的2 c 8 眩 a0电荷不变，利用公式（2）计算，则此时，导体面上单位面积受到的电场力1 2We4na2 2a1 2 ( 0 24na 2 2a 8兀g a0（7）此时电场力的方向沿矢径的方向向外。

当然，我们也可以根据库伦定律来计算这个问题，文献［3］中已给出用库伦定律计 算此类问题的详细过程，在此不加求解，用此方法求出的电场力与用虚位移法求出的电 场力结果一致，单用库伦定律求解电场力非常繁琐，计算量很大，采用虚位移法通过能 量关系求解电场力却非常简单2、静电场力当中介质受到的电场力当前面用虚位移法推导导体当中所受电场力的公式（2）和（5）过程可知这两公式成立的条 件为N个导体所受组成的静电系统，而对静电场当中的电介质所受的电场力并不是全都可 以用公式（2）和（5）求解，只有在满足条件是电荷分布，电位分布和导体的情况相同时， 才可以用公式（2）和（5）来求解其所受电场力，因为介质受力实质也是电荷受力，介质也 可以看作是电荷的载体⑷即当不满足电荷分布，电位分布和导体的情况相同时，就不能用（2）和（5）计算3、静磁场当中载流回路所受到的磁场力用虚位移法求解载流回路所受磁场力的思路：设N个载流回路组成的系统，若要求出第 p个载流回路所受到的磁场力F，假设第p个载流回路沿某x坐标方向有一位移dx，其余载流回路不动，则磁场力F对第p个载流回路所做的功为F -dx由于dx会一起回路当中互感产生变化，从而导致磁场的能量也要产生变化。

根据能量守恒定律，其功能关系为:dw = d ~r + dw （8）式中dw = £ Id申为外电源提供能量，dw表示能量的增量,m i i mi=1F•d r = Fd ， F为F在r方向的一个分量上式（8）同样也可分磁链不变和电流不变 r r r两种情况讨论3.1、假设每个回路中的电流不变，此时，各个回路的感应电动势为零，那么和回路相连的各个电源不做功因此，要完成该部分产生位移所需要的机械功，智能依靠系统磁场能的 减少来完成，所以F =-叫,常量（9）3.2、假设每个回路中的电流不变，此时，各个回路中的磁链要发生变化，从而在各回路 中会产生感应电动势，此时，各电源必要做功来克服感应电动势以保持电流不变，电源做功为：dw =为1 dq. (10)系统的磁能变化为：dw I dqi i m 2 i ii=1 i=1即电源输入能量的一半用于增加磁场储能，同时另一半用于该部分位移所需的机械功,既有:F = Vw Im I二常量(12)最后说明，无论是假设电流不变，还是磁链不变，虽然磁场力的表达式不同，但最终计 算结果却相同3.3、应用实例例:设两导体平面长为L，宽为b间平面为d，上、下面分别有方向相反的面电流寫x设b >> d，L >> d，求上面一片导体板面电流所受的力。

由安培环路定律可求出B =卩0 Jsoex，导体外磁场为零,设两导体之间发生了一虚位移d5，此时系统的磁能改变为 w H -Bdv = J 卩 H2dv'1二卩J 2Lbe， F大于零，即为斥力 2 0 So x r然而用其它方法求解却十分复杂m 2 v' 2 v' 0dwm edz x1得dw二卩J 2Lbdz，即磁场力F =以上例题求解用虚位移法非常简单，2 0 S o r4、静磁场当中，介质受到的磁场力由上面用虚位移法推导载流回路当中所受到磁场力的公式（9）和（12）过程可知，（9） 和（12）两公式成立的条件为N个载流回路所组成的系统，之所以成立于载流回路系统，由 于（9）和（12）两公式分别应用了载流回路两个性质，而对于静磁场当中介质受到的磁场 力，有的可以用公式（9）和（12）来求解，满足条件为磁介质组成的系统中，磁化电流及 其所对应的磁链是否和导体载流回路组成的系统电流分布、磁链分布相同，其原因为磁介质 受力实质上就是磁化电流受力，介质也可看作是电流的载体，即在求解静磁场力当中介质受 到磁场力时，在不满足其应用条件时不能用公式（9）和（12）来求解⑸5、结语本文通过分析给出了静电场力和磁场力的虚位移求解公式。

文章中所探讨的导体或电解 质中所受静电场力和载流回路或磁介质所受到的磁场力的计算用库仑定律、安培环路定律 求解时往往比较复杂由于此方法简单、快捷，将会成为我们解决此类问题的有效工具参考文献：[1] 张三慧•大学物理学.[M].北京：清华大学出版社.2009.[2] 梁灿彬•秦光武.电磁学[M].北京：高等教育出版社.2010.[3] 王家礼，朱满座.电磁场与电磁波[M].西安：西安电子科技大学出版社.2011.[4] 欧阳金华，王佐臣•用虚位移法计算静电场中电介质的受力[J].电气电子教学学报，2007年1期[5] 欧阳金华•用虚位移法计算静磁场中磁介质的受力[J].枣庄学院学报.2008.25（2）.[6] 陈文峰•虚位移法求解电磁场力[J].重庆师范大学学报.2010.27（5）.[7] 牛玉强•刘栓江•静电场力磁场力的虚位移解法[J].价值工程.2011.30（11）.。