北京大学群论第一章_抽象群基础.docx

第一章 抽象群基础§群【概念】G是一个非空集合，G= {…，g,…), “- ”为概念在任意两个元素之 间的二元朝数运算(乘法运算)，假设G及其运算知足以下四个条件：(1)封锁性：Y f, g eG、f •炉加则方£G;(2)结合律：V f, g, Ae G, • g) • h=f • (^ • A);(3)有单位元：3 e e G, V / e G, f • c=c • f=f;(4)有逆元素：Y f eG, eG 使 f ・f **=£-，. f = e;那么称G为一个群，e为群G的单位元，广'为f的逆元系1. e是唯一的’皆为G的单位元，那么e・e'='，e・e'=e,故e'=• 系2.逆元是唯一的假设存在£的两个逆元那么f = fe = f(fn=(ff)f' = ef' = f'i 即/= /"• 系 3 e 1= ce t=i ・e 二即：e 一,二 e• 系4假设群G的运算还知足互换律，Vf, geG,有f・g=g・f,那么称G为互换 群，或阿贝尔群群是咱们概念的一种抽象结构，具有一样性，它象一个空箧子，能够装入各类具有相 同抽象结构的实际对象通过研究抽象结构的一样性质，就能够够把握各类实际对象 的性质。

例整数集｛z｝及其上的加法+单位元为0,逆元二-Z,组成整数加法群例实数集总运算为加法：单位元e= 0, 逆元：Vae斤，& -a,组成加群假设运算为数乘，斤不组成群，0 "不存在只是不包括0的所有实数"?，组成乘法群，单位元e=L逆元：V«e R/O, a l= %例 空间反演群｛£, 1｝,元素为对向量的变换：Er = r, Ii = ~r 运算概念为群元对向量由右到左的接踵作用：EEr = Er = rf EE = E E IElr = E(-r) = -r = /r , EI = I E E IO a Ji E//r = /(-r) = r = £r I2 = E 0 乘法表如右：例R3中绕一固定轴的所有转动操作够成一个群，两个转动操作的二元运算为两操 作的接踵转动群元：C-(^),八为转轴，a为转角，乘法：C-(a).C-(^=)C-(« + /?)单位元：e=Gj ( 0 )逆元：C--,(a) = C-(-a)例1.5平面正三角形对称群D3 (六阶二面体群) 为重心，固定不动，维持正三角形位形不变的所有空间转动操作，以接踵操作为二 元运算组成一个群维持正三角形不变的对称操作:。

不转动；出绕z轴转120度；/：绕Z轴转240度；«：绕y轴转180度；加绕2轴转180®；c：绕3轴转180度;D3={c,"a, b9c} 例 置换群工，又称n阶对称群群元：将（1, 2…，n）映为自身的置换P：（1 2 ... n〃=m2 ... ni,置换只与每列的相对字符有关，与列顺序天关，如12 3 4 ,4213「4213 、= 0241 )单位元：e =P的逆元："Tn个数码所有可能的置换数为n!,其乘法:，4 2 1、3 2 43U1 2 3 4口1Jb 1 4 2)[\2 3 4、4 3 2,那么所有置换及其乘法结组成一个群，记为Sn群可见，群的元素能够是超级普遍的东西，能够是数、操作、变换等等，二元 运算也能够有多种类型群能够简单分类为：有限群：群元个数有限，群元的个数称为群的阶，记为IGI可数无穷群：群元个数无穷/不可数♦定理♦（重排定理）设6 =H},厚〃€6,有〃G三{也 Iga eG} = G〃的作用只是将G元素重排证明：（一）〃的作用是单射，（1对1）, 1咱?当gy不同时给出G中不同群元:设ga手gp，假设“ga =l，g£，（即多对一）两边左乘小，有ga = g.,与假设矛盾故 Uga4%（二）U的作用是一个满射，即G中任意群元都可写成Ug的形式：Vga e G , ga= Q〃尸）g& =U（U~'ga），记〃二九 三 g#即至S^G，使 ga=ugp。

故u的作用是双射（一一映射），即“G = G类似有：V〃eG GU=G 在乘法表中，每行和每列都是群元的重排，每一个群元只显现一次§子群和陪集【概念】设〃是群G的一个子集，假设关于与群G 一样的乘法运算，H也组成一 个群，那么称H为G的子群，记为〃

♦定理♦（陪集定理）设群H为群G的子群〃

设共有 /个陪集，那么群G的群元个数〃为：n = m x /即子群的阶切为G群阶的因子系1有限群G能够分割为其子群的互不相交的陪集串(G能够其子群的陪集串展 开)例 D3={e, dj a, b, c}的子群陪集分割功的子群：Hi= (e, a)t H2= {e, b)Hi= {e, c}, Ha= {e, d,f)为左陪集分割：Hi= {e, a} , bH\- {b,f} fHi= (c, d}出左陪集串：H4= (e,dj) /iH4= {a,b,c)§ 类与不变子群【概念】 设，力是群G的两个元素，假设有元素g£G,使威』=心 那么称元素力 与/共枕记为人〜人系1共胡是彼此的，即假设〜3则/〜//.• 系2共趣的传递性，假设力〜h, h〜启 则力〜力.证：fi〜h,故血，使力= g"图"，,有h=g*igifl ~ h，故 3g2,使 f2 = g2hg『 = g2g/flglg『=(g2g/)fl(g2gl")"故力〜力【概念】群G的所有彼此共枕的元素集合，称为群G的一个类• 系1 一个类被类中任意一个元素所决定，明白了类中某一个元素/,那么/所属类 的所有元素都可求出：/类={/"'= W，geG}• 系2 —个群的单位无。

自成一类，VgxWG, ggg「=e,• 系3阿贝尔群的每一个元素自成一类，V/, g、eG, g应• 系4假设元素/的阶为加，即兴"，那么一类所有元素的阶都是血，因⑶龙J广=g〉怠一"龙广…=g/g]• 系5两个不同的类没有公共元素，一个群能够按共规类进行分割(名类中元素个 数可能不同)例Oa {e,dj4,ac}的类分割3的元素可分为3类：e类：{e} d类;("} 类：(a,b,c)♦定理♦ 有限群每类元素的个数等于群阶的因子证明：设G为〃阶有限群，g是G的一个元素，看g类元素的个数：作G的子群印：{/ieG | hglr^g}(即内自同构群1(G)在g点的迷向 子群)即所由所有与g对易的元素组成下面证明：glggl" = g2gg2A <=> g\£l £ g2Hg(一)假设gtggi"=g2gg3 gi^ieG, g©名印由 glggl"=g2gg2」可得 g21glggl1g2 = g即(g2“g】)g 讨2/gl)・l=g故环由重排定理：g，gl环=杯有giRg肝，而gzeg肝因此gl, g2^g2加 依1环=g却）（二）假设的g2eg2#,那么存在he印，使g『g2h故 glggl』=glllglllg2l = g 2gg2」即 glggl"=g2gg2"<=> glfgieglH^综上所述：用的一个左陪集仅能取得g类的一个元素，g类中元素的个数等于 “，的左陪集个数。

即：g类元素个数左（右）陪集串个数由拉格朗日定理，用的阶为G的阶的因子，故g类元素个数亦为群G阶的因子概念】（共挽子群）设H和K是G的两个子群，H

有 =8送/（8/%物）如=SiSjhj% （令% 三 g ~[hagj）=（gjgjV^ £（8i8j）H （令心=hyhfj）即 g。