微积分：7.5功水压力和引力.ppt

7.5 功，水压力和引力,1. 变力沿直线所作的功,2. 静止液体对薄板的侧压力,3. 引力,如果一常力F作用于一物体使其沿直线移动了距离s, 所作功,如果计算变力或变位移所作的功,则需要,1. 变力沿直线所作的功,采用“微元法”思想，转化为定积分来计算设物体在变力F(x)作用下沿x轴从,移动到,力的方向与运动方向平行,求变力所,做的功.,功近似为,功微元,因此变力F(x)在区间,上所作的功为,取x为积分变量,在,上任取小区间,在其上所作,例,取任一小区间,取r为积分变量,单位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到,b处 (a b) ,求电场力所作的功.,解,当单位正电荷距离原点,时,一个,电场力为,功微元,所求功,库仑定律,在一个带+q电荷所产生的电场作用下,如果要考虑将单位电荷移到无穷远处,解,建立坐标系.,功微元,例,总功,的均匀链条被悬挂,于一建筑物顶部(如图),问需要作多大的功才能,把这一链条全部拉上建筑物顶部.,任取一小区间,取x为积分变量,解,建立坐标系.,设想水分层抽出,把它提到桶口所作功近似地等于,功微元,例,存满水,要把桶内的水全部吸出,求所作的功.,与之对应的水层重,总功,任取小区间,取x为积分变量,如水离桶边1米处?,法1,到桶口距离,法2,4,想一想,解,第一次锤击时所作的功为,用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第 n 次锤击时又将铁钉击入多少？,设 次击入的总深度为 厘米,次锤击所作的总功为,把钉子钉入,取铁钉进入木板的深度x为积分变量,功微元,练一练,依题意知，每次锤击所作的功相等,n次击入的总深度为,第 次击入的深度为,次击入的总深度为,面积为A的平板,设液体比重为,深为h处的压强:,当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用微元法转化为定积分解决.,平板一侧所受的压力为,2.静止液体对薄板的侧压力,解,在端面建立坐标系.,取x为积分变量,取任一小区间,小矩形片上各处的压强,近似相等,小矩形片的面积为,一个横放着的圆柱形水桶,桶内盛有半桶水,例,设桶的底半径为R,水的比重为,计算桶的一端面,上所受的压力.,如图,小矩形片的压力微元为,端面上所受的压力,解,建立坐标系.,CD的方程,压力微元,设某水渠的闸门与水面垂直,水渠的横截面,是等腰梯形.,当水灌满时,求闸门所受的水压力.,上底长6 m, 下底长2m,高为10 m,取x为积分变量,练一练,质量分别为,的质点,二者间的引力:,大小,方向,沿两质点的连线,相距,3. 引力,若考虑物体对质点的引力,则需用微元法转化为定积分解决.,解,建立坐标系.,引力微元,例,方向指向x轴的负向,取x为积分变量,解,建立坐标系.,小段的质量为,取 y为积分变量,取任一小区间,有一长度为,线密度为 的均匀细棒,在其,中垂线上距棒a 单位处有一质量为m的质点,计算该棒对质点的引力.,小段与质点的距离为,小段对质点的引力为,练一练,细杆对质点引力微元,x方向的分力微元,引力在y方向分力为,对称性,的气体,解,由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为S的,活塞从点a处移动到点b处(如图),压强p与体积V成反比,功微元为,故作用在活塞上的,所求功为,力为,在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量,练一练,求移动过程中气体压力所作的功.,比例系数k,某城市1990年的人口密度近似为,其中P(r)表示距市中心r 公里处的人口密度， 单位：十万人/平方公里，,试求距市中心2公里区域内的人口数。

积分变量为,解,练一练,利用“微元法”思想求变力作功、水压力和引力等物理问题,（注意熟悉相关的物理知识）,小结,作业：P271 1， 4， 6,12, 15,18, 19, 22, 23,所求弧长为,解,P264(1),P263(3),解,例,所求弧长为,所求弧长为,P258(10),解,(唯一驻点),即为所求,取 x为积分变量,取任一小区间,解,建立坐标系.,P272(2),解,如图建立坐标系,P272(7),压力微元,P272(16),解,上每一点处,线密度的大小等于该点到原点距离的立方,在点O处,有一单位质点,求星形线在第一象限的弧段对这质,点的引力.,设星形线,解,P272(19),方向为x的正方向,方向为y的正方向,故星形线在第一象限的弧段对该质点的引力为,同理,选t为积分变量,取 r为积分变量,取任一小区间,解,建立坐标系.,P273(25),。