2022年高中数学选修2-2数学归纳法(I)(I).doc

2022年高中数学选修2-2数学归纳法(I)(I)要点精讲理解并感受数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,通过理解数学归纳法原理引导我们掌握这种方法的思维过程及证明形式,从训练中让我们体会证明的必要性，让我们体会数学与生活的联系，体会数学应用的广泛性，认识数学的文化价值.通过学习数学归纳法，不仅能证明有关问题，更重要的是开阔我们的眼界，还可使我们受到推理论证的训练；培养我们分析、解决问题的能力，同时,也让我们感受到数学文化的熏陶，培养我们数学素养以及的辩证唯物主义观点，最终培养我们观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力及探索创新能力．本节的重点是数学归纳法的定义、一般步骤、归纳原理及其应用.难点是数学归纳法的证明思路及初始值的确定．数学归纳法原理：设P(n)是关于正整数n的命题，若 1°P(n0)成立(奠基)； 2°假设P(k)成立，可以推出P(k+1)成立(归纳)， 则P(n)对一切正整数n都成立．数学归纳法的两个步骤的作用及相互关系： 数学归纳法是逻辑推理，它的第一步称为奠基步骤，是论证命题成立的基础保证，也称为归纳基础(又称特殊性).第二步称为递推步骤，是解决命题具有后继递性的保证(又称延续性).即只要命题对于某个正整数成立，就能保证该命题对于后继正整数都成立.两步合在一起为完全归纳步骤，称数学归纳法典型题解析【例1】用数学归纳法证明【分析】在考虑n取第一个值的命题形式时，需认真对持，一般情况是把第一值代通项，考察命题的真假.【点评】在步骤(2)的证明过程中，突出了两个“凑”字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确n=k+1时证明的目标，考虑由n=k到n=k+1时，命题形式之间区别和联系.【例2】用数学归纳法证明【例3】用数学归纳法证明 【例4】用数学归纳法证明【例5】用数学归纳法证明对于整敷n≥0，An=11n+2+122n+1能被133整除.【例6】平面上有n个圆,其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都必须不相交于同一点.求证：这n个圆把平面分成， 部分【分析】本题用几何法不易推证. 由于此题是与正整数有关的命通，可采用数学归纳法推证. 关键是要分析清楚当n=k与n=k+l时两者的关系.【解】证明：(1)当n=1时，一个圆把平面分成两部分，且则n= 1时命题成立(2)假设当n=k时命题成立，即n个圆把平面分成部分．如果增加满足条件的任意一个圆，则这个圆必与前k个圆交于2k个点.这2k个点把这个圆分成2k段弧,每段弧把它所在的原有平面分面两部分.因此，这时平面被分割的总数在原来的基础上又增加了2k部分，即 有 即当n=k+l时，命题也成立 由(1)，(2)可知，n个圆把平面分成 部分【点评】有关正整数的几何问题，也可采用数学归蚋法证明，关键在于抓住“n=k”与“n=k+1”的联系.可惜助图形曲直观性及不完全归纳法探索其联系. 规律总结数学归纳法主要应用于：(1)用数学归纳法证明等式问题；(2)用数学归纳法证明不等式问题；(3)用数学归纳法证明整除问题；(4)用数学归纳法证明数列问题. (5)用数学归纳法证明几何问题.。