第十章同步电机的运动方程.ppt

1第第十十章章同步电机同步电机的的运动方程运动方程1210-1 ABC坐标系下同步电机的运动方程坐标系下同步电机的运动方程10-2 dq0坐标系下同步电机的运动方程坐标系下同步电机的运动方程10-3 同步电机的标幺值（同步电机的标幺值（Per unit））10-4 用标幺值表示的用标幺值表示的dq0坐标系中同步电机运动方坐标系中同步电机运动方程程10-5 在在0坐标系中同步电机的运动方程坐标系中同步电机的运动方程10-6 用空间向量表示时的同步电机运动方程用空间向量表示时的同步电机运动方程10-7 同步电机的状态方程同步电机的状态方程10-8 同步电机的运算电抗和等效电路同步电机的运算电抗和等效电路210-1 ABC坐标系下同步电机的运动方程坐标系下同步电机的运动方程3efeAifufiAuAuBuCθ1. 1. 正方向正方向34同步电机一般用发电机惯例，电枢绕组用同步电机一般用发电机惯例，电枢绕组用发发电机电机惯例，励磁绕组用惯例，励磁绕组用电动机电动机惯例正方向：正方向：1.1.各绕组磁链的正方向与各绕组轴线的正方各绕组磁链的正方向与各绕组轴线的正方向一致，向一致，q q轴超前轴超前d d轴轴90°90°。

2.2.定子各相绕组电流的正方向如图定子各相绕组电流的正方向如图b b，，正值正值电流产生负值磁链电流产生负值磁链，感应电势的正方向与，感应电势的正方向与电流正方向一致所以，电流正方向一致所以，453.3.转子各相绕组电流正向如图转子各相绕组电流正向如图b b用电动机惯例，用电动机惯例，正值电流产生正值磁链正值电流产生正值磁链，感应电势正向与电流，感应电势正向与电流正向一致正向一致4. 电磁转矩正方向与电机转向相反（制动），电磁转矩正方向与电机转向相反（制动），机械转矩正方向与电机转向相同（驱动）机械转矩正方向与电机转向相同（驱动）562.凸极同步电机的电感凸极同步电机的电感定、转子磁链方程为定、转子磁链方程为正正值值电电流流产产生负值磁链生负值磁链 6式中，系数矩阵的对角元素为绕组自感，非对角元素为绕式中，系数矩阵的对角元素为绕组自感，非对角元素为绕组互感，互感系数应可逆，即组互感，互感系数应可逆，即①①定子各相绕组的自感：定子各相绕组的自感： 以定子以定子A A相绕组为例，产生的是沿气隙圆周相绕组为例，产生的是沿气隙圆周  正弦分布正弦分布的磁的磁势势空间分布！空间分布！a. a. 磁势磁势F F 图A-1定子定子A A相绕组磁势幅值相绕组磁势幅值FA，位于，位于A A相绕组轴线处（图相绕组轴线处（图a a）、图）、图b b））））分解为分解为dq两个分量两个分量 以转子直轴以转子直轴d为坐标原点，距原点为为坐标原点，距原点为 电角度处电角度处 7单位面积气隙磁导单位面积气隙磁导  - - 气隙长度，气隙长度，l - - 铁心长度铁心长度由由fAd产生的产生的bAd（（ ）） 其其基波基波幅值幅值 空空间磁感磁感应强强度度的基波简写为简写为FAd* dfAd8同理由同理由fAq产生产生bAq（（ ）） 沿整个气隙圆周，图b中fAq波形fAq基波基波幅值幅值 简写为简写为FAq* qb. Ab. A相绕组磁链相绕组磁链 A A相基波气隙磁场和漏磁场产生的自感磁链相基波气隙磁场和漏磁场产生的自感磁链9①①一极下平均磁通一极下平均磁通 （对应（对应A A相轴线相轴线））②②每极磁通量每极磁通量极距极距 铁心长度铁心长度 l③③代入磁链表达式代入磁链表达式 推导见后推导见后 磁路图磁路图1011当转子绕组直轴与当转子绕组直轴与A A相绕组轴线重合相绕组轴线重合当转子绕组交轴与当转子绕组交轴与A A相绕组轴线重合相绕组轴线重合12 Ls0和和Ls2也可以写成也可以写成同理可得同理可得13②② 定子各相绕组间的互感定子各相绕组间的互感:BCBC相间互感相间互感B B相磁密在相磁密在C C相绕组轴线上的分量相绕组轴线上的分量注：注：BC BC 相间差相间差120120  电角，故互漏感恒为负值，记为电角，故互漏感恒为负值，记为-M 。

