奥赛作业 2013.4.16.doc

奥赛作业 2013.4.16一、填空题（每小题8分，共64分） 1．数列满足：，且．记前项的和为，则 ．2．在△中，已知的平分线交AC于K．若BC=2，CK=1，，则△的面积为 ． 3．设，则使得的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数为 ．4．在小于20的正整数中，每次不重复地取出3个数，使它们的和能被3整除，不同的取法种数为 ．5．若均为正实数，且，则的最小值为 ．6．设椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上异于长轴端点的一点，，△的内心为I，则 ．7．对于一切，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．8．将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58．所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为 ．二、解答题（本大题共3小题，共56分）9．（16分）已知二次函数的图象经过点，且不等式对一切实数都成立．（1）求函数的解析式；（2）若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围．10．（20分）设，求使为完全平方数的整数的值．11．（20分）已知直线与椭圆C：交于两点，过椭圆C的右焦点、倾斜角为的直线交弦于点，交椭圆于点．（1）用表示四边形的面积；（2）求四边形的面积取到最大值时直线的方程．解 答1．89 提示：由已知可得．．2． 提示：由余弦定理可得 ①又 ，则 ②由①②，．又由可得，故△的面积．3．98 提示：设的展开式中有连续三项的系数分别为，由题意得 ．依组合数定义展开并整理得．故 （1）．，，代入（1），得，．由，．4．327 提示：把这19个数按被3除所得的余数分类可以有三类：：3，6，9，12，15，18；：1，4，8，11，14，17；：2，5，7，10，13，14，19．这样，满足题设条件的取法有且只有四种情形：（1）在中任取3个数，有种取法；（2）在中任取3个数，有种取法；（3）在中任取3个数，有种取法；（4）在中各取一个数，有种取法．因此，取法总数为：（种）． 5． 提示：因 ，所以 ．当且仅当时等号成立．所以 ．6． 提示：先证明下面的结论：已知△ABC的内心为I，则AB＋AC－BC＝2AI．证明：设△ABC的内切圆与边AB、AC分别切于D、E两点，则AD＝AE＝（AB＋AC－BC），又AD＝2AI，所以AB＋AC－BC＝2AI．对于本题的△，有．又中，所以，，从而．7． 提示：记，已知条件即对一切恒成立．（1）当时，对一切实数，．（2）当时，可化为．设，则．当时，，所以函数在区间上单调递增，从而．因此．（3）当时，可化为．设，则．当时；当时；当时．所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，从而．因此．综合可知：．8．26 提示：设所有放置中的最大数为，则，所以事实上26，6，26，26，6，26，26，6，26，26满足．9．（1）由已知，对有 ，两边同除以n并整理，得 ，于是，，即 ，所以 ，．又时也成立，故．（2）当，有，所以时，有又时，．故对一切，有．10．．所以，当时，是完全平方数． 下证没有其它整数满足要求．（1）当时，有，又，所以，从而．又，所以此时不是完全平方数．（2）当时，有．令，则，即，所以 ，即 ．解此不等式，得的整数值为，但它们对应的均不是完全平方数．综上所述，使为完全平方数的整数的值为10.11．（1）直线的倾斜角为，记，则，．而与所成的角为，则四边形面积． 而，A点坐标为，且，从而，，其中或． （2）记，而只可能在时才可能取到最大值．对求导数得到：．令，则有． 化简得到 ．所以 ．而 无实根，则．经检验，符合．故所求直线的方程为：．。