高等数学课件：2-7利用等价无穷小量代换求极限.ppt

§27 利用等价无穷小量代换求极限 关于等价无穷小量有下面一个很有用的性质 如果在同一变化过程中  1  1都是无穷小量 且~1 ~1 那么有 lim   f(x) lim 1 f(x)这是因为(等价无穷小的替换定理) 这个性质说明在求某些无穷小量乘除运算的极限时 可使用其等价无穷小量代换 不影响极限值的结果 但可使求极限的步骤简化  常用的等价无穷小量 arctan x~x (x0) tan x~x (x0) sin x~x (x0) ex1~x (x0) ln(1x)~x (x0) 又因为tan x~x (x0) 故sin x2~x2 (x0) 因为sin x~x (x0) 解 ln(1x)~x (x0) arcsin x~x (x0)  常用的等价无穷小量 arctan x~x (x0) arcsin x~x (x0) tan x~x (x0) sin x~x (x0) ex1~x (x0) ln(1x)~x (x0) 解 因为  常用的等价无穷小量 注注:等价无穷小量的等价无穷小量的代换代换,只能用于乘除只能用于乘除运算运算,不能用于加减不能用于加减 arctan x~x (x0) arcsin x~x (x0) tan x~x (x0) sin x~x (x0) ex1~x (x0) ln(1x)~x (x0)  常用的等价无穷小量 例4 证明当x0时 sinsin x~ln(1x) 证 因为sin x~x (x0) 故有 sinsin x~sin x (x0) 又 ln(1x)~x (x0) 因此有 sinsin x~ln(1x) (x0) 作业; p.94 28(2)(3)(5) arctan x~x (x0) tan x~x (x0) sin x~x (x0) ex1~x (x0) ln(1x)~x (x0) arcsin x~x (x0) 。