dq轴磁势幅值轴磁势幅值14MBA= -Ms0+Ms2 cos2（（θ+120 ））同理可得，同理可得，1516③③定子绕组与转子绕组间的互感定子绕组与转子绕组间的互感Maf为为A A相绕组轴线与励磁绕组轴线重合时的互感相绕组轴线与励磁绕组轴线重合时的互感1617④④转子绕组间的互感转子绕组间的互感MfD= =常量常量⑤⑤转子绕组的自感转子绕组的自感Lff、、LDD、、L为常量为常量可见，同步电机的电感是周期性变化的正弦时变电感可见，同步电机的电感是周期性变化的正弦时变电感17183.3.电压方程电压方程v根据前面规定的正方向，定子三相电压方程（发电机惯例）根据前面规定的正方向，定子三相电压方程（发电机惯例）1819v励磁绕组和阻尼绕组电压励磁绕组和阻尼绕组电压方程（电动机惯例）方程（电动机惯例）写成矩阵形式写成矩阵形式将绕组的磁链和电感表达式代将绕组的磁链和电感表达式代入，不难看出，电压方程是入，不难看出，电压方程是含含有时变系数的微分方程有时变系数的微分方程19204.4.转矩方程转矩方程根据虚位移法，电磁转矩根据虚位移法，电磁转矩v负号是由于为了使与规定正方向一致负号是由于为了使与规定正方向一致式中式中 θm——机械角机械角, ,θ——电角，电角， θ=p0 θm若磁路线性若磁路线性2021磁共能磁共能2122电磁转矩电磁转矩2223由此可见，电磁转矩中包含电流的平方项和乘积项，是非由此可见，电磁转矩中包含电流的平方项和乘积项，是非线性关系。

线性关系转矩方程转矩方程是非线性方程是非线性方程T T1 1是驱动转矩是驱动转矩232410-2 dq0坐标系下同步电机的运动方程坐标系下同步电机的运动方程1. 1. 磁链方程磁链方程将将ABCABC坐标系下的磁链方程进行坐标系下的磁链方程进行dq0dq0变换，定子绕组变换，定子绕组d d轴与转子轴与转子D D轴重合，与转子一同旋转，由前述可知轴重合，与转子一同旋转，由前述可知2425转子方不进行变换，则整个电机的磁链方程为转子方不进行变换，则整个电机的磁链方程为2526经矩阵运算，可得经矩阵运算，可得2627其中其中由上式可见，由上式可见， （（1 1）定、转子自感互感均为常数，不再与）定、转子自感互感均为常数，不再与θθ有关，不再是有关，不再是时变参数时变参数（（2 2））d,q d,q 轴因为相互垂直而解耦，轴因为相互垂直而解耦，d,qd,q轴间互感为轴间互感为0 0（（3 3））定转子间的互感变为不可逆定转子间的互感变为不可逆，这对形成等效电路将造，这对形成等效电路将造成一定困难可通过引入标幺值系统或用恒功率变换加成一定困难可通过引入标幺值系统或用恒功率变换加以解决展开矩阵，定子绕组展开矩阵，定子绕组与Lad关系见后页 27≈≈2829转子绕组转子绕组29302. 电压方程电压方程v变换后的电压方程：可通过矩阵导出（见课本），也可以通变换后的电压方程：可通过矩阵导出（见课本），也可以通过系数对比的方法导出过系数对比的方法导出v定子电压方程定子电压方程 令令 3031两式比较，得两式比较，得 派克方程派克方程 转子电压方程转子电压方程( (不变换不变换) )在在ωωr r为常值和不计磁饱和的情况下，电压方程经变换后变为常值和不计磁饱和的情况下，电压方程经变换后变为常系数线性微分方程为常系数线性微分方程 31323. 转矩方程和机端总功率输出转矩方程和机端总功率输出把式（把式（4-224-22）中的）中的i iA A、、i iB B、、i iC C用用i id d、、i iq q代替，可得用代替，可得用dq0dq0分量表达分量表达的电磁转矩的电磁转矩机械转矩方程不变机械转矩方程不变32334. 输出功率和转换功率输出功率和转换功率将派克方程代入，得将派克方程代入，得输出功率输出功率p p2 2= =气隙磁场储能变化率气隙磁场储能变化率+ +通过气隙传递的电磁功率通过气隙传递的电磁功率- -电阻损耗电阻损耗 稳定运行时平均值稳定运行时平均值=0=0 （转换功率）（转换功率） 3334∴ ∴电磁功率电磁功率343510-3 同步电机的标幺值（同步电机的标幺值（Per unit）） v标幺值标幺值-----实际值与基值的比值实际值与基值的比值, ,没有单位没有单位, ,用标幺值用标幺值计算时计算时, ,电机参数和性能数据在一定范围内变化电机参数和性能数据在一定范围内变化, ,不易出错。

