高中数学苏教版选修21学案：3.1.34 空间向量基本定理 空间向量的坐标表示 Word版含解析.doc

2019-2020学年苏教版数学精品资料3.1.3　空间向量基本定理3.1.4　空间向量的坐标表示1．了解空间向量的基本定理及其意义，理解空间向量的正交分解，掌握用基底表示空间向量的方法．(重点、难点)2．理解空间向量坐标的定义，掌握其坐标表示，掌握向量加法、减法及数乘的坐标运算法则．(重点)3．基向量的选取及应用．(易错点)[基础·初探]教材整理1　空间向量基本定理阅读教材P87～P88例1以上的部分，完成下列问题．1．空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3.2．基底、基向量在空间向量基本定理中，e1，e2，e3是空间不共面的三个向量，则把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫做基向量.0不能作为基向量．3．正交基底、单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示．4．空间向量基本定理的推论设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使得＝x＋＋z.设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底．给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间基底的向量组有________个．【解析】　如图所示，设a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝.由A，B1，D，C四点不共面可知向量x，y，z也不共面．同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，可以作为空间的基底．因为x＝a＋b，故a，b，x共面，故不能作为基底．【答案】　3教材整理2　空间向量的坐标运算阅读教材P89～P90例1以上的部分，完成下列问题．1．空间向量的坐标在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；当空间向量a的起点移至坐标原点时，其终点坐标就是向量a的坐标．2．空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量的加法a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量的减法a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘向量λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R向量平行a∥b(a≠0)⇔b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3，λ∈R已知向量a＝(－1,0,2)，2a＋b＝(0,1,3)，则b＝________.【解析】　b＝(2a＋b)－2a＝(0,1,3)－2(－1,0,2)＝(2,1，－1)．【答案】　(2,1，－1)[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]基底的判断　(1)若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是________(填序号)．①{a，a＋b，a－b}；②{b，a＋b，a－b}；③{c，a＋b，a－b}；④{a＋b，a－b，a＋2b}．(2)若{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且向量＝2e1＋e2＋e3，＝e1－e2＋2e3，＝ke1＋3e2＋2e3不能作为空间的一组基底，则k＝________.【精彩点拨】　(1)看各组向量是否共面，共面不能作为基底，否则可作基底；(2)，，共面，利用共面向量定理求解．【解析】　(1)若c，a＋b，a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a，b，c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底．(2)因为，，不能作为空间向量的一组基底，故，，共面．由共面向量定理可知，存在实数x，y，使＝x＋y，即ke1＋3e2＋2e3＝x(2e1＋e2＋e3)＋y(e1－e2＋2e3)．故解得x＝，y＝－，k＝5.【答案】　(1)③　(2)5基底的判断判断某一向量组能否作为基底，关键是判断它们是否共面．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．用基底表示空间向量　如图3­1­13所示，空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量.图3­1­13【精彩点拨】　→→→→→【自主解答】　＝－，∵＝，∴＝×(＋)＝(b＋c)，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋×(＋)＝a＋(b＋c)，∴＝(b＋c)－a－(b＋c)＝－a，即＝－a.用基底表示向量的技巧1．定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．2．找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变换、化简，最后求出结果．3．下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．[再练一题]1．如图3­1­14所示，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1，设＝a，＝b，＝c，P是CA1的中点，M是CD1的中点．用基底{a，b，c}表示以下向量：(1)；(2).图3­1­14【解】　如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，连结AC，AD1，(1)＝(＋)＝(＋＋)＝(a＋b＋c)．(2)＝(＋)＝(＋2＋)＝a＋b＋c.