初中阶段因式分解.doc

　初中阶段因式分解因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点 1. 因式分解的对象是多项式； 2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式； 3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； 4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式； 5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式； 6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解； 7. 因式分解的一般步骤是： （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解； （2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；一、提公因式法 ①概念：公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 如 am＋bm＋cm＝m（a+b+c） ③具体方法：（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.（4）所有这些因式的乘积即为公因式.二、运用公式法。

①平方差公式： a2－b2＝(a＋b)(a－b) ②完全平方公式： a22ab＋b2＝(ab)2 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍. （运用完全平方公式也叫配方法） ③立方和公式：a3+b3＝ (a+b)(a2-ab+b2). 立方差公式：a3-b3＝ (a-b)(a2+ab+b2). ④完全立方公式： a33a2b＋3ab2b3＝(ab)3 三、分组分解法.四、十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——进行分解特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和二）二次项系数不为1的二次三项式——条件：（1） （2） （3） 分解结果：=典型例题：1．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（　　）A．a（m+n）=am+an B．a2﹣b2﹣c2=（a﹣b）（a+b）﹣c2 C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1） D．x2﹣16+6x=（x+4）（x﹣4）+6x2．a、b、c是三角形的三条边长，则代数式a2﹣2ab+b2﹣c2的值（　　）A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．与零的大小无关3．多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c之值为何？（　　）A．0 B．10 C．12 D．224．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）A．我爱美 B．宜昌游 C．爱我宜昌 D．美我宜昌5．若实数x满足x2﹣2x﹣1=0，则2x3﹣7x2+4x﹣2017=　 　．6．如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=　 　．　三．解答题（共12小题）7．因式分解：（1）4m2n﹣8mn2﹣2mn （2）m2（m+1）﹣（m+1）（3）4x2y+12xy+9y （4）（x2﹣6）2+2（x2﹣6）﹣15．8．分解因式：a2+4b2+c4﹣4ab﹣2ac2+4bc2﹣1．9．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题：（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求xy的值．（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？10．分解因式：（1）3ab3﹣30a2b2+75a3b； 　　　　　　　 （2）（3m+2n）2﹣4（m﹣6n）2．（3）8（x2﹣2y2）﹣x（7x+y）+xy． （4）﹣6a2+12a﹣6；（5）3a3b﹣27ab3； （6）（x2+2）2﹣12（x2+2）+36；11．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y=（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）=（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc=0，判断△ABC的形状．12．若a2+a=0，求2a2+2a+2015的值．13．已知x2+3x﹣1=0，求：x3+5x2+5x+18的值．14．已知m2+m﹣11=0，求m3+12m2﹣21的值．14．简便计算：①1.992+1.990.01 ②20132+2013﹣20142．15．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=pq（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称pq是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如：12可以分解成112，26或34，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以34是12的最佳分解，所以F（12）=．（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．18．“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2+bxy+cy2的x，y二次三项式来说，方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a=a1•a2，把y2项系数c分解成两个因数，c1，c2的积，即c=c1•c2，并使a1•c2+a2•c1正好等于xy项的系数b，那么可以直接写成结果：ax2+bxy+cy2=（a1x+c1y）（a2x+c2y）例：分解因式：x2﹣2xy﹣8y2解：如右图，其中1=11，﹣8=（﹣4）2，而﹣2=1（﹣4）+12∴x2﹣2xy﹣8y2=（x﹣4y）（x+2y）而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图1，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）；例：分解因式：x2+2xy﹣3y2+3x+y+2解：如图2，其中1=11，﹣3=（﹣1）3，2=12；而2=13+1（﹣1），1=（﹣1）2+31，3=12+11；∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2=（x﹣y+1）（x+3y+2）请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：6x2﹣7xy+2y2=　 　x2﹣6xy+8y2﹣5x+14y+6=　 　（2）若关于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．（3）已知x，y为整数，且满足x2+3xy+2y2+2x+4y=﹣1，求x，y．　7。