不易出错v标么值设定原则：标么值设定原则： 各基值之间的关系应与相应的实际值之间的关系相似各基值之间的关系应与相应的实际值之间的关系相似1 1、定子的基值、定子的基值 （（1 1）定子相电流的基值是额定相电流的）定子相电流的基值是额定相电流的幅值幅值（（2 2）定子相电压的基值是额定相电压的）定子相电压的基值是额定相电压的幅值幅值（（3 3）定子角频率基值）定子角频率基值ωωb b=ω=ω1 1（电网额定角频率）（电网额定角频率）2πf2πfb b =2πf=2πf1 1（（4 4）时间基值）时间基值t tb b=1/ω=1/ωb b由此可得，时间的标幺值由此可得，时间的标幺值t t* *=t/t=t/tb b=ω=ω1 1t t由此由此 sinωsinω1 1t=sin t*t=sin t*3536定子各派生量的基值为定子各派生量的基值为（（1 1）定子阻抗的基值）定子阻抗的基值Z Zb b=u=ub b/i/ib b（（2 2）定子功率基值）定子功率基值S Sb b=3U=3UNφNφI INφNφ=3/2u=3/2ub bi ib b（（3 3）定子磁链基值）定子磁链基值ψψb b=u=ub b/ω/ωb b =L=Lb bi ib b（（4 4）定子电感基值）定子电感基值L Lb b=ψ=ψb b/i/ib b =Z=Zb b/ω/ωb b（（5 5）机械角速度基值）机械角速度基值ΩΩb b=ω=ωb b/p/p0 0（（6 6）转矩基值）转矩基值T Tb b= =S Sb b/Ω/Ωb b 由此可得由此可得 3637即用标幺值表示时，电角速度的标幺值和机械角速即用标幺值表示时，电角速度的标幺值和机械角速度的标幺值相等。