空间向量的坐标运算　如图3­1­15，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AB＝1.试建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标．图3­1­15【精彩点拨】　根据题意，以，，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，再用，，表示向量，即可得到结果．【自主解答】　法一：∵PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴，，是两两垂直的单位向量．设＝e1，＝e2，＝e3，以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系A­xyz，如图所示．∵＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋(＋)＝－＋＋(＋＋)＝＋＝e2＋e3，∴＝.法二：∵P(0,0,1)，C(1,1,0)，∴N.又∵M，∴＝.1．本题的两个解法出发点不同，法一侧重于用基底表示，然后向坐标转化；法二则是直接利用向量的坐标运算，更简便．2．运用坐标进行向量运算，实质就是将向量运算转化为数字运算，体现了转化思想的运用．[再练一题]2．已知ABCD­A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F分别为BB1和DC的中点，建立如图3­1­16所示的空间直角坐标系，试写出，，的坐标．图3­1­16【解】　∵D(0,0,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，∴＝(2,2,2)，＝(2,2,1)，＝(0,1,0)．空间向量平行的坐标表示　已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3，0,4)，设a＝，b＝.(1)设|c|＝3，c∥，求c；(2)是否存在实数k，使(ka＋b)∥(ka－2b)？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【精彩点拨】　根据共线向量定理及空间向量平行的坐标表示可解．【自主解答】　(1)由条件，易得＝(－2，－1,2)，因为c∥，故设c＝λ＝λ(－2，－1,2)＝(－2λ，－λ，2λ)，又因为|c|＝3，∴4λ2＋λ2＋4λ2＝9，解得λ＝±1，故c的坐标为(－2，－1,2)或(2,1，－2)．(2)a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，ka＋b＝(k－1，k,2)．ka－2b＝(k＋2，k，－4)，假设存在实数k，使(ka＋b)∥(ka－2b)，即存在实数λ，使ka＋b＝λ(ka－2b)，即(k－1，k,2)＝λ(k＋2，k，－4)，即解得λ＝－，k＝0，所以存在实数k＝0，使(ka＋b)∥(ka－2b)．两向量平行的充要条件有两个：①a＝λb，②依此既可以判定两向量共线，也可以通过两向量平行求待定字母的值.[再练一题]3．设a＝(2,3,0)，b＝(－3，－2,1)，计算2a＋3b,5a－6b，并确定λ，μ的值，使λa＋μb与向量b平行. 【导学号：09390072】【解】　∵a＝(2,3,0)，b＝(－3，－2,1)，∴2a＋3b＝2(2,3,0)＋3(－3，－2,1)＝(4,6,0)＋(－9，－6,3)＝(－5,0,3)，5a－6b＝5(2,3,0)－6(－3，－2,1)＝(10,15,0)－(－18，－12,6)＝(28,27，－6)．∵λa＋μb＝λ(2,3,0)＋μ(－3，－2,1)＝(2λ－3μ，3λ－2μ，μ)，且(λa＋μb)∥b，∴＝＝，∴λ＝0，μ∈R，即λ＝0，μ∈R时，λa＋μb与b平行．[探究共研型]空间向量的坐标运算探究1　如何建立空间直角坐标系？【提示】　(1)用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系，为便于坐标的求解及运算，在建立空间直角坐标系时，要充分分析空间几何体的结构特点，应使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．(2)进行向量的运算时，在能建系的情况下尽量建系化为坐标运算，并且按照右手系建系，如图所示．探究2　如何运用空间向量的坐标运算解决几何问题？【提示】　运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤：(1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求出相关点的坐标；(3)写出向量的坐标；(4)结合公式进行论证、计算；(5)转化为几何结论．　如图3­1­17，在长方体OAEB­O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝2PA1，点S在棱BB1上，且SB1＝2BS，点Q，R分别是棱O1B1，AE的中点．求证：PQ∥RS.图3­1­17【精彩点拨】　以O为原点，以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，确定，的坐标，利用向量共线证明．【自主解答】　如图，建立空间直角坐标系，则A(3,0,0)，B(0,4,0)，O1(0,0,2)，A1(3,0,2)，B1(0,4,2)．∵PA＝2PA1，SB1＝2BS，Q，R分别是棱O1B1，AE的中点，∴P，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S.于是＝＝，∴∥.∵R∉PQ，∴PQ∥RS.[再练一题]4．已知四边形ABCD的顶点坐标分别是A(3，－1,2)，B(1,2，－1)，C(－1,1，－3)，D(3，－5,3)，求证：四边形ABCD是一个梯形．【证明】　∵＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，∴＝＝，∴与共线，即AB∥CD.又∵＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，∴≠≠，∴与不平行．∴四边形ABCD为梯形．[构建·体系]1．设a＝(1,2,3)，b＝(－2,2，－2)，若(ka－b)∥(a＋b)，则k＝________.【解析】　ka－b＝k(1,2,。