
初中数学专题讲义一次函数.doc
15页初中数学专题讲义--一次函数一、 知识归纳1.变量:在一个变化过程中可以取不同数值的量常量:在一个变化过程中只能取同一数值的量2.函数:一般地,在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定一个x值,相应地就确定了一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量3、定义域:一般的,一个函数的自变量允许取值的范围,叫做这个函数的定义域4、确定函数定义域的方法:(1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数;(2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零;(3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零;(4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零;(5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义5、函数的图像一般来说,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.6、函数解析式:用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式7、描点法画函数图形的一般步骤第一步:列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值);第二步:描点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点);第三步:连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来)。
8、函数的表示方法列表法:一目了然,使用起来方便,但列出的对应值是有限的,不易看出自变量与函数之间的对应规律解析式法:简单明了,能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系,但有些实际问题中的函数关系,不能用解析式表示图象法:形象直观,但只能近似地表达两个变量之间的函数关系9、正比例函数及性质一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.(1) 解析式:y=kx(k是常数,k≠0)(2) 必过点:(0,0)、(1,k)(3) 走向:k>0时,图像经过一、三象限;k<0时,图像经过二、四象限(4) 增减性:k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x增大而减小(5) 倾斜度:|k|越大,越接近y轴;|k|越小,越接近x轴10、一次函数及性质一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0),那么y叫做x的一次函数.当b=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.(1)解析式:y=kx+b(k、b是常数,k0)(2)必过点:(0,b)和(-,0) (3)走向:直线经过第一、二、三象限 直线经过第一、三、四象限直线经过第一、二、四象限 直线经过第二、三、四象限(4)增减性: k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x增大而减小.(5)倾斜度:|k|越大,图象越接近于y轴;|k|越小,图象越接近于x轴.(6)图像的平移: 当b>0时,将直线y=kx的图象向上平移b个单位;当b<0时,将直线y=kx的图象向下平移b个单位. b>0b<0b=0k>0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升,y随x的增大而增大k<0经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限图象从左到右下降,y随x的增大而减小11、正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kx+b的图象是一条直线,它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移).12、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系(1)两直线平行:k1=k2且b1 b2(2)两直线相交:k1k2(3)两直线重合:k1=k2且b1=b213、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤: (1)根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式; (2)将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程; (3)解方程得出未知系数的值; (4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.14、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次方程可以转化为:当某个一次函数的值为0时,求相应的自变量的值. 从图象上看,相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.15、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0(a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次不等式可以看作:当一次函数值大(小)于0时,求自变量的取值范围.16、一次函数与二元一次方程组 (1)以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=的图象相同.(2)二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数y=和y=的图象交点.函数1、判断下列变化过程存在函数关系的是( D )A.是变量, B.人的身高与年龄 C.三角形的底边长与面积 D.速度一定的汽车所行驶的路程与时间2、已知函数,当时,= 1,则的值为( B )A.1 B.-1 C.3 D.xOyOyOxyOxy3、下列各曲线中不能表示y是x的函数是( C )。
