中考数学复习指导：活用中点构造全等三角形.doc
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活用中点构造全等三角形《中小学数学课程标准》指出，在数学教学中，要重视学生对所学知识的反思，利用分 层次和多样化的训练，特别重视变式训练，让学生能够懂得从特殊到一般、从一般到特殊以 及转化等思维策略.本文就等腰三角形“三线合一定理”作拓展探索研究.“三线合一”定理，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合. 己知:如图1, VABC中，AB = AC,求证:BC的中线、高和ABAC平分线互相重合. 证明作底边BC的中线AD.QAB = AC, BD = CD, AD是公共边，:NABD 三VACD・・・ZBAD = ZCADZBDA = ZCDA = 9Q°:.BC的中线、高和ABAC平分线互相重合.变式1 （条件之间的变化）如图1, NABC + AD是BC的中线，ZBAD = ZCAD , 求证:= AC图1 图2证明延长线段AD到E点，使AD=DE.QAD = DE , BD = CD, ZADC = ZBDE:NADC 决EDB••・ AC = BE , ABED = ACADQZBAD = ZCAD:.ZBED = ZBAD・•・BA = BE・•・AB = AC变式2 （图形变化妆口图2,已知BD = CD, ABED = ACAD ,求证;EB = AC 证明延长线段AD到F点，使AD=DF.QAD = DF , BD = CD, ZADC = ZBDF:NADC aVFDB•・・ AC = FB , ZBFD = ZCADQ ABED = ACAD:.ABED = ZBFD・•・FB = EB・・・EB = AC变式3 （结论变化）如图3,已知VABC中，AD是的中线，求证:AB + AC > 2AD.图3证明延长线段AD到E点，使AD = DE.Q AD 二 DE , BD = CD, ZADC = ZBDE:NADC 三YEDB・・・AC = BEQAB + BE> AE:.AB +AC > 2AD注 以上三个变式中，图形虽有一定的变化，证明的结论也有变化，但是利用线段的中 点作加倍延长线构建全等三角形来解决问题的方法是一致的，体现了由特殊到一般的思想.下面进一步举例说明利用线段的中点构建全等三角形的多种形式.一、运用倍长中线构建全等三角形例1 如图4 AD f是3C边上的中线，ZDAC = ZEAC , ZE = ABAD ,求 证：AB = CE分析 紧紧抓住中线的条件，通过延长线段延长线段AD到F点，使AD = DF ,构 封BDF aVCDA.证明延长线段AD到F点，使AD = DF・QAD = DF , BD = CD, ZADC = ZBDF:NADC 三VFDB・・・ AC = FB , ZBFD = ZCADQZCA£ = ZCAZ)・・・ZBFD = ZCAEQZE = ZBAD, AC = FB:NBAF aVCEA・•• AB = CE二、运用作平行线构建全等三角形例 2 如图 5,已知 CD = BD, BE = CF ,求证:=图5分析 本题若直接证明VBDE : 7FCD ,会发现对应边不对.而抓住中线的条件，如何 作辅助线是关键.本题只提供了一个角的条件，如果作延长线，则会破坏AE和AF,而过 点C作CGII BE ,则可以得到7BDE aVCDG・证明过点C作CGHBE交EF于点G.QCG// BE・・・ZB = ZDCGQ ZEDB = ZCDG , BD = CD:NBDE 三VCDG・•・BE = CGQBE = CF・•• CF = CG・・・ZF = ZCGFQCG// BE:.ZAEF = ZCGF:.ZAEF = ZF・•・AE = AF三、运用模型构建全等三角形例 3 如图 6,已知= 90°, AC = BC, CD = BD, AD丄 CF 交 AD于点E, 连结 DF,求iiE： ZFDB = ZADC.图6分析 此题可借鉴下列由直角VABC和直角VDEF构成的模型(见图7(1)~图7(5)：证明 如图6,过B点作G3丄BC,交CF的延长线于点G.QZACB = 90°, AD 丄 CF,-.ZFCB + ZACF = 90°, ZCAD + ZACF = 90°••・乙CAD = ZFCBQAC = BC:NACD 三VCBG・・・CD = BG , ZG = ZADCQBD = CD = BG , ZGBF = ZFBC = 45。
BF 是公共边,:NBDF 三VBGF・・・ZG = ZBDF・・・ZFDB = ZADC数学是研究数量关系和空间形式的科学.学生通过数学学习，掌握数学的基础知识、基 本技能和思想方法，学会有条理地思考和简明清晰地表达思考过程，并运用数学的思想方法 分析问题和解决问题，能培养学生的抽象能力、推理能力、创造能力•我们在教学过程中， 要让学生体会到数学之美，做到授生以渔，而非授生以鱼，就能在数学教学中达到事半功倍 的效果.。