度的标幺值相等 另外注意：转矩的基值不等于电机的额定转矩另外注意：转矩的基值不等于电机的额定转矩3738（（1 1）转子的时间基值与定子相同转子的时间基值与定子相同2 2）要使定、转子间互感成为可逆）要使定、转子间互感成为可逆基值选取原则：基值选取原则：①①使定、转子间互感标幺值成为可逆，应有使定、转子间互感标幺值成为可逆，应有即转子励磁、即转子励磁、D D阻尼、阻尼、Q Q阻尼的功率基值阻尼的功率基值= =定子三相的功定子三相的功率基值率基值2、转子的基值、转子的基值 3839例例如如要写成标么值形式，使互感可逆，即要写成标么值形式，使互感可逆，即必须有必须有即即 两边乘以两边乘以ωωb b，得，得 同理，同理，D D轴和轴和Q Q轴的功轴的功率基值率基值3940②②要使同一轴线上，与定、转子要使同一轴线上，与定、转子气隙互链磁通气隙互链磁通相相对应的电感标幺值相等，即对应的电感标幺值相等，即必须必须 这个基值系统，称这个基值系统，称X Xadad基值系统基值系统也即励磁绕组通入基也即励磁绕组通入基值电流值电流i ifbfb时产生的定子互感磁链时产生的定子互感磁链M Maf af i ifbfb恰好等于定子绕组通恰好等于定子绕组通入对称的三相基值电流入对称的三相基值电流i ib b时所产生的直轴电枢反应时所产生的直轴电枢反应L Ladadi ib b，，L Ladadi ib b=M=Mafafi ifbfbLad出处说明见后40例例如如∴4142此外，在基值角频率下，此外，在基值角频率下，ωω1 1 * * =1=1，又有，又有 又有又有424310-4 用标幺值表示的用标幺值表示的dq0坐标系中坐标系中 同步电机运动方程同步电机运动方程1 1、电压方程、电压方程 形式不变形式不变 式（式（4-644-64）、（）、（4-654-65））2 2、磁链方程、磁链方程 式（式（4-774-77））式中式中 M Msrsr* *=M=Mrsrs* * 互感可逆互感可逆 ∵ ∵L L* *=X=X* *，电感矩阵变为电抗矩阵，电感矩阵变为电抗矩阵 X Xadad* *=X=XaDaD* *=X=Xafaf* *，凡通过气隙的电感，均可用，凡通过气隙的电感，均可用X X* *ad ad 表示表示43∴4445转转矩矩方方程程3 3、转矩方程、转矩方程用标么值表示后，这里既没有用标么值表示后，这里既没有3/23/2，也没有，也没有p p0 0！！！！电磁转矩电磁转矩45功率方程功率方程 4610-5 在0坐标系中同步电机的运动方程 在在ABC坐标系中由坐标系中由iAiBiC产生的定子三相磁链产生的定子三相磁链 A（（s））= -LAAiA-MABiB-MACiC  B（（s））= -MBAiA-LBBiB-MBCiC C（（s））= -MCAiA-MCBiB-LCCiC写成矩阵形式为写成矩阵形式为，，1. 磁链方程磁链方程（（s s）表示是定子）表示是定子绕组在绕组在A A相绕组中相绕组中产生的磁链产生的磁链47变换到变换到0 0坐标系坐标系式中式中 48L’s式中式中由上式可见由上式可见•对于凸极同步电机，当由对于凸极同步电机，当由ABCABC变换为变换为0 0，， 、、 轴与轴与0 0轴的轴的互感解耦互感解耦•M 是由于凸极引起，若转子为隐极，则是由于凸极引起，若转子为隐极，则M=0，， 、、 轴轴之间亦将解耦。

之间亦将解耦49将将 ’s（（s））展开，并考虑到在基值角频率下展开，并考虑到在基值角频率下L L的标幺的标幺值等于值等于X X的标幺值，有的标幺值，有，50再计及转子励磁电流和阻尼绕组电流再计及转子励磁电流和阻尼绕组电流i iD D、、i iQ Q在在 轴和轴和 轴产生的互感磁链，轴产生的互感磁链，0 0坐标系中定子磁链的完整表坐标系中定子磁链的完整表达式为达式为转子磁链为转子磁链为Xfa是d轴与定子A相轴线重合时的互感512. 2. 电压方程电压方程0 0坐标系是在定子上的坐标系，定子电压方程的形式坐标系是在定子上的坐标系，定子电压方程的形式将将保持不变保持不变转子的电压方程未进行变换，故仍为转子的电压方程未进行变换，故仍为3. 3. 转矩方程转矩方程是用标幺值表示！是用标幺值表示！5210-6 用空间向量表示时同步电机的运动用空间向量表示时同步电机的运动方程方程1. 磁链方程磁链方程 零序磁链方程保持不变转子磁链方程为零序磁链方程保持不变转子磁链方程为532. 电压方程电压方程定子电压方程为定子电压方程为转子电压方程不变转子电压方程不变3. 转矩方程转矩方程电磁转矩方程为电磁转矩方程为转矩方程不变转矩方程不变545510-7 同步电机的状态方程同步电机的状态方程均用标幺值表示，省去*号1. 1. 状态方程及其解法状态方程及其解法v状态变量状态变量：交流电机及其输入（电源电压、驱动转矩）输出（负载）构成交流电机及其输入（电源电压、驱动转矩）输出（负载）构成了一个最简单的机电系统。