正比例函数1、下列各函数中,y与x成正比例函数关系的是(其中k为常数)( C ) A、y=3x-2 B、y=(k+1)x C、y=(|k|+1)x D、y= x22、如果y=kx+b,当 时,y叫做x的正比例函数3、一次函数y=kx+k+1,当k= 时,y叫做x正比例函数一次函数1、下列函数关系中,是一次函数的个数是( A )①y= ②y= ③y=210-x ④y=x2-2 ⑤ y=+1A、1 B、2 C、3 D、42、若函数y=(3-m)xm -9是正比例函数,则m= -3 3、当m、n为何值时,函数y=(5m-3)x2-n+(m+n)(1)是一次函数 (2)是正比例函数 一次函数与坐标轴1.一次函数y=-2x+4的图象经过第 二四 象限,y的值随x的值增大而 减小 (增大或减少)图象与x轴交点坐标是 (2,0) ,与y轴的交点坐标是 (0,4) .2. 已知y+4与x成正比例,且当x=2时,y=1,则当x=-3时,y= .3.已知k>0,b>0,则直线y=kx+b不经过第 四 象限.4、若函数y=-x+m与y=4x-1的图象交于y轴上一点,则m的值是( A )A. B. C. D. 5.如图,表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx(m,n是常数,且 mn≠0)图像的是( A ).图16、(福建福州)已知一次函数的图象如图1所示,那么的取值范围是( A )A. B. C. D.7.一次函数y=kx+(k-3)的函数图象不可能是( A )待定系数发求一次函数解析式1. (江西省南昌)已知直线经过点(1,2)和点(3,0),求这条直线的解析式.解 设一次函数为 解得 所以2.如图,一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点,与x轴相交于C点.求: (1)直线AC的函数解析式; (2)设点(a,-2)在这个函数图象上,求a的值; 解:因为直线AC经过A(2,4),B(0,1)设直线解析式为解得 所以 因为点(a,-2)在这个函数图象上,所以解得3、(甘肃陇南) 如图,两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上,请根据图中给的数据信息,解答下列问题:(1)求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y(cm)与饭碗数x(个)之间的一次函数解析式;(2)把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时,这摞饭碗的高度是多少?解:(1)设. 由图可知:当时,;当时,. 把它们分别代入上式,得 ,解得,.∴ 一次函数的解析式是. (2)当时,. 即把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时,这摞饭碗的高度是21cm.Oy(千米)x(小时)y1y21232.547.5P4、(福建晋江)东从A地出发以某一速度向B地走去,同时小明从B地出发以另一速度向A地而行,如图所示,图中的线段、分别表示小东、小明离B地的距离(千米)与所用时间(小时)的关系。
⑴试用文字说明:交点P所表示的实际意义⑵试求出A、B两地之间的距离解:⑴交点P所表示的实际意义是:经过2.5小时后,小东与小明在距离B地7.5千米处相遇⑵设,又经过点P(2.5,7.5),(4,0)∴ ,解得∴ 当时,故AB两地之间的距离为20千米函数图像的平移1.把直线向上平移3个单位所得到的直线的函数解析式为 y= .2、(浙江湖州)将直线y=2x向右平移2个单位所得的直线的解析式是( C )A、y=2x+2 B、y=2x-2 C、y=2(x-2) D、y=2(x+2)3、(湖北黄石)将函数y=-6x的图象向上平移5个单位得直线,则直线与坐标轴围成的三角形面积为 .4、(四川广安)在平面直角坐标系中,将直线向下平移4个单位长度后所得直线的解析式为 y=2x-3 .函数的增加性1、已知点A(x1,y1)和点B(x2,y2)在同一条直线y=kx+b上,且k<0.若x1>x2,则y1与y2的关系是(C )A.y1>y2 B.y1=y2 C.y1<y2 D.y1与y2的大小不确定2、(福建晋江)已知一次函数的图象交轴于正半轴,且随的增大而减小,请写出符合上述条件的一个解析式: (答案不唯一) .3、(河南)写出一个y随x的增大而增大的一次函数的解析式:(答案不唯一) .4、(福建省泉州) 在一次函数中,随的增大而“增大 (填“增大”或“减小”),当 时,y的最小值为 3 .函数图像与坐标轴围成的三角形的面积1、函数y=-5x+2与x轴的交点是 ,与y轴的交点是 (0,2) ,与两坐标轴围成的三角形面积是 。
2.已知直线y=x+6与x轴、y轴围成一个三角形,则这个三角形面积为 __18_ 3、(北京)如图,直线y=2x+3与x轴相交于点A,与y轴相交于点B.⑴ 求A,B两点的坐标;⑵ 过B点作直线BP与x轴相交于P,且使OP=2OA, 求ΔABP的面积.【答案】解(1)令y=0,得x=∴A点坐标为(,0).令x=0,得y=3∴B点坐标为(0,3).(2)设P点坐标为(x,0),依题意,得x=±3. ∴P点坐标为P1(3,0)或P2(-3,0).∴S△ABP1== S△ABP2==.∴△ABP的面积为或.4.(浙江绍兴)在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形,叫做此一次函数的坐标三角形.例如,图中的一次函数的图象与x,y轴分别交于点A,B,则△OAB为此函数的坐标三。
