2022年第四节--空间曲线及其方程.pdf

精品资料欢迎下载第四节空间曲线及其方程一空间曲线的一般方程曲面, , 0F x y z和, , 0G x y z的交线C可表示为,,0,,,0.Fx y zG x y z它称为 空间曲线C的一般方程 . 例 1方程组221,236xyxz表示何曲线 ? 解221xy表示母线平行于z轴的圆柱面 , 其准线是xy面上的圆221xy. 236xz表示一个母线平行于y的柱面 , 其准线是xz面上的直线236xz, 因而236xz在空间表示一个平面. 221,236xyxz是上述圆柱面和平面的交线. 例 2方程组222222,22zaxyaaxy表示何曲线 ? 解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页精品资料欢迎下载二空间曲线的参数方程,,xx tyy tzz t叫做 空间曲线的参数方程，t称为 参数. 例 3若空间一点M在圆柱面222xya上以角速度绕z轴旋转 , 同时又以线速度v沿着平行于z轴的正方向上升(和v均为常数 ) , 则点M的轨迹叫做 螺旋线 . 试建立其参数方程. OtAM'aaxy解设t为时间 . 当0t时, 设M位于x轴上的, 0, 0A a处. 经过时间t, M由A运动到,,Mx y z. 记M在xy面上的投影为, , 0Mx y, 则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页精品资料欢迎下载coscos,sinsin,.xOMAOMatyOMAOMatzM Mvt于是 , 螺旋线的参数方程为cos,sin,.xatyatzvt注若设t, 则该方程变为cos ,sin,.xayazb这里 , vb为常数 , 而是参数 . 这说明曲线的参数方程不唯一, 参数的选择也不唯一 . 曲面的参数方程(删) 三空间曲线在坐标面上的投影以空间曲线C为准线且母线垂直于平面的柱面S称为曲线C关于平面的投影柱面 . S和的交线C称为C在上的 投影曲线 或投影 . 设有空间曲线. ,,0,:,,0.Fx y zCG x y z由此消去z, 得C关于xy面的投影柱面:, 0SP x y. 于是 , C在xy面上的投影曲线为,0,:0.P x yCz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页精品资料欢迎下载同理 , 若由,,0,:,,0Fx y zCG x y z消去x, 则得C关于yz面的投影柱面:, 0TQ y z和C在yz面上的投影,0,:0.Q y zCx若由,,0,:,,0Fx y zCG x y z消去y, 则得C关于xz面的投影柱面:, 0UR x z和C在xz面上的投影,0,:0.R x zCy例 4求曲线2222221,:111xyzCxyz在xy面上的投影曲线. 解用第一式减去第二式, 得1yz. 于是 , 1zy. 代入2221xyz, 得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页精品资料欢迎下载22220xyy, 从而所求的投影方程为22220,0.xyyz注 12222221,:111xyzCxyz是球面2221xyz和222111xyz的交线 , 因而C是一个圆 . 注 21yz是曲线C向yz面的投影柱面(平面 ) , 它是C所在的平面 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页精品资料欢迎下载注 322220xyy是C向xy面的投影柱面 , 即221211124yx(椭圆柱面 ) . 于是 , 投影曲线为22121,11240yxz(椭圆 ) . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页精品资料欢迎下载x212y12214112121例 5设一个立体由上半球面224zxy和锥面223zxy所围成，求它在xy面上的投影 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页精品资料欢迎下载解224zxy和223zxy的交线为22224,:3.zxyCzxy消去z, 得221xy, 它是从C向xy面所作的投影柱面(圆柱面 ) . C在xy面上的投影曲线为221,:0.xyCz(xy面上的单位圆). 所求立体在xy面上的投影即该圆的内部.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页精品资料欢迎下载作业P. 324 1 (1) , (2) , 2, 3, 4, 7, 8 提示2 (2) 作图后易理解. 3 由已知的方程组分别消去x和y即可 . 4 由已知方程消去z. 7 参照例 2. 2220zaxy表上半球面222zaxy和平面0z所围的半球体的内部, 22xyax表圆柱体220xyax的内部 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页。