第四章中值定理与导数的应用.doc
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第四章 中值定理与导数的应用 学习目的和要求 学习本章，要求读者能掌握中值定理的条件及其结论，了解其证明思路和过程，并能应用中值定理于罗必达法则、函数的增减性、函数的极值等导数的应用中去；同时要求读者学会运用罗必达法则讨论各种待定型的极限；学会利用导数分析函数的增减性、极值点、拐点及其曲线的凸向；并能应用于分析一些经济学中的常用问题． 第一节 中值定理 1．中值定理由简单到复杂有3种情形，表述如下： (1)罗尔定理 若函数 在闭区间上连续，且在开区间( )内有导数，并在区间两端点取等值，则在区间 内至少有一点ξ，使在该点函数的导数为零． (2)拉格朗日中值定理 若函数 在闭区间[ ]上连续，且在开区间( )内有导数，则在区间( )内至少有一点ξ，使成立等式： (3)柯西中值定理 设 在闭区间[ ]上连续，在开区间( )内有导数 内均不为零，则在区间( )内至少有一点ξ,使成立等式： 2．如果我们已证得罗尔定理，则为证明拉格朗日中值定理仅需引入辅助函数： 并利用罗尔定理即可证得．而为证明柯西中值定理仅需引入辅助函数： 并利用罗尔定理即可证得． 为证明罗尔定理，首先要运用闭区间上连续函数的最大(小)值定理，然后利用定理条件，证明在区间内至少有一点达到最大值或最小值．最后再证明在区间内达最大值或最小值的点即为我们要求的点ξ，在该点其一阶导数为零． 3．中值定理的初步应用 (1)对于在( )内有定义的函数 ，则必有 证 在区间（ ）中任取两点 故得 由 的任意性得 (2)证明不等式： 证 由中值定理， 故得 第二节 导数的应用 1．罗必达法则 (1)在讨论函数极值中经常遇到这种情况：已知 ① 或 ② 欲求极限 此时，已不能利用前面所述的极限运算法则来计算．而且，根据具体给定的函数 ，上述极限有可能存在，也可能不存在。
因而，常称这类极限式为待定型，并利用所得极限的性态简记为 型．类似地，待定型还可有 等各种类型．罗必达法则为计算这类待定型提供了一种方法． (2)罗必达法则 设 ①当 时，都趋于零，②在点 的某一邻域内(点 本身除外)， 存在且 ③ 存在(或无穷大)，则 对 情形亦有类似表达和结论 (3)举例如下: ① ② (4)对其他待定型，则设法将他们化为前面两种基本的待定型来处理． 例如：求 型，通过变换 化为 ，就可利用罗必达法则求极限. 又如：求 型.通过变换 可将待定型化为 型，从而可用罗必达法则求极限. 对 型，可通过取对数后再化为 型来处理. 例如：设 取对数 若下列 型极限存在： 就可先求得 2：函数的增减性 利用导数可以判断函数的增减性，亦即曲线的升降性，有如下结果： (1)设函数 在区间( )内具有导数．如果 在( )上为单调增加(或减少)，则在该区间上这函数的导数 ． (2)设函数 在区间( )内具有导数．如果在这区间上导数是正的： 上为严格单调增加；导数是负的： 在 上为严格单调减少．若将条件减弱为在 内 ，则结论减弱为 上为单调增加(或单调减少)． 3．函数的极值 (1)极值的定义 对于点 ，若有一个邻域存在，使函数 在该邻域内有定义且在该邻域内 ①有 的一个极大值； ②有 的一个极小值． (2)极值存在的必要条件 设函数 有导数，且在 取到极值(极大或极小)，则这函数在 处的导数 (3)极值存在的一阶充分条件 设函数 的一个邻域内连续，且在此邻域内( 可除外)可导．若当 取到极大值；若当 取到极小值． (4)极值存在的二阶充分条件 设函数 处具有二阶导数，且取极大，反之当 时 取极小． (5)注 当 时，此时不能确定 是否取极值．极大、极小和无极值三种情况都有可能． 4．函数曲线的凸向 设函数 内有二阶导数．若 则曲线为下凸的；若 ，则曲线为上凸的． 5．拐点 曲线 上凸与下凸的分界点称为曲线的拐点． 6．函数图形的描绘 利用函数的导数，求出函数的极值点、拐点以及单调区间、凸凹区间，并找出曲线的渐近线，从而描绘出函数曲线的图形． 7．函数极值在经济管理中的应用 包括最大利润问题、最小成本问题、需求分析等多方面应用．以利润问题为例，设需求函数为 P=a-bx(x为供需量，p为价格)，则总收益为 而总成本函数若为 ，则总利润函数 欲求总利润最大，按极值的二阶充分条件 可解得 为保证能取到极大值，要求 若我们不涉及函数的具体形式，一般地讨论利润问题，则由 可得利润最大的必要条件为 亦即必须使边际收益等于边际成本．第四章 中值定理与导数应用 例1：下列各函数中，在区间[-1，1]上满足罗尔定理所有条件的是( )例2： 例3： 例4： 例5： 例6：下列极限中能用罗必达法则的有( ) 例7： 例8： 列表即(-∞,-2)及(0,+∞)为递增区间，（-2，-1）及（-1，0）为递减区间；当x=-2时取极大值f(-2)=-4，当x=0时取极小值f(0)=0例9：讨论曲线 y=x4-2x3+1的凹向与拐点解：yˊ=4x3-6x2 y″=12x2-12x=12x(x-1) 当x=0,x=1时 y″=0x=0与x=1把定义域（-∞，+∞）分成三个区间，列表即(-∞,0)及(1,+∞)上凹；（0，1）下凹，两个拐点（0，1）和（1，0） 例10： 例11： 例12： 例13：某种商品需求函数为 ，求当P=4时的需求弹性。
