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第三章目标规划第一节 目标规划的数学模型目标规划法是求一组变量的值，在一组资源约束和目标约束条件下，实现 管理目标与实际目标之间的偏差最小的一种方法应用目标规划法解决多种目 标决策问题时，首先要建立目标规划模型目标规划模型由变量、约束和目标 函数组成为具体说明目标规划与线性规划在处理问题方法上的区别，先通过例子 介绍目标规划的有关概念及数学模型一、举例例1某厂生产1、11两种产品，已知计划期有关数据如下，求获利最大 的生产方案生产有关数据表III拥有量原材料（公斤）2111设备台时（小时）1210利润 （元/件）810用线性规划方法求解：设1、11两种产品产量分别为x1，x2max z = 8 x +10 x'2气 + x2 :11< x + 2 x < 10X, x > 0、1 2可得 Z=62 元，X= （4，3） t但实际决策时，有可能考虑市场等其它方面因素，例如按重要性排序的下 列目标：据市场信息，产品I销售量下降，要求产品I产量低于产品II产量；尽可能充分利用现有设备，但不希望加班；达到并超过计划利润指标56元这样考虑生产计划问题即为多目标规划问题下面结合上述例题介绍有关建立目标规划数学模型的基本概念。

二、目标规划基本概念1. 设X1, x2为决策变量，并引入正、负偏差变量d+、d-正偏差变量d+表示决策值超过目标值的部分；负偏差变量d-表示决策值 未达到目标值的部分，d+, d-N0决策值不可能既超过又未达到目标值，因 此恒有d+Xd- = 02. 绝对约束和目标约束绝对约束指必须严格满足的“ W,N,=”约束，称为硬约束，例如线 性规划中的约束，不满足它们的约束称为非可行解；目标约束是目标规划所特 有的，它把约束的右端常数项看作追求的目标值，允许出现正、负偏差，用“d+、 d-”表示，称为软约束约束的一般形式为：£ C X + d ——d += gij j i i ii式中g,——第i个目标约束的目标值；Cj 目标约束中决策变量的参数；d -、d+——以目标值g为标准而设置的偏差变量i i i线性规划问题的目标函数，在给定目标值和加入正、负偏差变量后可变为 目标约束；同样，线性规划问题的绝对约束，加入正、负偏差变量后也可变为 目标约束例如，例1中线性规划问题的目标函数：Z = 8 X1 + 10X2，可变换为目标 规划问题中的目标约束：8 x1 + 10x2 =56 + d+-d-；而同样，线性规划问题的 绝对约束：2x1 + x2 <11，可变换为目标规划问题中的目标约束：2x1 + x2= 11 —d-。

建立约束需注意的问题时：(1) 对于绝对约束，g‘则为资源限制值，上式中不加d；、d：2) 非负约束是指偏差变量非负，d「、di +> 0，至于决策变量是否要求 非负，依具体问题要求决定3) 在目标规划约束中，凡已列入目标约束的资源约束，不应再列入资 源约束4) 如果有明显的目标要求，可在d「和d +中只选一个3. 优先级与权系数要解决的规划问题往往有多个目标，而决策者对于要达到的目标是有主次 之分的要求首先达到的目标赋予优先级P1，稍次者赋予P2，…这里规定： 不同级目标重要性差异悬殊，Pk >> Pk+1，即先保证上一级目标实现的基础 上再考虑下一级目标，低级目标的多大收获也不能弥补高级目标的微小损失 若要区别具有相同优先级的目标的差别，可赋予不同的权系数w.4. 目标函数目标规划问题的目标函数是由各目标约束不同的正、负偏差变量d+、d-， 优先级Pk与权系数wj所构成的与线性规划不同的是目标函数中不含决策变 量X.当各目标值确定之后，决策者希望的是尽可能缩小对目标值的偏离 因此，目标规划问题的目标函数只能是：Min Z = f (d+，d-)其基本形式有下列三种：要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都应尽可能的小，这时目标函数 的形式：min Z = f (d+ + d-)要求不超过目标值，即正偏差变量应尽可能的小，这时目标函数的形式：min Z = f (d+ )要求超过目标值，即负偏差变量应尽可能的小，这时目标函数的形式：min Z = f ( d-)由此可见，目标规划比线性规划体现了新的灵活思想，约束和目标都不看 作是绝对的。

决策者根据要求赋予各目标不同的优先级、权系数，构造目标函 数下面举例说明例2某构件公司商品混凝土车间生产能力为20t/h，每天工作8h，现有2 个施工现场分别需要商品混凝土 A为150t，商品混凝土 B为100t，两种混凝 土的构成、单位利润及企业所拥有的原材料见下表所示，现管理部门提出：原材料消耗、拥有量R单位利润表AB拥有资源量水泥/t0.350.2550t砂/t0.550.65130t单位利润/元10080（1） 充分利用生产能力；（2） 加班不超过2h；（3） 产量尽量满足两工地需求；（4） 力争实现利润2万元/天试建立目标规划模型拟定一个满意的生产计划解：1. 确定变量设气、七分别为两种混凝土的产量2. 约束条件（1）目标约束：P级：要求生产能力充分利用，即要求剩余工时越小越好1x + x + d - - d + = 160 其中要求 d-T 012 1 1 1P2级：要求可以加班，但每日不超过2h，即日产量不超过200tx + x + d -一 d + = 200 其中要求 d + T 01 2 2 2 2P拽:两个工地需求尽量满足，但不能超过需求气+七=150% + d 4 - = 100其中要求d-T04因需求量不能超过其需求，故d+3七级：目标利润超过2万元。