状态变量是描述系统即时状态的了一个最简单的机电系统状态变量是描述系统即时状态的最低数目的变量状态变量既包含着系统以往的充分信息，最低数目的变量状态变量既包含着系统以往的充分信息，并能通过状态方程算出系统将来的行为并能通过状态方程算出系统将来的行为v状态方程：状态方程：由状态变量由状态变量x xi i，输入函数，输入函数v vi i和系统的参数所构成的用以描述系和系统的参数所构成的用以描述系统行为的统行为的n n个一阶常系数微分方程组个一阶常系数微分方程组 状态方程可以是线性的，也可以是非线性的，若上式右端项中状态方程可以是线性的，也可以是非线性的，若上式右端项中仅包括变量仅包括变量x x的线性项，则是线性的，若包含状态变量的乘积的线性项，则是线性的，若包含状态变量的乘积项，则是非线性的项，则是非线性的 5556v状态方程的解法状态方程的解法：对线性方程，可求出解析解对非线性方程，只能用数值法求对线性方程，可求出解析解对非线性方程，只能用数值法求出解在电机工程中，用得最多的是出解在电机工程中，用得最多的是四阶龙格四阶龙格——库塔法库塔法2.2.同步电机的状态方程同步电机的状态方程取电流取电流i i为状态变量为状态变量，用，用dq0dq0坐标系统和坐标系统和x xadad基值系统基值系统v电压方程电压方程 5657磁链方程磁链方程 式中式中X Xadad为定子三相绕组通入对称的直流基值电流为定子三相绕组通入对称的直流基值电流i ib b时产生时产生的直轴电枢反应电抗（电感）。

由于采用的直轴电枢反应电抗（电感）由于采用X Xadad基准，基准，还有还有磁路图磁路图5758旋转电势旋转电势 将上面两式代入电压方程，整理后，可得将上面两式代入电压方程，整理后，可得58595960转矩方程转矩方程（由于标幺值（由于标幺值 ））式中式中ωωr r为状态变量之一为状态变量之一在研究转子的机械运动时，也即在研究转子的机械运动时，也即在动态运行时，同步电机在动态运行时，同步电机转子的电角速度转子的电角速度ωωr r通常是一个变量通常是一个变量这时需要把电压方程这时需要把电压方程和转矩方程联立求解和转矩方程联立求解6061由电磁转矩的表达式可见，整个运动方程是个非线性的联由电磁转矩的表达式可见，整个运动方程是个非线性的联立方程组为便于在计算机上求解，常把运动方程写成状态立方程组为便于在计算机上求解，常把运动方程写成状态方程的形式方程的形式将将电流电流i i、转子角速度、转子角速度ωωr r、功角、功角δδ作为状态变量作为状态变量61转速与功角的关系速与功角的关系在采用发电机惯例时，功角从在采用发电机惯例时，功角从U U到到E E0 0为正。