例14： 第四章 中值定理与导数的应用单元测试一、选择题1、罗尔定理中三个条件：（1）f（x）在[a，b]上连续;（2）f（x）在（a，b）上可导;（3）f（a）= f（b），是至少存在一点 ，使得 的()A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、既非充分条件也非必要条件2、已知函数 在[-1，2]上满足罗尔定理条件，则在[-1，2]上罗尔定理中的值 =（）3、函数 在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的条件，其在[0，1]拉格朗日中值定理中的值 =（）4、如果函数f（x）与g（x）对于区间（a，b）内每一点都有 ，则在（a，b）内必有（）A、f（x）=g（x） B、f（x）=c1，g（x）= c2，（c1，c2常数）C、f（x）=g（x）+1 D、f（x）=g（x）+C，（C常数）5、若两个函数f（x）、g（x）在区间（a，b）内各点的导数相等，则该二函数在区间（a，b）内.（）A、不相等 B、相等 C、仅相差一个常数 D、均为常数6、下列求极限问题中能够使用罗必达法则的有（）7、若 ，这样计算是（）8、 =（）A、∞ B、n-1 C、n D、09、 =（）10、 =（）A、0 B、∞ C、-2 D、211、设x和y分别是同一变化过程中两个无穷大量，则x-y是（）A、无穷大量 B、无穷小量 C、常数 D、不能确定12、 =（ ）A、-1 B、1/2 C、0 D、∞13、 =（）A、-∞ B、+∞ C、1 D、014、若函数f（x）在点x0的某邻域有定义，且在该邻域内 ，则称f（x0）是f（x）的（ ）A、极大值点 B、极大值 C、极小值点 D、极小值15、如果 ，则 一定是.( )A、极小值点 B、极大值点 C、驻点 D、拐点16、函数f（x）的连续但不可导的点.（）A、一定不是极值点 B、一定是极值点 C、一定不是拐点 D、一定不是驻点17、函数 在区间（-1,2）内是( )A、单调增加的 B、单调减少的 C、不增不减的 D、有增有减的18、 在（-∞,+ ∞）上是( )A、单调增加的函数 B、单调减少的函数 C、非单调函数 D、偶函数19、函数y=1-sinx在区间 上 ( ) A、递增 B、递减 C、不增不减 D、有增有减20、函数 在区间[0，2]上..（）A、单调增 B、单调减 C、不增不减 D、有增有减21、函数 在（-∞,+ ∞）上的极小值点为.（）A、0 B、1 C、2 D、不存在22、设f（x）一阶连续可导且 ，则f（0)()A、一定是f（x）的极大值 B、一定是f（x）的极小值 C、一定不是f（x）的极值 D、可能是也可能不是f（x）的极值23、设函数f（x）在[0，a]上二次可微，且 ，则 在（0，a）内是（）A、不增的 B、不减的 C、严格单调增加 D、严格单调减少24、 是可导函数y= f（x）在区间（a，b）内单调递减的（）A、必要条件 B、充分条件 C、充要条件 D、无关条件25、函数y= f（x）在点 处取得极值，则必有（ ）A、 B、 C、 不存在 D、 26、函数 在区间[-1，1]上的最大值是（）A、0 B、1 C、2 D、不存在27、 （）A、 0 B、 C、 D、 28、若f（x0）是连续函数f（x）在[a，b]上的最小值，则( )A、f（x0）一定是f（x）的极小值 B、 C、f（x0）一定是区间端点的函数值 D、x0或是极值点，或是区间端点29、函数 在区间（1，4）内是( )A、上凸 B、下凹 C、既有上凹又有下凹 D、直线段30、函数y=|sinx+1|在区间 内是.( )A、下凸 B、上凸 C、既有下凸又有上凸 D、直线31、在区间（a,b）内任意一点函数f（x）的曲线弧总位于其切线的上方，则该曲线在（a，b）内是..( )A、下凸 B、上凸 C、单调上升 D、单调下降32、如果f（x）在区间（a,b）内恒有 ，则曲线f（x）的弧为 ( )A、上升且上凸 B、下降且上凸 C、上升且下凸 D、下降且下凸33、函数 的拐点是( )A、（2，0） B、（1，-1） C、（0，-2） D、不存在34、函数 的拐点是( )A、（0，1）和（1，0） B、不存在 C、（0，-1）和（1，0） D、（0，1）和（-1，0）35、函数 的水平渐近线方程是( )A、y=2 B、y=1 C、y=-3 D、y=036、函数 ，(其中b,a>0为常数)的水平渐近线方程是( )A、y=0 B、y=b C、y=a。