100x + 80x + d --d + = 20000 其中要求d -T01 2 5 5 5(2) 资源约束水泥需求不超过现有资源：0.35 气 + 0.25 x 2 +< 50砂需求不超过现有资源：0.55 x + 0.6 x +< 1301 2(3) 非负约束x > 0, x > 0, d -> d + > 0 (i = 1,2,A ,5)1 2 i i3. 目标函数依目标约束中的要求，第三层目标中有两个子目标，其权数可依其利润多少的比例确定，即100:80，故W1=5, W2=4故目标函数为Z = Pd + Pd + + P (5d -+ 4d -) + Pd -min 1 1 2 2 3 3 4 4 5整理得该问题的目标规划模型为：目标：Z = Pd + Pd ++ P (5d -+ 4d -) + Pd - min 1 1 2 2 3 3 4 4 5约束条件：x + x + d -一 d + = 1601 2 1 1x + x + d -一 d + = 2001 2 2 2气+ d 3 - = 150x 2 + d 4 - = 100100x1 + 80x2 + d5 - - d5 + = 200000.35气 + 0.25 x 2 +< 500.55 x + 0.6 x +< 13012x > 0, x > 0, d -、d + > 0 (i = 1,2,A ,5) 1 2 i i例3例1的决策者在原材料供应受严格限制的基础上考虑：产品I产量低于产品II产量；其次，尽可能充分利用现有设备，但不希望加班；再次，达 到并超过计划利润指标56元，求决策方案。

解按决策者的要求，分别赋予三个目标不同的优先级P1，P2, P3然后 建立目标规划模型如下：min z = P1d]+ + P2(d2++d2-) + P3d3-2x1 + x2 W 11x1—x2 + d1-- d1+= 0x1 +2x2 + d2- — d2+ = 108x1 +10x2 + d3- —d3+= 56x1，x2，di-, di+ N 0, i = 1，2，3目标规划数学模型的一般形式:min z = £p (l^w- d - +w + d + )l Ik k Ik kl=1 k=1£c x + d ——d + = g , k = 1,A ,K kj j k k kj=1< 2^a x < (>, =)b , i = 1,2,A ,m ij j ij=1x , d -, d + > 0, j = 1,2,A , nj k k建立目标规划数学模型时，需要确定目标值，优先级，权系数等，它们都 具有一定的主观性，模糊性，通常采用专家评定法给予量化第二节目标规划的图解法对于只有两个决策变量的目标规划数学模型，可采用图解法分析求解，这 对于了解目标规划一般问题的解题思路也很有帮助。

下面用例2加以说明类似于线性规划，先在平面直角坐标系第一象限绘出各约束条件绝对约 束的作图与线性规划相同，对于目标约束，先绘出1+, d「= 0对应的直线，然 后在直线旁相应侧标注d.+，d.-，如图3-1所示根据目标函数中的优先级对 下图进行分析，即可找到满意解（由于目标规划问题常出现非可行解，因此称 目标规划问题的最优解为满意解）图3-1例2的目标规划的图解由图可见，首先考虑绝对约束：2x1 + x2 W 11，解的可行域为三角形 0AB，然后按优先级P］，目标函数中要求min d1+，解域缩减至0BC内；再按 优先级P2，目标函数中要求min （d2++d2-），解域缩减至线段ED上；最后按优 先级P3,目标函数中要求min d3-，因此最终满意解域为线段GD可求得相应 坐标：G （ 2，4 ），D （ 10/3，10/3 ）GD的凸线性组合都是该目标规 划的解目标规划问题求解时，把绝对约束作为最高优先级（但不必赋PJ例 中能依次满足d1+=0，d2++d2-=0 d3-=0，因此z*=0但大多数情况下并非如此， 还可能出现矛盾，这可以通过下面的例子加以说明例3某电子设备厂装配A、B两种型号同类产品，每装配一台需占用装 配线1小时。

每周装配线开动40小时，预计每周销售：A产品24台，每台可 获利80元；B产品30台，每台可获利40元该厂确定的目标为:第一目标：充分利用装配线每周开动40小时;第二目标：允许装配线加班，但加班时间每周不超过10小时;第三目标：装配数量尽量满足市场需求要求建立上述问题的数学模型并求解解 设x1，x2分别为产品A、B的计划产量对于第三目标，由于每台A 产品利润是B产品的2倍，因此取其权系数分别为2, 1建立目标规划模型:min z = P/]-+ P2d2+ + P3(2d3-+d4-) x1 + x2 + d1-- d1+= 40 x1+ x2 + d2- — d2+ = 50 X1 + d3- — d3+ = 24i = 1，2，3，4x2 + d4-- d4+= 30 x1，x2， di-， di+ N 0，图3-2例3的目标规划的图解由图3-2可见，在考虑了第一目标和第二目标之后，x1和x2的取值范 围为ABCD考虑？3的目标要求时，由于d3-的权系数大于d4-，应先满足d3 -=0,因此这时x1和x2的取值范围是ACEH,而其中只有H点使d厂取值最小， 故取H点为满意解其坐标为（24, 26），即该厂每周应装配A产品24台，B 产品26台。

可与G端点的结果比较一下利润。