设电网为无穷大电网，为正设电网为无穷大电网，则其角频率则其角频率ωω1 1=1=1，若转子的角，若转子的角速度为速度为ωωr r，则转子的转差率为，则转子的转差率为62由图由图4-54-5可见可见  Usq轴轴d轴轴定子定子A A相轴相轴线（静止）线（静止）θδωrωrω1E0而功角而功角δ（用电弧度表示）为（用电弧度表示）为62由电压方程加上转矩方程和角位移方程，可得由电压方程加上转矩方程和角位移方程，可得同步电机的完整方程同步电机的完整方程 汤式（汤式（4-1354-135））简写成简写成这里这里 636310-8 同步电机的运算电抗和等效电路同步电机的运算电抗和等效电路v在同步电机的暂态分析中，需要用到一系列在同步电机的暂态分析中，需要用到一系列暂态和暂态和次暂态参数次暂态参数及及等效电路等效电路，这样比较直观也便于记忆这样比较直观也便于记忆人们通常对定子各量（特别是定子电流）的大小和人们通常对定子各量（特别是定子电流）的大小和变化规律最为关心，因此希望建立一个从定子端点变化规律最为关心，因此希望建立一个从定子端点看入，反映瞬态过程中定、转子耦合关系的看入，反映瞬态过程中定、转子耦合关系的等效输等效输入电抗（运算电抗）入电抗（运算电抗）和反映和反映励磁电压励磁电压对定子直轴磁对定子直轴磁链所生影响的链所生影响的传递函数传递函数。

6464一一. 由等效电路求电抗函数由等效电路求电抗函数65                          Xad基准基准65将其进行拉氏变换后变成复频域的将其进行拉氏变换后变成复频域的代数方程代数方程，可对其进行，可对其进行一般的代数运算一般的代数运算设为零初始条件，只要将设为零初始条件，只要将p p改为改为s s，就变成复频域方程拉，就变成复频域方程拉氏变换后的运算式为氏变换后的运算式为定子直轴磁链定子直轴磁链或或 励磁绕组电压方程励磁绕组电压方程阻尼绕组阻尼绕组电压方程电压方程6667各电抗（电感）之间的关系如下各电抗（电感）之间的关系如下所以，上述表达式可写成所以，上述表达式可写成磁路图磁路图6768定子定子: : 励磁：励磁：阻尼阻尼: :6869根据上式可画出相应的等效电路根据上式可画出相应的等效电路XadXad基准中直轴磁链的等效电路基准中直轴磁链的等效电路6970当当X XfDfDσσ=0=0时，则电路可化简为时，则电路可化简为70应用电路的戴维南方程，把电路进一步化简应用电路的戴维南方程，把电路进一步化简直轴电抗函数直轴电抗函数稳态时，稳态时， s=0，，xd(s)=xd[1]当当电抗函数和传递函数电抗函数和传递函数7172G Gf f(s)(s)为为励磁绕组的传递函数励磁绕组的传递函数。

开路磁链开路磁链7273同理可以得出交轴等效电路同理可以得出交轴等效电路交轴电抗函数交轴电抗函数稳态时，稳态时， s=0s=0，，X Xq q(s)=X(s)=Xq q 73作业：作业：6-1 一台三相一台三相50Hz、、12.1KV，，20MVA,4极极同步发电机，具有以下电感和电阻，试逐一求其同步发电机，具有以下电感和电阻，试逐一求其标幺值L   =0.00214H Lad=0.02145H Laq=0.0191H MaF=0.045H Lf=0.1538H LD=0.0226H Lq=0.00446H MaD=0.017H MfD=0.0541H MaQ=0.007H R=0.0147 Ω Rf=0.0208 Ω RD=0.0315 Ω RQ=0.0611 Ω 74图图A-1A-175磁路图磁路图7677式中，系数矩阵的对角元素为绕组自感，非对角元素为绕式中，系数矩阵的对角元素为绕组自感，非对角元素为绕组互感，互感系数应可逆，即组互感，互感系数应可逆，即①①定子各相绕组的自感定子各相绕组的自感 自感磁链分为两部分，一为穿过气隙的磁链；二为漏磁自感磁链分为两部分，一为穿过气隙的磁链；二为漏磁链。

链与气隙磁链对应的电感与气隙磁链对应的电感===凸极电机结构、磁势、磁通BAd17778==定子相绕组自感定子相绕组自感 式中，式中，7879同理可得，同理可得，②②定子各相绕组间的互感定子各相绕组间的互感以AB相间互感为例与气隙对应的互感：与气隙对应的互感：7980ABAB相间差相间差120°120°电角，电角，故互漏感恒为负值故互漏感恒为负值ABAB相间互感：相间互感：8081式中，式中，≈≈=同理可得，同理可得，81。